Hàm dạng dao động dọc trục tổng quát trong thanh có nhiều vết nứt

Xét một thanh đàn hồi đồng nhất có thiết diện không đổi và các hằng số: mô đun đàn hồi E (GPa); khối lƣợng riêng ρ (kg/m3); mặt cắt ngang có chiều rộng b

(m), chiều cao h (m) và diện tích A (m2); chiều dài thanh L (m). Giả sử thanh chứa n

vết nứt ngang tại các vị trí xj và ej = xj/L là tỷ số vị trí vết nứt so với chiều dài của thanh ( e j : 0e1 ...en1) ; chiều sâu vết nứt là a1,..., an (m), Hình 2.1.

Hình 2.1. Mô hình vết nứt trong thanh

Thay vết nứt tại vị trí ej trong kết cấu thanh bằng một lò xo dọc trục c độ cứng Kj tính đƣợc bằng [8]: K j EA / L j , trong đ j là tham số chiều sâu (chiều

sâu) vết nứt và phụ thuộc chiều sâu aj vết nứt [7]

 j

 2(1 2 )(h / L) f (z), za j/ h; j1,....n

f(z) 0.9852z2 0.2381z3 1.0368z4 1.2055z5 0.5803z6 1.0368z70.7314z8

(2.1) với ν là hệ số Poisson của vật liệu.

Dao động tự do dọc trục của một phân tố thanh đƣợc mô tả bằng phƣơng trình

( x ) 2 ( x ) 0, x (0,1), L /

E

(2.2) với điều kiện biên tổng quát

0(0)0(0) 0;1(1)1(1) 0 (2.3) với các tham số biên0,0,1,1 đƣợc xác định tƣơng ứng với các điều kiện biên khác nhau trong Bảng 2.1.

Bảng 2.1. Các tham số tương ứng với một số điều kiện biên

STT Điều kiện biên Tham số Tham số

1 Hai đầu tự do:(0)=(1)=0 010 011 2 Hai đầu ngàm:(0)=(1)=0 011 010 3 Một đầu ngàm một đầu tự do: 10,01 00,11

(0)=(1)=0 Điều kiện tại vết nứt

K j [ ( e j 0) ( e j 0)]EA( e j ); EA( e j )EA( e j 0); j1,..., n (2.4)

hay

( e j 0)( e j 0)( e j ); ( e j 0) ( e j 0) j( e j ) (2.5) Ký hiệuj(x) là nghiệm của phƣơng trình (2.2) giữa hai vết nứt (ej-1, ej),

j = 1,....n+1 với e0 = 0, en+1 =1 có thể chứng minh đƣợc rằng các hàmj+1(x) với

x(ej, ej+1) đƣợc biểu diễn ở dạng

 j1( x ) j ( x ) jj (e j ) cos( xej ), j1,..., n , (2.6) trong đj(x) là nghiệm phƣơng trình (2.2) trong đoạn (ej-1, ej) đƣợc mở rộng liên tục cho đoạn tiếp theo (ej, ej+1).

Thật vậy, do j(x) đƣợc mở rộng để thỏa mãn phƣơng trình (2.2) trong khoảng (ej,

ej+1) và hàm cos(x − ej) luôn thỏa mãn phƣơng trình (2.2) trong khoảng (ej, ej+1), nên biểu thức (2.6) là tổng của hai nghiệm phƣơng trình tuyến tính (2.2) trong khoảng (ej, ej+1) sẽ là nghiệm của phƣơng trình (2.2) trong khoảng này. Mặt khác sử dụng (2.6)  j1(e j 0) lim { j ( x ) jj ( e j ) cos ( xe j )} j ( e j ) j j ( e j )(2.7) xe j và

j1(e j 0) lim {j ( x ) jj ( e j ) sin( xe j )}j ( e j )j ( e j 0).

(2.8)

xe j

Vậy hàm (2.6) thỏa mãn điều kiện (2.5).

