Định nghĩa 3.2.1. ([14,Definition]). Một môđun được gọi là di truyền nếu tất cả các môđun con của nó là xạ ảnh.
Hệ quả 3.2.2. ([14, Corollary 3.7.5]). Nếu (P,Q) là một môđun di truyền, thì P và Q là các môđun di truyền.
Chứng minh: Như mọi khi ta chứng minh mệnh đề với một trong các
môđun P hoặc Q, với môđun Q ta chứng minh tương tự. Lấy một môđun con
A trong P. Theo giả thiết (A,NP) là một môđun con xạ ảnh của (P,Q). Đặt n
at|t ∈ To là hệ sinh nào đó của R-môđun A. Khi đó n(at,0)|t ∈ To là một hệ sinh của K-môđun (A,NA).Theo bổ đề về cơ sở đối ngẫu, tồn tại một đồng cấu K-môđun Ft : (A, N A) → K, t ∈ T sao cho mọi phần tử v ∈ (A, N A) với
v = P
t∈TFt(v)(at,0)a ∈ A, trong đó hầu hết các phần tử Ft(v) = 0. Ta kí hiệu
h là đồng cấu với phép cộng
K →R, r ∗ ∗ ∗
! 7→ r;
* biểu thị các phần tử nào đó. Với mọi t ∈ T, tồn tại một đồng cấu cộng
ft : A → R sao cho ft(ra) = rft(a)∀r ∈R và a∈ A.
Ta có:
ft(ra) =h(Ft(ra,0)) = h(rFt(a,0)) = h(r c ∗ ∗ ∗ ! ) =h rc ∗ ∗ ∗ ! = rc rft(a) = r(h(Ft(a,0))) =rh( c ∗ ∗ ∗ ! ) = rc
Do đó, tất cả ft là đồng cấu R-môđun. Với mọi a∈ A, ta có:
(a,0) = P Ft(a,0)(at,0) = P r1 ∗ ∗ ∗ ! (at,0) =P (rtat,∗), a = P rtat
với chỉ số t ∈ T hầu như được bỏ qua, r1 ∈ R và hầu hết rt = 0. Vì vậy,
a = P
Theo bổ đề về cơ sở đối ngẫu, R-môđun A là xạ ảnh. Do đó, P là một môđun di truyền.
Định lý 3.2.3. ([14, Theorem 3.7.6]). Cho K là một vành với iđêan có vết bằng không và (P,Q) là K-môđun. Môđun (P,Q) là di truyền khi và chỉ khi các điều kiện sau là tương đương:
(1) P và Q là môđun di truyền.
(2) Với mỗi môđun con B trong Q, môđun P/MB là xạ ảnh và M⊗SB ∼= M B.
(3) Với mỗi môđun con A trong P, môđun Q/NA là xạ ảnh và N ⊗RA ∼= N A.
Chứng minh: (1) ⇒ (2): Giả sử (P,Q) là môđun di truyền. Theo Mệnh đề 3.2.2, P và Q là các môđun di truyền.
Lấy môđun conB ⊆ Qvà K-môđun(MB,B). Khi đó môđun (MB,B) là xạ ảnh, vì nó là môđun con của môđun di truyền (P,Q). Từ Định lý 3.1.3, M ⊗S B ∼=
M B
Ta lấy môđun con (P,B+NP) của môđun (P,Q). Theo Định lý 3.1.3 , P/MB
là xạ ảnh. Tương tự đối với môđun con A của P.
(2) ⇒ (1): Lấy (A,B) là các môđun con của (P,Q). Ta có:
P = X ⊕M B, M ⊗S B ∼= M B, Q = Y ⊕N A, N ⊗R A ∼= N A
với X và Y là các môđun xạ ảnh. Vì M B ⊆ A và N A ⊆ B. Tồn tại khai triển. A = (A∩X)⊕M B, B = (B∩Y)⊕N A,
(A, B) = (A∩X, N A)⊕(M B, B ∩Y).
Ta kiểm chứng khai triển cuối có thỏa mãn điều kiện (3) của Định lý 3.1.3 hay không?
Thật vậy, A∩X và B ∩Y là các môđun xạ ảnh. Khi đó ta có:
M B ∼= M ⊗
S B ∼= M ⊗
S (B∩Y)⊕M ⊗S N A.
Tuy nhiên, M ⊗S N A ∼= M N A = 0. Vì vậy, M ⊗
S (B ∩ Y) ∼= M B. Tương tự, N ⊗S (A∩X) ∼= N A. Theo Định lý 3.1.3, môđun (A,B) là xạ ảnh. Vì vậy
(P,Q) là môđun di truyền.
Hệ quả 3.2.4. ([14, Corollary 3.7.7]). Môđun (P,Q) trên vành ma trận
tam giác K = R M0 N
!
truyền, P/MB là môđun xạ ảnh với mỗi môđun con B trong Q, và M ⊗S B ∼=
M B.
Nhận xét 3.2.5. Khẳng định tương tự vẫn đúng trong trường hợp các
K-môđun phải.
Một vànhT được gọi là di truyền trái (phải) nếu T là T-môđun di truyền trái (phải), tức là với mọi iđêan trái (phải) của vành T là một T-môđun xạ ảnh trái (phải)
Ta áp dụng Định lý 3.2.3 đối với vành K.
Hệ quả 3.2.6. ([14, Corollary 3.7.8]). Một vành ma trận chuẩn K với iđêan có vết bằng không là di truyền trái nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
(1) Vành R và S là di truyền trái.
(2) M là một S-môđun phẳng, N là R-môđun phẳng, và M⊗SN = 0 = N⊗RM.
(3) M/ML là một R-môđun xạ ảnh với mọi iđêan L của vành S. (4) N/NL là một S-môđun xạ ảnh với mọi iđêan L của vành R.
Chứng minh: Ta chú ý rằng vànhK là di truyền trái khi và chỉ khi (R,N)
và (M,S) là K-môđun di truyền trái.
Cho (R,N) là một K-môđun di truyền trái. Theo Định lý 3.2.3, vành R là di
truyền trái. Ngoài ra, với iđêan trái L của vành R, S-môđun N/NL là xạ ảnh và đồng cấu chính tắc N ⊗R L → N L là một phép đẳng cấu. Tính chất cuối cùng tương đương với tính chất N là một R-môđun phẳng. Do đó, M ⊗S N = 0 = N ⊗RM. Bằng cách sử dụng K-môđun di truyền (M,S), các điều kiện còn lại ta chứng minh tương tự.
Ta giả sử rằng các điều kiện (1) đến (4) đều đúng. Từ Định lý 3.2.3 suy ra
K-môđun trái (R,N) và (M,S) là di truyền. Vì N là một S-môđun phẳng,
M ⊗SB ⊆ M⊗SN = 0 với mọi B là S-môđun con trong N. Vì M B = 0, ta có
M ⊗S B = M B. Ngoài ra, N ⊗RL =∼ N L với iđêan trái L của vành R, vì N là một R-môđun phẳng. Tương tự ta chứng minh được (M,S) là một môđun di truyền.
Hệ quả 3.2.7. ([14, Corollary 3.7.9]). Vành R M0 S
!
là di truyền trái khi và chỉ khi R và S là các vành di truyền trái, M là S-môđun phẳng và M/ML là R-môđun xạ ảnh với mỗi iđêan trái L của vành S.
Hệ quả 3.2.8. ([14, Corollary 3.7.10]). Nếu R,S là các vành Artin nửa
nguyên thủy thì R M0 S
!
là một vành di truyền trái và phải với mọi R-S-song môđun M.
Hệ quả 3.2.9. ([14, Corollary 3.7.11]). Một vành R R0 R
!
là di truyền trái (hoặc phải) khi và chỉ khi R là một vành Artin nửa nguyên thủy.
