Mệnh đề 3.1.1. ([14,Proposition 3.7.1]). Nếu X là R-môđun xạ ảnh và Y là một S-môđun xạ ảnh, thì (X,T(X)) và (T(Y),Y) là các K-môđun xạ ảnh. Điều ngược lại vẫn đúng.
Theo mệnh đề trên, K-môđun (X,0) là xạ ảnh khi và chỉ khi X là R-môđun xạ
ảnh và N ⊗RX = 0. Tương tự, ta suy ra điều ngược lại với K-môđun (0,Y).
Chứng minh: Cho X là R-môđun xạ ảnh. Giả sử tồn tại một K-môđun toàn cấu (i, j) : (C, D) →(A, B) và một đồng cấuK-môđun (α, β) : (X, T(X) → (C, D). Vì X là xạ ảnh nên với mọi toàn cấu i : C → A, với mọi đồng cấu α : X → A, tồn tại đồng cấu ϕ :X → C sao cho α = i.ϕ.
Mặt khác, theo Bổ đề 2.4.4, tồn tại duy nhất đồng cấu ψ :T(X)→ D sao cho (α, β) : (X, T(X))→ (A, B). Từ đó suy ra β = j.ψ.
Vậy (X, T(X)) là xạ ảnh.
Chứng minh tương tự đối với (Y, T(Y)).
Lưu ý: Kí hiệu L là iđêan J NI IMJ ! của vành K và đặt K = K/L. Khi đó vành ma trận K = N/J NR/I M/IMS/J ! , kí hiệu là R M N S , vì M N = 0 = N M, ta có K là một vành với iđêan có vết bằng không. Môđun (A,B) có các môđun
con (IA,JB) và (MB,NA), và (IA, J B) ⊆ (M B, N A). Như đã nói ở trên, ta
có thể đồng nhất môđun thương (A, B)/(IA, J B) và (A, B)/(M B, N A) thành các môđun (A/IA, B/J B) và (A/M B, B/N A). Vì L(A, B) = (IA, J B) nên
(A/IA, B/J B) và (A/M B, B/N A) là các K-môđun. Bây giờ ta xét iđêan
L1 = NI MJ !
của vành K. Khi đó tồn tại một đẳng cấu
K/L1 ∼=R/I ×S/J =R×S
Suy ra từ hệ thức L1(A, B) = (M B, N A) rằng (A/M B, B/N A) là một R×S-
môđun.
Hệ quả 3.1.2. ([14,Corollary 3.7.2]) Cho (P,Q) là K-môđun xạ ảnh. Khi đó:
(1) (P/IP,Q/JQ) là một K/L-môđun xạ ảnh.
(2) P/MQ là một R/I-môđun xạ ảnh và Q/NP là một S/J-môđun xạ ảnh.
Chứng minh: Nếu V là một môđun xạ ảnh trên một số vành T nào đó và A là một iđêan trên T, khi đó V/AV là một T/A-môđun xạ ảnh. Sử dụng tính chất này đối với T=K, A=L và T=K, A = L1, dễ dàng chứng minh khẳng định (1) và (2).
Định lý 3.1.3. ([14,Theorem 3.7.3]). Cho K là một vành có iđêan có vết bằng không và (P,Q) là một K-môđun. Các khẳng định sau là tương đương; (1) (P,Q) là một môđun xạ ảnh.
(2) P/MQ là một R-môđun xạ ảnh, Q/NP là một S-môđun xạ ảnh, M ⊗S
Q/N P ∼= M Q và N ⊗
R P/M Q ∼= N P.
(3) Tồn tại một R-môđun xạ ảnh X và một S-môđun xạ ảnh Y sao cho (P, Q) =
(X, N P)⊕(M Q, Y), M ⊗S Y ∼=M Q và N ⊗
RX ∼= N P.
(4) Tồn tại một R-môđun xạ ảnh X và một S-môđun xạ ảnh Y sao cho (P, Q) ∼=
(X, T(X))⊕(T(Y), Y).
Chứng minh: (1) ⇒ (2) Theo Hệ quả 3.1.2, P/MQ là một R-môđun xạ ảnh và Q/NP là một S-môđun xạ ảnh.
(2) ⇒ (3). Trước tiên, ta lưu ý: với Y ≤ Q, tồn tại một đồng cấu cảm sinh ϕ : M ⊗S Y → M ⊗S Q. Sự hợp thành của đồng cấu này và đồng cấu tích (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
môđun ψ : M⊗SQ →M Q xác định đồng cấu M⊗SY → M Q. Theo điều kiện
(3), đồng cấu này là một đẳng cấu. Ta có P = X ⊕M Q và Q = N P ⊕Y, với
X ∼= P/M Q và Y ∼= Q/N P. Vì (X,NP) và (MQ,Y) là các K-môđun, ta suy ra được hệ thức.
(3) ⇒ (4) Khẳng định này được suy ra từ Bổ đề 2.4.3 và tính chất (X, T(X)) ∼= (X, N P), (T(X), Y) ∼= (M Q, Y). (4) ⇒ (1) suy ra từ Mệnh đề 3.1.1
Đối với vành ma trận tam giác ta suy ra được kết quả sau.
Hệ quả 3.1.4. ([14,corollary 3.7.4]). Cho K = R M0 S !
và (P,Q) là một K-môđun. Khi đó các mệnh đề sau tương đương với nhau
(1) (P,Q) là một môđun xạ ảnh.
(2) P/MQ là một R-môđun xạ ảnh, Q là một S-môđun xạ ảnh vàM⊗SQ ∼= M Q.
(3) Q là một S-môđun xạ ảnh, M⊗SQ ∼=M Q và tồn tại một R-môđun xạ ảnh
X với (P,Q) = (X,0)⊕(M Q, Q).
(4) Q là một S-môđun xạ ảnh và tồn tại một R-môđun xạ ảnh X với (P, Q) ∼=
(X,0)⊕(T(Q), Q).
Xét vành ma trận chuẩn K = NR MS !
, ϕ : M ⊗S N → R và ψ :
N ⊗RM → S là các đồng cấu song môđun được định nghĩa ở chương 2. Ảnh I
và J của các đồng cấu này được gọi là iđêan vết của vành K. Ta đã biết rằng: một K-môđun cho trước (A,B) kết hợp với cặp các đồng cấu tích môđun
f :M ⊗S B → A, g :N ⊗RA →B, f0 :B → HomR(M, A), g0 :A →HomS(N, B).
Bổ đề 3.1.5. ([14,Lemma 3.8.1]). Nếu I=R và J=S, thì f, g, f’, g’ là các phép đẳng cấu.
Chứng minh: Ta có thể biểu diễn
1 =m1n1+...+mknk, với mi ∈ M, ni ∈ N, i= 1, ..., k.
Vì A = IA ≤ M B nên f là toàn ánh. Ta giả sử rằng f(x1⊗b1+...+xl⊗bl) = 0
với xj ∈ M, bj ∈ B, j = 1, ..., l nào đó. Ta có X j xj ⊗bj =X i,j (mini)(xj ⊗bj) = X i,j mi(nixj)⊗bj =X i,j mi ⊗ni(xjbj) = X i (mi⊗ni).X j xjbj = X i (mi ⊗ni).0 = 0 Do đó f là một phép đẳng cấu.
Tương tự đối với đồng cấu g. Nếu f0(b) = 0 thì b = P
i (nimi)b = P
đồng cấu bất kì từ M vào A. Với mỗi m∈ M, ta có: α(m) =α(mX i nimi) = α(X i (mni)mi) =X i (mni)α(mi) = m(X i (niα(mi)) Vì vậy, α = f0(P
i niα(mi)). Do đó, f’ là một phép đẳng cấu. Tương tự đối với đồng cấu g’.
Hệ quả 3.1.6. ([14,Corollary 3.8.2]). Cho I=R, J=S và (A,B) là một K-môđun.