Xét công thức truy hồi (2.6) cho các trƣờng hợp j = 1,2,3,… ta đƣợc có lần lƣợt: 1 (x )CL0 (x ), 0xe1; 2(x ) (x ) (e ) cos(xe ), e xe ; 1 1 1 1 1 1 2 = CL0 ( x )C1L0 (e1 ) cos( xe1) C[L0 ( x )1 cos( xe1 ), e1xe2. với 11L0 ( x) ;  3 (x ) 2 (x ) 22 (e2 ) cos(xe2 ), e2xe3;

CL0 (x )1 cos ( xe1 )2 [L0 (e2 )1sin ( xe2 )]cos(x

CL0 (x )1 cos ( xe1 ) 2 cos(xe2 ). với 2 2 [L0 (e2 )1sin(xe2 )] . Tƣơng tự sẽ có:  j1( x )CL0 ( x )1 cos ( xe1 ) ... j cos( xe j ) trong đ j  [ L (e) j1sin (e j e j1), ej x e j1 j 0 j Đƣa vào hàm số K(x) đƣợc xác định bằng:  e2 ) (2.9) cosx, x 0; ; S ( x ) cosx (2.10) K ( x ) 0 , x 0. 

Khi đ nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.2) thỏa mãn điều kiện tại vết nứt có thể viết về dạng:

n

 j K ( xe j )] ,

 ( x )C[ L0 ( x ) (2.11)

j1

trong đ j đƣợc xác định theo công thức (2.9).

Để chứng minh (2.11) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.2) thỏa mãn điều kiện biên tại đầu trái của thanh và các điều kiện tƣơng thích (2.5) ch cần chứng minh biểu thức (2.11) trùng với (2.6) trong khoảng (ej, ej+1). Thật vậy, xét nghiệm (2.11) trong miền (0 < x < e1), lúc đ

Tức (2.11) là nghiệm của phƣơng trình (2.2) thỏa mãn điều kiện biên tại đầu trái của thanh. Giả sử (2.11) là nghiệm của phƣơng trình (2.2) trong đoạn (ej-1,

ej), tức là

n j1

 j cos(xe j )] j (x) (2.13)

 ( x )C [L0 (x )j K (xej )]C [L0 (x )

j1 j1

khi ej-1< x < ej, cần phải chứng minh (2.11) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.2) trong đoạn (ej, ej+1), tức(x) =j+1(x) với ej < x < ej+1. Do tính chất của hàm

(2.10) khi ej < x < ej+1 có j1  ( x )C [L0 (x )k cos ( xek )j cos(xej )] k1  j (x )C j [L0 (e j1 j ) k sin ( e jek )]cos( xej ) (2.14) k1  j ( x ) jj (e j ) cos(xe j ) j1(x). Trong tính toán trên đã sử dụng các công thức (2.9) và (2.12) cùng với đạo hàm của hàm số bên vế phải của (2.12):

j ( x )C [ L0( x )j1 j sin( xej )] . (2.15)

j1

Nhƣ vậy, đã chứng minh đƣợc biểu thức (2.11) cùng với (2.9) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.2) thỏa mãn điều kiện biên bên trái và các điều kiện tƣơng thích (2.5) tại các vết nứt. Tham số vết nứt j đƣợc đƣa vào trong công thức (2.11) xác định từ vị trí và chiều sâu vết nứt bằng công thức (2.9). Nếu biết tất cả vị trí và chiều sâu vết nứt thì tham số vết nứt này đƣợc tính nhƣ sau:

Đƣa vào các véctơ μ ( ,...,n)T và γ( 1,...,n )T , phƣơng trình (2.9) 1 có thể viết lại thành Aμb, (2.16) trong đ b {bj   L ( e j), j1,..., n} và j 0  1 0 ... 0    A s 21 1 ... 0 , (2.17)  ... ... ... ...  s n2 ... 1   s n1 

với sjk =j sin(ej ek). Từ đ có thể tính đƣợc (1,n) từ (1,n) bằng công thức

Biểu thức (2.18) luôn xác định vì det A  1 . Ngƣợc lại có thể tính (1,

n) nếu biết (1, n) bằng công thức

jj / [ L0 ( e j )j1 k sin( e jek )], j1,..., n . (2.19)

k1

Nhƣ vậy, hàm (2.11) đã đƣợc xác định hoàn toàn và đây chính là hàm dạng dao động tổng quát trong dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt.