Phương trình tần số dao động dọc trục trong thanh có nhiều vết nứt

Hàm dạng dao động (2.11) đã thỏa mãn điều kiện biên ở đầu trái của thanh (tại x = 0), nó cần phải thỏa mãn điều kiên biên tại đầu phải của thanh (x = 1). Thay (2.11) vào điều kiện thứ hai trong (2.3) đƣợc

C{[ L (1) L(1)] n [ S (1e) S(1e)]}0 (2.20)

1 0 1 0  j 1 j 1 j

j1

trong đ S = cosx. Để tồn tại C khác 0 cần phải thỏa mãn điều kiện

D() L (1) L(1) n  [ cos (1e) sin(1 e)]0 (2.21) 1 0 1 0  j 1 j 1 j j1

Đây chính là phƣơng trình tần số của thanh chứa nhiều vết nứt, đƣợc giải cùng với phƣơng trình (2.9) đƣợc các nghiệm k, sau đ tần số riêng đƣợc tính từ nghiệm của phƣơng trình (2.21) bằng công thức

 k (k / L ) E / , k 1, 2, 3,...

 (2.22)

Khi đ dạng riêng tƣơng ứng sẽ đƣợc tính bằng công thức

n

k ( x )C[ L0 ( x )j K ( xej )]

j1 k (2.23)

cùng với (2.9) khi k = . Lúc ấy hằng số tùy ý C đƣợc xác định bằng điều kiện chuẩn hóa, có thể là

max k ( x)1 (2.24)

x

Xét một số trường hợp điều kiện biên

+ Thanh một đầu ngàm một đầu tự do

Đầu trái của thanh là ngàm nghĩa là ngàm tại x = 0 nên các tham số điều kiện biên c đƣợc theo Bảng 2.3 là0 = 1,0 = 0 và hàm L0(x) là

Đầu phải của thanh là tự do nghĩa là biên tự do tại x = 1 nên các tham số điều kiện biên c đƣợc theo Bảng 2.3 là 1 = 0, 1 = 1; do đ phƣơng trình tần số (2.21) sẽ là

n

e j ) 0

cosj sin(1 (2.25a)

j1

Phƣơng trình (2.25a) đƣợc giải cùng với phƣơng trình (2.9), kết quả tham số vết nứt là

j1

 j j [cos e j k sin( e jek )], j1,..., n. (2. 25b)

k1

+ Thanh hai đầu ngàm

Khi đ các tham số điều kiện biên theo Bảng 2.1 là0 =1 = 1,0 =1 = 0, và L0(x) = sin x; do đ phƣơng trình tần số (2.21) trong trƣờng hợp này sẽ là

n

e j ) 0

sin j cos(1 ; (2. 26a)

j1

Phƣơng trình (2.26a) đƣợc giải cùng với phƣơng trình (2.9), kết quả tham số vết nứt là

j1

 j j [cos e j k sin( e jek )], j1,..., n. (2. 26b)

k1

+ Thanh hai đầu tự do

Trong trƣờng hợp này, các tham số điều kiện biên theo Bảng 2.1 là0 =1 = 0,0 =1 = 1 và L0(x) = cosx. Do đ phƣơng trình tần số (2.21) trong trƣờng hợp này là

n

e j ) 0

sinj sin(1 ; (2.27a)

j1

Phƣơng trình (2.27a) đƣợc giải cùng với phƣơng trình (2.9), kết quả tham số vết nứt là

j1

 j j [sin e j k sin( e jek )], j1,..., n . (2.27b)

k1

Bây giờ viết lại phƣơng trình tần số (2.21) dƣới dạng

n

e j ) j 0

D ( )d 0 ( )H (1 (2.28)

j1

trong đ H ( x )1 cos x1 sinx ; d0 ( )1 L0 ( )1 L0() . Viết lại biểu thức (2.9) nhƣ sau

1 1L0 (e1);

 2 2L0 ( e2 ) 1 2L0 ( e1 )sin(e2e1);

 3 3L0 ( e3 ) 1 3L0 ( e1 )sin(e3e1)

 23 L0 ( e2 )sin ( e3e2 )21 2 3 L0 ( e1 )sin ( e2e1 )sin(e3e2 ); ...

Thay các biểu thức trên vào phƣơng trình (2.28) đƣợc

D ( )d0 ( )n j d1 ( , ej ) n dj12 ( , ej , ek )jk  j1 j 2 k1  2 n j1 k1 ( , e , e , e )    ... ( ) n1d ( , e ,..., e ) ...   (2.29) d 3 j j k r n n j 3 k 2 r1 k r n 1 1 2  d n  ( )k1d ( , e , e ,..., e )  ...   0, 0 () k i2 ik k11i1i2...ikn ik ik1 i1 i1 trong đ d 0 ( )1 L0 ( )1L0(); d1 ( , e j )H (1e j ) L0(e j ); (2.30) d 2( , ej , ek )H (1e j ) sin ( ejek ) L0(ek ); d3( , e, e , e )H (1ej) sin ( eje ) sin ( e e ) L (e ); j k r k k r0 r ...

d n ( , en ,..., e1 )H (1en )sin ( enen1 )sin ( en1en2 )sin ( e2e1 )L0 (e1).

