Với mỗi vành ma trận chuẩn cấp 2, ta tìm căn Jacobson và căn nguyên tố của chúng.
Giả sử ta có vành K = NR MS !
, khi đó ta xác định được bốn song môđun con của song môđun M và N. Đặt
Jl(M) = nm ∈M|N m ⊆ J(S)o, Jr(M) = nm ∈M|mN ⊆ J(R)o Jl(N) =nn ∈ N|M n ⊆ J(R)o, Jr(N) =nn ∈ N|nM ⊆ J(S)o Lúc này ta có Jl(K) = J(R) Jl(M) Jl(N) J(S) ! , Jr(K) = J(R) Jr(M) Jr(N) J(S) !
Ta có thể trực tiếp kiểm chứng Jl(K) và Jr(K) lần lượt là iđêan trái và iđêan phải của vành K.
Định lý 2.3.1. ([14, Theorem 2.4.1])
Jl(K) = J(K) = Jr(K)
Chứng minh Ta có J(K) = X BC Y !
, với X, Y lần lượt là iđêan của R
và S. B và C là song môđun con của M và N. Khi đó ta có:
X = eJ(K)e = J(eKe) =J(K) với e = 1 00 0 ! Tương tự, ta có Y=J(S) ⇒B ⊆ Jl(M)∩Jr(M), C ⊆ Jl(N)∩Jr(N) Suy ra J(K) ⊆ Jl(K)∩Jr(K). Mặt khác, lấy một ma trận tùy ý nr ms ! trong Jr(K) và một ma trận đồng nhất E. Ma trận E = r m0 0 ! và E = n s0 0 ! là một khả nghịch
phải trong K. Ma trận khả nghịch phải của chúng lần lượt là x xm0 1 ! và 1 0 yn y !
với x, y là khả nghịch phải với 1 −r và 1 − s. Do đó các ma trận r m 0 0 ! , n s0 0 ! và nr ms !
chứa trongJ(K). Vì vậyJr(K) ⊆ J(K). Tương tự ta có Jl(K) ⊆ J(K).
Ta cũng có Jl(M) = Jr(M) và Jl(N) =Jr(N). Ta kí hiệu các iđêan này là
J(M) và J(N). Vì vậy ta có J(K) = JJ(N(R)) JJ(M(S)) !
.
Với một vành T tùy ý, giao của tất cả iđêan nguyên tố của T được gọi là căn nguyên tố; kí hiệu P(T). Ta đã biết rằng căn nguyên tố của T là tập tất cả các phần tử lũy linh mạnh của T. Một phần tử a được gọi là lũy linh mạnh nếu mỗi dãy a0, a1, a2, ... sao cho
a0 = a, an+1 6=anT an ∀n 6= N
bằng 0 từ một số hạng bất kì nào đó. (∃k : amT am = 0 ∀m ≥ k)
Ta xác định các iđêan Pl(M), Pr(M), Pl(N) vàPr(N) tương tự các iđêanJl(M),
Jr(M), Jl(N) và Jr(N). Ta chứng minh tương tự với các iđêan trái.
Pl(M) =nm ∈ M|N m ⊆ P(S)o, Pr(M) = nm∈ M|mN ⊆ P(R)o Pl(N) = nn ∈N|M n ⊆ P(R)o, Pr(N) =nn ∈ N|nM ⊆ P(S)o Khi đó, Pl(K) = PP(R) Pl(M) l(N) P(S) ! Định lý 2.3.2. ([14, Theorem 2.4.2]) Pl(K) =P(K) = Pr(K) 2.4. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH MA TRẬN CHUẨN 2.4.1. VÀNH MA TRẬN CHUẨN LÀ VÀNH ARTIN, NƠTE Định lý 2.4.1. ([14, Theorem 2.5.1]) (1) Vành ma trận chuẩn NR MS
!
là vành Artin (Nơte) trái khi và chỉ khi R, S là vành Artin (Nơte) trái và RM,
SN là các môđun Artin (Nơte).
(2) Vành ma trận chuẩn NR MS
!
là vành Artin (Nơte) phải khi và chỉ khi
Chứng minh
Cho A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ ... là một dãy giảm các iđêan trái trong vành R và
C1 ⊇ C2 ⊇ C3 ⊇ ... là dãy giảm các R-môđun con của môđun M. Khi đó ta có
A1 0 N A1 0 ! ⊇ N AA2 0 2 0 ! ⊇ .... 00 N CC1 1 ! ⊇ 00 N CC2 2 ! ...