(1) MB=A, NA=B và ta có đẳng cấu chính tắc K-môđun (A, T(A)) ∼= (A, B),
(T(B), B) ∼= (A, B),(A, B)∼= (A, H(A)), (A, B) ∼= (H(B), B). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(2) Tồn tại các phép đẳng cấu chính tắc vànhEndRA ∼= EndK(A, B) ∼= EndSB. Ta kí hiệu Gn là tổng trực tiếp của n bản sao đẳng cấu của môđun G. Một môđun G trên vành T được gọi là sinh hay môđun sinh nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
(1) Tổng các ảnh của mỗi đồng cấu từ G vào R trùng với R.
(2) Với mỗi T-môđunX, tổng các ảnh của mỗi đồng cấu từG vào X trùng với X .
(3) Với mỗi đồng cấu T-môđun α : G → X và β,γ : X → Y sao cho
αβ=αγ, ta có β=γ.
(4) Tồn tại một số nguyên dươngn và mộtT-môđunH sao choGn ∼= T⊕H Một hệ xạ ảnh hữu hạn sinh được gọi là xạ ảnh vật sinh (progenerator)
hoặc môđun xạ ảnh vật sinh (progenerator).
Áp dụng Bổ đề 3.1.5, đầu tiên ta lưu ý rằng mỗi K-môđun (R,N)và (M,S)
cung cấp bốn đồng cấu tích môđun. Ngoài các đồng cấu ϕ : M ⊗S N → R và
ψ : N ⊗R M → S, tồn tại các đồng cấu ϕ0 : N → HomR(M, R) và ψ0 : M →
HomS(N, S), phép đẳng cấu chính tắc N ⊗R R→ N, M⊗S →M. Ta có thể thấy rằng ϕ0(n)(m) =mn, n ∈ N, m∈ M, tương tự đối với đồng cấu ψ0.
Nếu tồn tại một vành ma trận chuẩn NR MS !
thì ta có thể xét một trường hợp gọi là thuộc tính Morita (Morita context) (R, M, N, S, ϕ, ψ), với R và S là các vành,RMS vàSNR là các song môđun,ϕ :M⊗SN → Rvàψ : N⊗RM → S
là các đồng cấu song môđun, và hệ thức kết hợp
(mn)m0 = m(nm0), (nm)n0 = n(mn0), ∀m, m0 ∈M, n, n0 ∈N
vẫn thỏa mãn. Khi đó tồn tại đơn cấu giữa các vành ma trận chuẩn và thuộc tính Morita (Morita context). Vì vậy, để tiện lợi hơn ta gọi vành NR MS
! là một thuộc tính Morita (Morita context).
Bổ đề 3.1.7. ([14,Lemma 3.8.3]). Cho K là một vành ma trận chuẩn sao cho I=R và J=S.
(1) Tất cả các đồng cấu song môđun được nhắc đến ở trên là các đẳng cấu. (2) Mỗi môđun RM, MS,SN, NR là một xạ ảnh vật sinh (progenerator).
Chứng minh: (1) Các khẳng định là một trường hợp đặc biệt của Bổ đề
3.5.1.
(2) Theo Bổ đề 3.1.5, ta có thể viết
1 = m1n1 +...+mknk, với mi ∈ M, ni ∈N, i = 1, ..., k.
Đặt αi = ϕ0(ni), i = 1, ..., k, và xét đồng cấu γ = α1 +...+αk : Mk → R. Vì γ(m1+...+mk) = m1n1+...+mknk = 1, ta có γ là một toàn cấu trên môđun xạ ảnh R. Vì vậy, γ chẻ ra và Mk ∼= R⊕X với một môđun X nào đó. Vì vậy
M là một vật sinh. Ta có thể lặp lại điều này với ba môđun còn lại. Đặc biệt, tồn tại một đẳng cấu Mk ∼= S⊕Y với một S-môđun Y nào đó. Từ phép đẳng cấu của các R-môđun trái
Rk ∼= HomS(M, M)k ∼= HomS(Mk, M) ∼
= HomS(S⊕Y, M) ∼= Hom
S(S, M)⊕HomS(Y, M)∼= M ⊕X,
suy ra M là một R-môđun hữu hạn sinh. Ta có thể lặp lại điều này với các môđun còn lại.
