Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số phản cộng hưởng của thanh

Mặt khác, cũng từ phƣơng trình (3.14), các xấp x bậc nhất, bậc hai và bậc ba

của phƣơng trình đặc trƣng để xác định tần số phản cộng hƣởng cho thanh có nhiều

vết nứt là: n d0 ( )  j d1( , e j ) 0; (3.19) j1 n n j1 d0() j d1( , ej )d2 ( , e j , ek )j k  0; (3.20) j1 j 2 k1 n n j1 d 0 ( )j d1 ( , e j )d2 ( , ej , ek )jk j1 j 2 k1 (3.21) n j1 k1 2 , e , e , e )    0.  d 3( j j k r j 3 k 2 r1 k r

3.1.3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số phản cộng hưởng của thanh

Để kiểm chứng lý thuyết đƣợc đề xuất, nghiệm của phƣơng trình (3.16) là tần số phản cộng hƣởng của thanh hai đầu tự do đƣợc tính toán và so sánh với kết quả thực nghiệm nhận đƣợc trong [64]. Xét một thanh với các đặc trƣng hình học và vật liệu nhƣ sau: EA = 5.454.108 (N);A = 20.4 (kg/m); L = 2.474 (m); kết quả đƣợc trình bày trong Bảng 3.1 là tỷ số tần số phản cộng hƣởng của thanh có vết nứt so với thanh không nứt (/0) trong hai trƣờng hợp kịch bản D1 và D2.

Bảng 3.1. Tỷ số tần số phản cộng hưởng tính toán cho thanh không nứt và thanh nứt so với giá trị đo

Trị Thanh không nứt Giả thiết vết nứt D1 Giả thiết vết nứt D2

riêng Đo đạc Tính toán Đo đạc Tính toán Đo đạc Tính toán

[64] (sai số, %) [64] (sai số, %) [64] (sai số, %)

1 468.6 470.6(0.42) 439.5 470.3 (7.0) 432.9 465.3 (7.48) 2 1411.7 1411.7(0) 1409.3 1406.4 (0.2) 1365.6 1301.7 (4.67) 3 2328.4 2352.8(1.05) 2337.0 2339.6 (0.1) 2324.4 2132.9 (8.23) 4 3265.8 3294.0(0.86) – 3282.1 (–––) 3102.5 3134.1 (1.01) 5 4216.6 4235.1(0.43) – 4232.9 (–––) 3722.1 4200.8(12.86) 6 5145.1 5176.3(0.67) – 5173.3 (–––) 4866.6 5098.5 (4.76)

Vết nứt D1, D2 có chiều sâu tƣơng ứng (0.6% and 15%) ở vị trí e = 0.55/2.747 = 0.2

Khảo sát kết quả cho trong Bảng 3.1 cho thấy giống nhƣ tần số cộng hƣởng, khi vết nứt lớn thì tần phản cộng hƣởng trong kết cấu thanh cũng giảm. Đối với các thanh không có vết nứt, các tần số phản cộng hƣởng tính toán rất gần với giá trị đo đạc (độ chênh lệch giữa chúng nhỏ hơn 1%). Và điều này cũng đúng với vết nứt nhỏ theo giả thiết D1 trừ tần số đầu tiên có sai số lên đến 7%. Điều này xảy ra có thể là do mô hình tính toán không phù hợp với kết cấu trong thí nghiệm.

Bảng 3.2. Các hàm số và tham số của phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh với các điều kiện biên

Điều kiện biên Tham số biên

d0 ( ) L0 ( x) Một đầu ngàm 01 0,0 0,11 sin sin x

một đầu tự do

Hai đầu tự do 01 0,011 

 cos   cos x

L0 ( x ) ( 0 sin x 0 cos x ); d0 ( ) ( 0 sin 0 cos )

Vì phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng không xác định đối với thanh hai đầu ngàm, nên ở đây ch xét tần số phản cộng hƣởng cho thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do.

Xây dựng phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng xấp x bậc nhất cho thanh trong hai trƣờng hợp điều kiện biên: thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do. Trƣớc hết tính các hệ số theo các công thức (3.15) cho hai trƣờng

hợp điều kiện biên nêu trên. Sử dụng hàm số L0(x) đã cho trong Bảng 3.2, tính đƣợc các hệ số d0 ( ) , d1( , e) nhƣ sau.

 Trường hợp thanh một đầu ngàm một đầu tự do

d0 ( ) sin ; d1( , e ) cos (1e) cos vì vậy n sin  j cos (1e j ) cose j 0. (3.22) j1

 Trường hợp thanh hai đầu tự do

d 0 ( ) cos ; d ( , e )2cos (1e ) sin (e) 1 nên n cos  j cos (1e j ) sin e j 0; (3.23) j1

Xét trƣờng hợp thanh không nứt, tần số cộng hƣởng xác định từ phƣơng trình (3.16) trong hai điều kiện biên là:

 Tần số phản cộng hưởng của thanh hai đầu tự do:

d  (2 k1) , k 1, 2,3,.... (3.24)

0() cos 0 cos 0

k 2

 Tần số phản cộng hưởng của thanh một đầu ngàm một đầu tự do:

d0 () sin 0 sin 0k k, k1, 2,3,.... (3.25) Xét trƣờng hợp thanh có một vết nứt, phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng của thanh (3.16) trong hai trƣờng hợp điều kiện biên nêu trên là:

 Phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh hai đầu tự do:

(3.26)

 Phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh một đầu ngàm một đầu tự do:

sin

  1cos (1 e)cos (e) 0

(3.27)

nứt trong hai trƣờng hợp điều kiện biên: thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do. Các đồ thị cho thấy sự thay đổi tần số phản cộng hƣởng của thanh do có vết nứt không khác nhiều so với sự thay đổi tần số cộng hƣởng do vết nứt. Cụ thể, các tần số phản cộng hƣởng cũng c những điểm nút mà vết nứt xuất hiện tại đ không làm thay đổi tần số phản cộng hƣởng (gọi là điểm nút tần số phản cộng hƣởng). Những điểm nút của tần số phản cộng hƣởng không trùng với các điểm nút của tần số cộng hƣởng. Sự tồn tại các điểm nút tần số phản cộng hƣởng cũng làm phức tạp thêm việc giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng các phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng. Thậm chí là kết hợp việc sử dụng cả phƣơng trình tần số cộng hƣởng và tần số phản cộng hƣởng.

Hình 3.1. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ nhất của thanh một đầu ngàm một đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt

Hình 3.2. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ hai của thanh một đầu ngàm một đầu

Hình 3.3. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ ba của thanh một đầu ngàm một đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt

Hình 3.4. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ nhất của thanh hai đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt

Hình 3.5. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ hai của thanh hai đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt

 A (e )B (e, )  b;A (e)B (e, )  b.  