Giả sử tồn tại n sao cho An =An+1 =... và Cn = Cn+1 = ... Do đó, RR và RM
là môđun Artin. Tương tự, SS và SN là các môđun Artin.
Ngược lại, vành K, xem như K-môđun trái, là cặp K = (R⊕M, N ⊕ S) với R⊕M là R-môđun trái và N ⊕S là S-môđun trái, khi đó K có cấu trúc được xét đến ở Chương 2.1. Cho L1 ⊇ L2 ⊇ ... là một dãy giảm các iđêan trái của vành K. Sử dụng các tính chất ở Chương 3.1, ta có thể viết Lk = (Xk, Yk), với Xk là môđun con của môđun Artin R⊕ M và Yk là một môđun con của môđun Artin N⊕S. Ngoài ra, quan hệ bao hàmX1 ⊇ X2 ⊇ ... và Y1 ⊇ Y2 ⊇ ...
vẫn thỏa mãn. Do đó hai dãy này vẫn ổn định. Từ đó ta có dãy iđêan trái
L1 ⊇ L2 ⊇ .... Vậy K là vành Artin trái.
Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự.
2.4.2. CẤU TRÚC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN
Giờ ta quan tâm đến cấu trúc của môđun trên vành ma trận chuẩn K =
R M N S
!
. Ta sẽ xây dựng cấu trúc của chúng trên cơ sở của R-môđun và
S-môđun.
Định lý 2.4.2. ([14]) Cho X là một R-môđun và Y là một S-môđun. Giả
sử có một đồng cấu R-môđun f : RMS⊗SY → X và một đồng cấu S-môđun
g :SNR⊗RX → Y sao cho
m(nx) = (mn)x, n(my) = (nm)y, m ∈ M, n ∈ N, x ∈X, y ∈Y
Đặt nx = g(n⊗x), my =f(m⊗y). Nhóm các vectơ cột XY
!
là một K-môđun nếu ta lấy tích các ma trận theo cột giống như là tích các môđun.
r m n s ! x y ! = rxnx++mysy !
Với mọiK-môđun có dạng ma trận cột. Thật vậy, choV là một K-môđun và e = 1 00 0
!
, khi đó eV là một R-môđun, (1-e)V là một S-môđun, và
eV
(1−e)V
!
là một K-môđun. Dựa vào các khẳng định ở Chương 2.1 liên quan đến việc biểu diễn các ma trận và tập hợp các ma trận, ta có được kết quả trên.
Ví dụ:
Giả sửK có dạng eKe eK(1−e)
(1−e)Ke (1−e)K(1−e)
!
. Khi đó tích các môđun được nhắc đến ở trên vẫn thỏa mãn và đồng cấu tích môđun M ⊗S (1−e)V → eV;
N ⊗ReV → (1−e)V là sự hạn chế của đồng cấu chính tắc K⊗KV → V tương ứng với các môđun con. Sự tương ứng
v 7→ (1eV−e)v !
, v ∈ V
là một phép đẳng cấu của K-môđun V và (1−eVe)V
!
. Đặc biệt, khi K là môđun trái, K có dạng (R, M)
(N, S) !
với các đồng cấu của tích các môđun
m⊗(n, s) → (mn, ms), n⊗(r, m) →(nr, nm).
Với K là môđun phải, ta chứng minh tương tự. Với mỗi K-môđun phải có dạng một môđun vectơ (X,Y), với X là R-môđun phải và Y là S-môđun phải. Với
K-môđun này, ta kết hợp đồng cấu môđun Y ⊗SN →X và X⊗RM → Y sao cho thỏa mãn các hệ thức kết hợp. Phép nhân các môđun là phép nhân theo hàng của ma trận. Tất cả tính chất của K-môđun trái tương tự với K-môđun phải. Các tính chất này có thể được chứng minh dễ dàng bằng cách xét các môđun phải trên vành ngược Ko (theo dõi mục 2.1). Ta đã biết rằng vành Ko
cũng là vành ma trận chuẩn.
Ta đặc biệt chú ý rằng K-môđun trái có dạng XY !
và các phần tử của chúng có thể được biểu diễn theo hàng.