Sau đây ta xét các môđun trên vành ma trận chuẩn tam giác M BA 0 ! (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
. Sử dụng sự mô tả khác cho các T-môđun phải đối với bộ ba (X, Y)f, với
X ∈ M od−A, Y ∈M od−B và f :Y ⊗BM → X là một ánh xạ trongMod-A. Ta kí hiệu Ω là phạm trù mà các vật là bộ ba(X, Y)f. Nếu (X, Y)f và (U, V)g là các vật trong Ω, cấu xạ từ (X, Y)f vào (U, V)g trong Ω là cặp (ϕ1, ϕ2) với
ϕ1 : X → U là một ánh xạ trong Mod-A, ϕ2 : Y → V là một ánh xạ trong
Mod-B thỏa mãn điều kiệnϕ1◦f =g◦(ϕ2⊗IdM). Theo [12], phạm trù Mod-T
Kí hiệu các T-môđun phải được kết hợp với (X, Y)f là (X ⊕Y)T.
Cho (X, Y)f ∈ Q và cho VT = (X ⊕ Y)T. Gọi I là iđêan 2 phía M B0 0 !
của T, khi đó rõ ràng rằng V I = (f(Y ⊗M)⊕ Y)T. Sử dụng phép đẳng cấu
a 0
M B
!
7→ a của T/I với A khi ta quan tâm đến V/VI như là một A- môđun phải, rõ ràng rằng V /V I ∼= (X/f(Y ⊗ M))A. Tương tự J = a 0
M 0 !
là một iđêan hai phía của T và V J = (X⊕0)T. Khi ta quan tâm V/VJ là một
B-môđun phải tức là phép đẳng cấu M Ba 0 !
7→ b của T/J với B, rõ ràng rằng V /V J ∼= Y
B trong Mod-B.
Định lý 3.1.8. ([7,Theorem 3.1]). (X ⊕ Y)T là xạ ảnh khi và chỉ khi
(X/f(Y ⊗M)A) và YB là xạ ảnh và f : Y ⊗M → X đơn cấu.
Chứng minh: Giả sử (X ⊕ Y)T là xạ ảnh. Đặt V = (X ⊕ Y)T, ta đã biết rằng V/VI là xạ ảnh trong Mod-(T/I). Do đó, (X/f(Y ⊗M)A) và YB là xạ ảnh. Gọi E là iđêan trái M0 00
!
của T, dãy 0 → E → T là khớp trong
T-Mod. Vì VT là xạ ảnh (đặc biệt là phẳng) nên dãy 0 → V ⊗TE −−→id⊗j V ⊗TT
là một dãy khớp các nhóm aben với j : E → T xác định một phép nhúng. Đặt
e = 0 00 1 !
∈ T.
Khi đó với mọi m ∈ M ta có e m0 00
! = m0 00 ! . Do đó với mỗi (x, y) ∈(X, Y)T =VT ta có (x, y)⊗T m0 00 ! = (x, y)⊗T e2m = (x, y) 0 00 1 ! ⊗T m0 00 ! = (0, y)⊗T m0 00 !
Tồn tại một phép đẳng cấu Y ⊗BM −→∼= V ⊗TE của các nhóm aben với y⊗Bm
đến (0, y)⊗T m0 00 !
. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cũng như V ⊗T T đẳng cấu với V trong Mod-Z với v⊗t −→θ vt. Ánh xạ ngược Y ⊗BM −→∼= V ⊗TE −−→id⊗j V ⊗T T −→θ V từ y⊗m đến (f(y⊗m),0). Vì Id⊗j
là đơn cấu nên f cũng là một đơn cấu.