Chứng minh: Đầu tiên, ta xét trường hợp vành di truyền trái. Nếu R là một vành Artin nửa nguyên thủy thì vành R R0 R
!
là di truyền trái theo Hệ quả 3.2.8.
Ta giả sử rằng vành R R0 R !
là di truyền trái. Theo Hệ quả 3.2.7, môđun
R/RL = RL là xạ ảnh với mỗi iđêan trái L của vành R. Vì vậy, L là một tổng trực tiếp các môđun RR. Vì vậy, R là vành Artin nửa nguyên thủy.
Trường hợp vành di truyền phải được chứng minh thông qua vành ngược
Ro 0
Ro Ro
! .
Hệ quả 3.2.10. ([14, Corollary 3.8.9]). Cho K = NR MS !
là một vành
ma trận chuẩn với ϕ và ψ là các phép đẳng cấu, (A,B) là một K-môđun. Khi
đó các điều kiện sau là tương đương (1) A là R-môđun xạ ảnh (di truyền). (2) B là S-môđun xạ ảnh (di truyền). (3) (A,B) là K-môđun xạ ảnh (di truyền).
Chứng minh: Các khẳng định trên được suy ra từ Mệnh đề 3.7.1 và các
đẳng cấu K-môđun (A, T(A))∼= (A, B) ∼= (T(B), B).
Hệ quả 3.2.11. ([14, Corollary 3.8.10]). Theo các điều kiện ở Hệ quả 3.1.7, các điều kiện sau cũng tương đương
(1) Vành K là di truyền trái (phải). (2) Vành R là di truyền trái (phải). (3) Vành S là di truyền trái (phải).
KẾT LUẬN
Luận văn "Lớp môđun xạ ảnh trên các vành ma trận chuẩn" đã hoàn thành mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. Cụ thể là:
(1) Tìm hiểu lý thuyết về các vành ma trận chuẩn và tính chất của chúng. (2) Tìm hiểu và xây dựng cấu trúc môđun trên các vành ma trận chuẩn. (3) Tổng quan được lớp môđun xạ ảnh trên các vành ma trận chuẩn và các tính chất đặc trưng của chúng.
Rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và các bạn để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
[1] T.C.Quỳnh và L.V.Thuyết, Giáo trình Lý thuyết vành và môđun, NXB Đại học Huế.
[2] L.V.Thuyết và L.Đ.Thoang (2017), Vành với điều kiện hữu hạn, NXB Đại học Huế.
Tiếng Anh:
[3] AN Abyzov (2015), Ring of formal matrices close to regular, Rus Math 59(10):49-52.
[4] AN Abyzov- DT Tapkin (2015), On certain classes of rings of formal ma- trices, Rus Math 59(3):1-12.
[5] AN Abyzov- DT Tapkin (2015), Formal matrices rings and their isomor- phism, Sib Math J 56(6): 955-967.
[6] A. Hahagny- M. Mazrooei, M.R. Vedadi, Pure Projectivity And Pure Injec- tivity Over Formal Triangular Matrix Rings, Journal of Algebra and Its Appli- cations, 2012.
[7] A. Haghany- K Varadarajan (1999), Study of formal triangular matrix rings, Commun Algebra 27(11):5507-5525.
[8] A Haghany- K Varadajaran (2000), Study of modules over formal triangular matrix rings, J Pure Appl Algebra 147(1):41-58.
[9] E.L.Green (1982), On the representation theory of rings in matrix form, Pacific J.Math 100: 123-138.
[10] H.Bass (1968), Algebraic K-theory, Benjamin Inc, Newyork, W.A.
[11] H Chen (2002), Morita contexts with many units, Comm Algebra 30(3): 1499:1512.
[12] H Chen (2001), Stable ranges for Morita contexts, Southest Asian Math Bull 25:209-216.
[13] GF Birkenmeier- JK Park, ST Rizvi(2002), Generalized triangular matrix rings and fully invariant extending property, Rocky Mt.J.Math 32(4):1299-1319. [14] Pyotr Kylov-Askar Tuganbaev(2017),Formal Matrices, Springer, Switzer land.