Với K-môđun phải hoặc trái, ta thống nhất xem chúng như là các ma trận sao cho phù hợp với vành K. Ví dụ, ta viết X thay vì X0
!
và (X,0); ta cũng viết
x thay vì x0 !
và (x,0), ...
Cho (X,Y) là một K-môđun trái nào đó. Tập hợp MY=Imf và NX=Img. Rõ
dạng my và nx. Ta có IX ⊆ M Y và J Y ⊆ N X. Nếu các nhóm con của M, N, Y, X được xét tới, ta có thể sử dụng kí hiệu tương tự như MN, MY, NX. Thay vì sử dụng các đồng cấu tích môđun f : M⊗S → X, g : N ⊗R X → Y, thỉnh thoảng để tiện lợi hơn, ta sử dụng S-đồng cấu f’ và R-đồng cấu g’:
f0 :Y →HomR(M, X), f0(y)(m) = f(m⊗y) =my, y ∈ Y, m ∈ M,
g0 : X → HomS(N, Y), g0(x)(n) =g(n⊗x) = nx, x ∈X, n ∈N
Các đồng cấu f’ và g’ tương ứng với các đồng cấu f và g với các đẳng cấu chính tắc của nhóm aben.
HomR(M ⊗S Y, X) ∼= Hom
S(Y, HomR(M, X)),
HomS(N ⊗R X, Y) ∼= Hom
R(X, HomS(N, Y))
Đặc biệt, khi định nghĩa K-môđun, ta có thể bắt đầu từ các đồng cấu f’ và g’. Vì vậy, f’ và g’ cũng có thể được gọi là các đồng cấu của tích các môđun. Tồn tại cấu trúc đơn giản nhưng hữu ích của các K-môđun dựa trên tích tenxơ và các nhóm Hom. Cho X là một R-môđun. Nhóm các vectơ (X, N ⊗R X) là một K-môđun (xem N⊗RX như là một S-môđun chính tắc) sao cho đồng cấu
M ⊗S (N ⊗R X)→ X, m(n⊗x)→ (mn)x,
và tự đẳng cấu đồng nhất N ⊗R X → N ⊗R X là các đồng cấu của tích các môđun. Do đó, sử dụng bằng kí hiệu, ta có m(n⊗x) = (mn)x và nx = n⊗x.
Tương tự, ta có thể bắt đầu với một S-môđun Y và định nghĩa K-môđun (M ⊗S Y, Y). Kí hiệu T(X) = N ⊗R X và T(Y) = M ⊗S Y. Các môđun
(X,T(X)) và (T(Y),Y) thỏa mãn các tính chất đặc biệt sau.
Bổ đề 2.4.3. ([14, Lemma 3.1.2]). Giả sử rằng có một R-môđun X, một
K-môđun (A,B) và một R-đồng cấu α : X → A. Khi đó tồn tại duy nhất S-
đồng cấu β : T(X) → B sao cho (α, β) : (X, T(X)) → (A, B) là một đồng cấu
K-môđun.
Khẳng định tương tự vẫn đúng đối với một S-môđun Y, S-đồng cấu Y → B và
K-môđun (A,B), (T(Y),Y).
Chứng minh: Ánh xạ N × X → B,(n, x) → nα(x), n ∈ N, x ∈ X là
S-cân bằng. Do đó, tồn tại một S-đồng cấu β : T(X) → B mà các phần tử sinh thỏa mãn β(n ⊗ x) = nα(x). Cặp (α, β) xác định một K-đồng cấu, vì
α(m(n⊗x)) =mβ(n⊗x) và β(nx) = nα(x) với mọi m∈ M, n ∈ N, x ∈ X.
Tính duy nhất củaβđược hiểu trong trường hợp sau. Nếu (α, γ) : (X,(T(X)) → (A, B) là một K-đồng cấu, khi đóγ =β. Thật vậy, theo định nghĩa của môđun
(X,T(X)) ta có
γ(n⊗x) = γ(nx) =nα(x) = β(n⊗x), γ = β
Ta có thể chứng minh tương tự đối với môđun (A,B) và (T(Y),Y).
Bổ đề 2.4.4. ([14, Lemma 3.1.3]) Cho X là một R-môđun, (A,B) là một
K-môđun và α : A → X là một R-đồng cấu. Ta định nghĩa ánh xạ β : B →
H(X) bởi hệ thức β(b)(m) = α(mb), b ∈ B, m ∈ M. Khi đó β là một S-đồng
cấu và (α, β) là một K-đồng cấu (A, B) → (X, H(X)). Như vậy đồng cấu β là
duy nhất.