Phƣơng trình (2.29) thu đƣợc ở trên là dạng tƣờng minh của phƣơng trình tần số phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu của vết nứt, là công cụ hiệu quả để giải bài toán thuận cũng nhƣ bài toán ngƣợc đối với thanh có nhiều vết nứt. Shifrin [9] đã xây dựng một dạng khác của phƣơng trình đặc trƣng cho thanh c nhiều vết nứt, nhƣng phƣơng trình đ vẫn là hàm ẩn đối với chiều sâu vết nứt [16].

Từ phƣơng trình (2.29), nhận đƣợc phƣơng trình tần số chính xác trong các trƣờng hợp riêng sau đây:

+ Thanh không có vết nứt d0 ()(20 ) sin (0  0  ) cos 0 (2.31) 0 1 1 1 1 + Thanh có một vết nứt D1 ( )d0 ( )1d1 (, e1) 0 (2.32) + Thanh có hai vết nứt D2 ( )d 0 ( )1d1 ( , e1 ) 2d1 ( , e2 )12d 2 (, e2 , e1) 0 (2.33)

+ Thanh có ba vết nứt

D3 ( )d0 ( )1d1 ( , e1 )2d1 ( , e2 )3d1 ( , e3 )12d2 (, e2 , e1)

3d2( , e , e )3d2( , e , e ) 23d3 (, e , e , e ) 0. (2.34)

1 3 1 2 3 2 1 2 3 2 1

Trong trƣờng hợp vết nứt nhỏ, các xấp x tiệm cận của phƣơng trình tần số (2.29) sẽ là + Xấp xỉ tiệm cận bậc nhất n d 0 ( ) j d1(e j ) 0; (2.35) j1 + Xấp xỉ tiệm cận bậc hai n n j1 d0 ( ) j d1 ( ej )d2 ( , ej , ek )j k  0; (2.36) j1 j 2 k1 + Xấp xỉ tiệm cận bậc ba d 0 ( ) n n j1 j d1 (ej )d2 ( , e j , ek )jk  j1 j 2 k1 (2.37) n j1 k1  2 ( , e , e , e )     0. d 3 j j k r j 3 k 2 r1 k r

Các phƣơng trình xấp x thu đƣợc cho điều kiện biên tổng quát (2.25) và mỗi trƣờng hợp tƣơng ứng với sự kết hợp các tham số điều kiện biên trong Bảng 2.1. Vì vậy hàm L(x) và d() nhận đƣợc với các trƣờng hợp điều kiện biên là

+ Thanh hai đầu tự do

L0(x ) cos x; L0(x )  2 sin x; H1( x ) sinx và do đ d0 ( ) 2 sin; d ( , e ) 3 sin e sin(1e); (2.38) 1

d2( , e , e ) 3 sin e sin ( e e ) sin(1e ).

1 2 1 2 1 2

+ Thanh hai đầu ngàm

L0 (x ) sin x; L0 (x ) cos x; H1(x ) cosx. và

d0 ( ) sin;

L0 (x ) sin x; L0 (x ) cos x; H1(x ) sinx. và

d 0 ( ) cosx;

d ( , e ) 2 sin (1e ) cose; (2.40)

1

d2( , e , e ) 2 sin (1e ) sin ( e e ) cose .

1 2 2 2 1 1

Trƣờng hợp cả hai đầu của thanh có lò xo dọc trục với độ cứng là K 0 , K1 các tham số vết nứt ( 0 , 0 ,1 ,1) đƣợc xác định từ Bảng 2.1 là

011; 0EA / K0; 1 EA/ K1.

Vì vậy

L ( x ) sin x 

0cos x; L ( x ) cos x 20sinx;

0 0

H1 ( x ) cos x1 sinx;

d0()( 0 ) cos (1 2 0 ) sin;

1 1

d1 ( , e ) [cos (1e )1 sin (1e)](cos e 0 sine);

d2 ( , e1 , e2 ) [cos (1e2 )1 sin (1e2 )](cos e10 sin e1 ) sin( e2e1). (2.41) Ngoài ra, trong trƣờng hợp vết nứt nhỏ, các xấp x tiệm cận bậc nhất của phƣơng trình tần số cho một số trƣờng hợp điều kiện biên là:

+ Thanh hai đầu tự do

n

e j ) 0.

sin j sin e j sin(1 (2.42)

j1

+ Thanh hai đầu ngàm

n

sin j cos e j cos(1e j ) 0. (2.43)

j1

+ Thanh một đầu ngàm một đầu tự do

n

e j ) 0.

cosj cos e j sin(1 (2.44)

j1