Trƣớc tiên, với mục tiêu là kiểm nghiệm tính đúng đắn và khả năng ứng dụng các phƣơng trình tần số đƣợc thiết lập ở trên, kết quả tính toán tần số riêng từ
các phƣơng trình gần đúng đƣợc so sánh với kết quả tính đƣợc từ phƣơng trình chính xác.
Áp dụng các phƣơng trình gần đúng (2.35–2.37) để xác định tần số của thanh có nhiều vết nứt phụ thuộc chiều sâu vết nứt và so sánh với phƣơng trình chính xác (2.28) để đƣa ra các kiến nghị điều kiện sử dụng các phƣơng trình gần đúng. Tính toán tỷ số ba tần số đầu của tần số cộng hƣởng của thanh có vết nứt so với tần số cộng hƣởng của thanh không nứt (/0) trong ba trƣờng hợp điều kiện biên khác nhau: thanh hai đầu ngàm; thanh một đầu ngàm một đầu tự do và thanh hai đầu tự do. Kết quả tính toán đƣợc trình bày trong các Hình 2.2 – 2.10, trong đ các đồ thị với ký hiệu: A1– kết quả tính từ phƣơng trình xấp x bậc nhất; A2 – kết quả tính từ phƣơng trình xấp x bậc hai; A3 – kết quả tính từ phƣơng trình xấp x bậc ba và EX – kết quả tính từ phƣơng trình chính xác. Các đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của ba tỷ số tần số đầu (/0) của thanh có nhiều vết nứt so với thanh không nứt phụ thuộc vào chiều sâu của vết nứt. Các vết nứt ở các vị trí cách đều nhau và có cùng chiều sâu. Hình 2.2 – 2.4 trình bày ba tần số đầu của thanh hai đầu ngàm; Hình 2.5
– 2.7 cho ba tần số đầu của thanh một đầu ngàm một đầu tự do và Hình 2.8 – 2.10 là kết quả ba tần số đầu của thanh hai đầu tự do. Tất cả các kết quả trên đều nhận đƣợc bằng cách giải các phƣơng trình siêu việt bằng phƣơng pháp dây cung đƣợc lập trình trong môi trƣờng Matlab.
Hình 2.2. So sánh kết quả tính toán tỷ số tần số cộng hưởng thứ nhất của thanh hai đầu ngàm có 9 vết nứt cùng chiều sâu.
Hình 2.3. So sánh kết quả tính toán tỷ số tần số cộng hưởng thứ hai của thanh hai đầu ngàm có 9 vết nứt có cùng chiều sâu.
Hình 2.4. So sánh kết quả tính toán tỷ số tần số cộng hưởng thứ ba của thanh hai đầu ngàm có 9 vết nứt có cùng chiều sâu.
Hình 2.5. So sánh kết quả tính toán tỷ số tần số cộng hưởng thứ nhất cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do có 8 vết nứt có cùng chiều sâu.
Hình 2.6. So sánh kết quả tính toán tỷ số tần số cộng hưởng thứ hai cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do có 8 vết nứt có cùng chiều sâu.
Hình 2.7. So sánh kết quả tính toán tỷ số tần số cộng hưởng thứ ba cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do có 8 vết nứt có cùng chiều sâu.
Hình 2.8. So sánh kết quả tính toán tỷ số tần số cộng hưởng thứ nhất cho thanh hai đầu tự do có 4 vết nứt có cùng chiều sâu.
Hình 2.9. So sánh kết quả tính toán tỷ số tần số cộng hưởng thứ hai cho thanh hai đầu tự do có 4 vết nứt có cùng chiều sâu.
Hình 2.10. So sánh kết quả tính toán tỷ số tần số cộng hưởng thứ ba cho thanh hai đầu tự do có 4 vết nứt có cùng chiều sâu.
Kết quả cho thấy xấp x bậc nhất cho kết quả chính xác với thanh có vết nứt với chiều sâu dƣới 20%, trong khi xấp x bậc hai và xấp x bậc ba cho kết quả chính xác với vết nứt có chiều sâu khoảng 30% đến 40%. Đặc biệt tần số đầu tiên có thể tính toán chính xác nếu sử dụng xấp x bậc ba cho chiều sâu vết nứt lên đến 50% so với chiều dầy của thanh cho các điều kiện biên là tự do. Trong khi đ xấp x bậc
nhất ch tính chính xác cho tần số thứ hai của thanh một đầu ngàm một đầu tự do với chiều sâu vết nứt là 10%. Tần số thứ ba có thể tính toán gần đúng bằng phƣơng trình xấp x bậc ba với vết nứt có chiều sâu lên đến 35% cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do và vết nứt có chiều sâu là 15% cho thanh hai đầu ngàm. Trên thực tế, để tính toán các tần số cao cần phải sử dụng các xấp x bậc cao, tuy nhiên phƣơng trình chính xác ch là đa thức bậc n bằng số lƣợng các vết nứt. Do đ , c thể khẳng định rằng phƣơng trình tần số xấp x ở một bậc nào đ thấp (ví dụ bậc hai hoặc bậc ba) cũng đủ để tính toán số lƣợng tần số bất kỳ.
Tiếp theo, khảo sát sự phụ thuộc của các tần số riêng vào vị trí vết nứt đƣợc trình bày trong các hình 2.11– 2.16, trong đ trình bày các tỷ số tần số cộng hƣởng của thanh có một vết nứt với tần số cộng hƣởng của thanh không có vết nứt phụ thuộc vào vị trí vết nứt (/0). Mỗi đồ thị trong các hình vẽ tƣơng ứng với vết nứt với các chiều sâu khác nhau.
Hình 2.11. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hưởng thứ nhất của thanh một đầu ngàm một đầu tự do theo vị trí của vết nứt (10% –50%)
Hình 2.12. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hưởng thứ hai của thanh một đầu ngàm một đầu tự do theo vị trí vết nứt (10% –50%).
Hình 2.13. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hưởng thứ ba của thanh một đầu ngàm một đầu tự do theo vị trí của vết nứt (10% –50%)
Hình 2.14. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hưởng thứ nhất của thanh hai đầu tự do theo vị trí vết nứt (10% –50%).
Hình 2.15. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hưởng thứ hai của thanh hai đầu tự do theo vị trí của vết nứt (10% –50%)
Hình 2.16. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hưởng thứ ba của thanh hai đầu tự do theo vị trí của vết nứt (10% –50%)
Kết quả từ các đồ thị cho thấy, trên thanh tồn tại những vị trí mà khi vết nứt xuất hiện tại đ không làm thay đổi một tần số nào đ . Các vị trí đ gọi là các điểm nút tần số và đƣợc xác định từ phƣơng trình d1 (0 , x) 0 , trong đ 0 là nghiệm
của phƣơng trình tần số trong trƣờng hợp thanh không nứt. Các nút tần số của năm tần số cộng hƣởng thấp nhất đƣợc trình bày trong Bảng 2.2 cho các trƣờng hợp điều kiện biên.
Bảng 2.2. Các nút của tần số riêng trong thanh với các điều kiện biên.
Trị Hai đầu ngàm Hai đầu tự do Một đầu ngàm
riêng một đầu tự do 1 1/2 không có không có 2 1/4 3/4 0.5 1/3 3 1/6 1/2 5/6 1/3 2/3 0.2 0.6 4 1/8 3/8 5/8 7/8 0.25 0.5 0.75 1/7 3/7 5/7 5 1/10 3/10 5/10 7/10 9/10 0.2 0.4 0.6 0.8 1/9 3/9 5/9 7/9