Khẳng định tương tự vẫn đúng đối với S-môđun Y, S-đồng cấu B → Y và
K-môđun (A,B), (H(Y),Y).
Chứng minh: Ánh xạ β là một đồng cấu các nhóm aben. Bên cạnh đó,
β(sb)(m) =α(m(sb)) (sβ(b))(m) = β(b)(ms) =α((ms)b)
với mọi s ∈ S, b ∈ B và m ∈ M. Vì m(sb) = (ms)b, ta có β(sb) = sβ(b). Vì vậy, β là một S-đồng cấu.
Vì ta có hệ thức
α(mb) = mβ(b), β(na) = nα(a), m ∈ M, n ∈N, a ∈A, b ∈ B,
nên cặp (α, β) là một K-đồng cấu. Hệ thức trên được suy ra từ tính chất
mβ(b) =β(b)(m) = α(mb). Theo đó, ta có
β(na)(m) =α(m(na)) = α((mn)a) =mnα(a) = (nα(a))(m), β(na) =nα(a).
Ta giả sử rằng (α, γ) : (A, B) → (X, H(X)) là một K-đồng cấu nào đó. Theo định nghĩa của môđun (X,H(X)), ta có γ(b)(m) = mγ(b), b ∈ B, m ∈ M. Mặt khác, mγ(b) =α(mb) và β(b)(m) =α(mb), do đó γ(b)(m) =β(b)(m) vàγ =β.
Chứng minh tương tự đối với môđun (A,B) và (T(Y),Y).
Hệ quả 2.4.5. ([14, Corollary 3.1.4]) Với mỗi R-môđun X, ta có các đẳng cấu chính tắc vành
EndK(X, T(X))∼=End
R(X) ∼= End
Khẳng định tương tự vẫn đúng đối với vành tự đồng cấu của các môđun Y, (T(Y),Y) và (H(Y),Y).
Giả sử ta có một K-môđun (X,Y) với các đồng cấu tích môđun
g :N ⊗RX → Y, f :M ⊗S Y → X.
Đặt
f0 = 1⊗f : N ⊗R T(Y) →T(X), f0(n⊗(m⊗y)) = n⊗my, g0 = 1⊗g : M ⊗S T(X) → T(Y), g0(m⊗(n⊗x)) = m⊗nx.
Kí hiệu nx’ trùng với f0(n⊗x0) và my’ trùng với g0(m⊗y0). Khi đó ta có hệ thức
m(n⊗x) =g0(m⊗(n⊗x)) =m⊗nx, n(m⊗y) = n⊗my.
ta phải kiểm chứng hệ thức kết hợp, tức là hệ thức
(m0n0)x0 = m0(n0x0), (n0m0)y0 = n0(m00y0) với mỗi m0 ∈M, n0 ∈ N, x0 ∈ T(Y), y0 ∈ T(X).
Hiển nhiên, ta có thể giả sử rằng x = m⊗ y và y0 = n ⊗ x với m ∈ M, n ∈
N, x ∈ X, y ∈ Y nào đó. Ta suy ra hệ thức sau
m0(n0x0) = m0(n0(m⊗y)) =m0(n0 ⊗my) = m0⊗n0(my) =m0⊗(n0m)y
=m0(n0m)y = (m0n0)my = (m0n0)m⊗y,
(m0n0)x0 = (m0n0)(m⊗y) = (m0n0)m⊗y
Hệ thức thứ hai được kiểm chứng tương tự.
Do đó, tồn tại một K-môđun (T(Y), T(X)) với các đồng cấu tích môđun f’ và
g’. Hệ thức
n(m⊗y) = n⊗my, m(n⊗x) = m⊗nx
đúng với mọi m, n, x , y. Ta dễ dàng kiểm chứng ánh xạ (f, g) : (T(Y), T(X)) → (X, Y) là một K-đồng cấu.
Nhận xét 2.4.6. (1) Với mọi môđun (X,Y), ta có bốn đồng cấu sau (1, g) : (X, T(X)) →(X, Y), (f,1) : (T(Y), Y) → (X, Y),
(1, f0) : (X, Y) → (X, H(X)), (g0,1) : (X, Y) → (H(Y), Y).
