Cộng từng vế (44) và (45) :
ap( x , y) + p(y, P ( y ) ) < p( x, P ( x ) ) + 0p(x, y),
từ đó suy ra
(a - 0) p( x , y ) < f ( x ) - f ( y ) .
Sau cùng, vì X £ E tức là (a — ớ)p(x, a) < f ( a ) - / ( ì ) , cho nên (a - ớ )p ( y ,a ) < ( a - 0 ) [ p ( x , y ) + p { x , a ) ] < f ( x ) - f ( y ) + f { a ) - f ( x ) = f ( a ) - /((/). chứng tỏ y e E . Vậy ta có (42), nghĩa là các già thiết của Định lý Caristi được thoả mãn cho không gian E , ánh xạ P ( x ) n E và hàm f ( x ) = p( x, P( x) ) - Do đó, theo Định lý Caristi, phài có một điểm
Chiftfng (). May dinh /y cơ bàn cùa ỳái tích hùm 291
/ • 0 /'(./•*) n E , tức là jr* € r ự ) và fỉ(jc',a) <
(VÌ /(./••) = 0 do G /* (* • )). ° ° □
( lui V. Nếu ánh xạ p chí xác định trong một hình cầu đóng V c -V, lâm (Ị hán kính /\ thì với mọi .1' £ V và y e P ( x ) ta có p ị y . a ) <
(./(i ’ (.r). / ’(«'/)) < ơ p (x ,íi) < ỡr < r. tức là y 6 vr, cho nôn, đặt £ {./■ € l/ : (n - 0)p(x, y) < f ( a ) — f ( x ) } . ta vản có (43), do dó định lý vần đúng. Nếu lại có thêm giả thiết p( a. P( a) ) < (1 — 6)r thì có the khẳng định thêm: p ( í\ a ) < r.
3 .4 . ĐỊNH L Ý ÁNH X Ạ NGƯỢC Đ ỊA PHƯƠNG. Trở lại hai không gian định chuẩn X . V' và một tập mở u trong A \ cùng với một ánh xạ / : / ' —* ì \ Nhắc lại rằng / được ẹọi là mở tại điếm a e ư neu nó hiến mọi lân cận cùa a thành lân cận của / ( « ) ; nói riêng, có một lân cận mở \ của a và một lân cận mở w của f ( a ) sao cho với mọi y G w
phương trình
f i x ) = y (46)
CÓ ít nhát một nghiệm X € \ . Ta nói / là một đồng phôi địa phương
tại (I € r nếu có một lân cận mơ V của a và một lân cận mở w của
f ( a ) sao cho / ánh xạ đổng phôi V lên Ỉ V % nghĩa là với mọi y G w
phư(mg trình (46) có một nghiộm duy nhất X = g(y) G V và ánh xạ
f và q — r 1 Uên tục. Nếu thêm vào đó / khả vi liên tục trong V và
(Ị — f ~ l khả vi liên tục trên w thì ta nói / là một vi phôi (hay C\ đẳng cấu) dịu phương tại ạ
Định lý 15. Cho hai khônẹ gian Banach X , Y , mộ/ ĩập m ở u trong X , Y ủ một ánh xạ f : u —> Y . Nếu f khá vi chặt tại điểm xỏ € Ư và đạo hàm f ' ( xo) là toàn ánh từ X lên Y thì f mở tại mọi điểm trong m ộ ĩ là n c ậ n m ỏ í 2 c V c ủ a X q; c ụ t h ể h ơ n : tồ n t ạ i m ộ t s ố TỊ > 0 s a o cho với mọi a G i ì và mọi r-lán cận V c fỉ của a, tập f ( V ) bao hàm một (ijr)-lán cán của f { a) .
Nếu thèm vào các giá thiết trên, f ' ( x o) G Isom ( X , Y ) thì f là mội dỏng phôi dịa phương tại x 0; nếu thêm nữa, f khả vi liên tục trong một làn cận của Xo thì Ị là một vi phôi địa phương tại Xọ
Chứng minh. 1) Giả sử /'(xo ) = là một toàn ánh. Theo Định lý 10, tổn tại một số 7 > 0 để cho: với mọi V 6 Y có thể tìm được một
u £ X nghiệm đúng Ip(u) = V và 7||í/|| < ||v||. Ta hãy chọn e sao cho 0 < e < 7, và đặt 0 = e/~f (như vậy 0 < 0 < 1). Theo giả thiết / khả
292 Hàm thực và giải tích hàm
v i c h ặ t tạ i X o nỏn p h ả i c ó m ộ t lâ n c ậ n m ò Í2 c ủ a Xo d ề ch o
|ị/ ( x ) - f ( x ' ) - Ifi(x - i ' ) l l < ff||* - x '\\ (47) với mọi X, x ' € f2.
Cho V là một hình càu đóng bất kỳ, tâm a, bán kính r > 0, nầm trong f2, và cho w là hình cáu mở trong Y , tâm f ( a ) = b và bán kính (1 - 0)r. Ta sẽ chỉ ra ràng w c / ( V ) : khi ấy kết luận thứ nhất cùa định lý sẽ được chứng minh (với T) = ĩ — 0).
Muốn thế ta lấy một Ị/ bất kỳ trong w (tức là IIy - 6|| < (1 - 0)r)
và chứng minh sự tồn tại một X nghiêm đúng f ( x ) = y và II _ n,ị ^ \\v - b\\
\\x - aị| < •
D ĩ nhiẽn điều này sẽ kéo theo ||x — a|| < r , tức là X 6 V, và như thế