Theo Bổ đề 2.4.3 và 2.4.4 ta có f, g và f’, g’ là các đồng cấu được xác định duy nhất với điều kiện là ánh xạ thứ hai là ánh xạ đồng nhất.
(2) Ta có phía bên phải của cấu trúc các K-môđun (X,H(X)) và (H(Y),Y). Tức là, nếu Z là R-môđun phải, khi đó nhóm các vectơ hàng (Z,HomR(N, Z)) là K-môđun phải. Các đồng cấu của tích các môđun được xác định tương tự trường hợp của môđun trái. Tương tự, một S-môđun phải Z đưa đến K-môđun phải HomS(M, Z).
2.4.3. MÔĐUN CON VÀ MÔĐUN THƯƠNG CỦA K-MÔĐUN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN
Giả sử ta có môđun V=(X,Y) trên vành ma trận chuẩn K. Một tập con
W ⊆ V là một môđun con của môđun V khi và chỉ khi tồn tại lần lượt môđun con A của R-môđun X và môđun con B của S-môđun Y sao cho W=(A,B),
M B ⊆ A và N A⊆ B. Sau đây là các trường hợp đặc biệt quan trọng. Cho các
môđun con A và B của các môđun X và Y, các tập hợp (A,NA) và (MB,B)
là các môđun con của (X,Y). Nếu vành K có iđêan vết bằng không (tức là
I=0=J), khi đó ta suy ra các môđun con (MB,0) và (0,NA). Mối liên hệ giữa
các môđun (A,NA), (MB,B) và các môđun (A,T(A)), (T(B),B) và (A,H(A)),
(H(B),B) được suy ra từ lưu ý 2.4.5.
ChoW=(A,B)là một môđun con củaK-môđunV=(X,Y). Nhóm các vectơ
(X/A,Y/B) là một K-môđun. Đồng cấu của tích các môđun
M ⊗S Y /B →X/A, N ⊗RX/A →Y /B
được cảm sinh bởi đồng cấu tích các môđun trong môđun (X,Y). Tức là,my =
my, với y = y +B, my = my +A và ta có trường hợp tương tự với đồng cấu thứ hai. Môđun thương V/W có thể đồng nhất với môđun (X/A,Y/B). Đặc biệt, sự tương ứng (x, y) +W → (x+A, y+B) là một đẳng cấu giữa các môđun
này.
Khi làm việc với môđun trên vành ma trận chuẩn tam giác, một số đặc trưng xuất hiện. Dễ dàng tìm thấy bằng cách xét khẳng định sau với điều kiện
N=0. Ta sẽ chỉ chú ý đến một vài chi tiết. Cho (X,Y) là một K-môđun. Trong trường hợp này, đồng cấu g của tích môđun là bằng đồng cấu không. Hai hệ thức kết hợp (*) (m, n)n0 = m(nm0); (nm)n0 = n(mn0) hiển nhiên đúng. Một đặc trưng quan trọng của trường hợp ma trận tam giác là với mỗi R-môđun X, ta có K-môđun (X,0). Một đồng cấu K-môđun (X, Y) → (X1, Y1) là một cặp
(α, β) bao gồm một R-đồng cấu α : X → X1 và một S-đồng cấu β : Y → Y1
thỏa mãn các hệ thức α(my) = mβ(y) với mọi m ∈ M, y ∈ Y. Nếu X là một
R-môđun và Y là một S-môđun thì K-môđun (X,T(X)) và (H(Y),Y) lần lượt có dạng (X,0) và (0,Y).
2.5. CĂN VÀ ĐẾ CỦA VÀNH MA TRẬN CHUẨN
Trong phần này, cho K là một ma trận chuẩn bất kì NR MS !
. Đầu tiên ta mô tả các K-môđun đơn giản. Sau đó sử dụng sự mô tả này để nghiên cứu cấu trúc của các môđun con cực tiểu, môđun con cực đại, căn và đế.
Mệnh đề 2.5.1. ([14, Proposition 3.3.1])
Một môđun (X,Y) là đơn khi và chỉ khi X, Y đều là các môđun đơn và X=MY, Y=NX, hoặc X là môđun đơn và Y=0 hoặc X=0 và Y là môđun đơn.
Chứng minh: Vì IX ≤ M Y vàJ Y ≤ N X nên từX=IX vàY=JY suy ra
X=MY và Y=NX. Điều ngược lại vẫn đúng. Tương tự, điều kiện IX, J Y 6= 0