Ngược lại, giả sử rằng X/(f(Y ⊗M))A và YB là xạ ảnh và f :Y ⊗M → X
là một đơn cấu. Tính xạ ảnh của X/(f(Y ⊗ M))A tương đương với tính xạ ảnh của V/VI trên Mod-(T/I) với V = (X +Y)T. Cũng như I =e2T và e2 là một lũy linh trong T. Do đó, T/I là xạ ảnh trong Mod-T. Suy ra rằng V/VI
là xạ ảnh trong Mod-T. Theo quan sát trước đó thì V I = (f(Y ⊗M) ⊕Y)T cũng là xạ ảnh. Vì f : Y ⊗ M → f(Y ⊕ M) là một phép đẳng cấu nên (f(Y ⊗M)⊕Y)T ∼= ((Y ⊗M)⊕Y)
T với ((Y ⊗M)⊕Y)T là mộtT-môđun tương ứng với ((Y ⊗M)⊕Y)Id. Theo giả thiết YB là xạ ảnh. Do đó, tồn tại YB0 nào đó thỏa mãn YB ⊕YB0 = ⊕αBα với mỗi Bα = B. Gọi ((Y ⊕Y0)⊗M ⊕(Y ⊕Y0))T là một T-môđun tương ứng với bộ ba ((Y ⊕Y0)⊗M, Y ⊕Y0)Id ta có thể thấy rằng ((Y ⊗M)⊕Y)T là một tổng trực tiếp của ((Y ⊕Y0)⊗M ⊕(Y ⊕Y0))T = ((⊕αBα⊗M)⊕(⊕αBα))T =⊕α(M⊕B)T =⊕αe2T (tổng của một họ các bản sao củae2T). Vìe2T là xạ ảnh trong Mod-T nên ta thấy rằng V I ∼= ((Y ⊗M)⊕Y)T là xạ ảnh trong Mod-T.
Vì V/VI là xạ ảnh trong Mod-T, dãy khớp 0 → V I → V → V /V I → 0 chẻ ra, suy ra V ∼= V I ⊕(V /V I) xạ ảnh trong Mod-T.
Từ Định lý 3.1.8 ta có (X ⊕ Y)T là một xạ ảnh vật sinh (progenerator) khi và chỉ khi nó là một hệ xạ ảnh hữu hạn sinh. Ở các kết quả sau đây, TT
được đồng nhất với T-môđun kết hợp với (A⊕M, B)g với g : B⊕M →A⊕M
được cho bởi g(b⊕m) = (0, bm) với mọi b ∈ B, m ∈M.
Định lý 3.1.9. ([7,Theorem 4.1])
(X ⊕Y)T là một vật sinh khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) X/(Y ⊗M) là một phần tử sinh trong Mod-A.
(2) Với mỗi tập J, tồn tại một toàn ánh Y(J) −→q B trong Mod-B và một ánh xạ ϕ : X −→ →(J) M trong Mod-A thỏa mãn ϕ ◦ f(J) = h◦ (q ⊗ IdM). Ở đây
X(J) (tương ứng Y(J)) kí hiệu một tổng trực tiếp của X (tương ứng Y) biểu thị bởi tập hợp J. Hơn nữa f(J) : Y(J) ⊗ M = (Y ⊗ M)(J) → X(J) cảm sinh bởi
f văh: B⊗M → M được cho bởi h(b⊗m) =bm.
Định lý 3.1.10. ([7,Theorem 4.2]). Giả sử (X ⊕ Y)T là xạ ảnh. Khi đó
(X ⊕Y)T là vật sinh khi và chỉ khi (X/f(Y ⊗M))A và YB là các vật sinh.
Chứng minh: Theo Định lý 3.1.5, ta thấy rằng (X/f(Y ⊗ M))A và YB
là xạ ảnh và f : Y⊗ → f(Y ⊗ M) là phép đẳng cấu. Đặc biệt, từ đó suy ra được XA = f(Y ⊗ M) + PA với PA là xạ ảnh. Ta chỉ cần chứng minh định lý thỏa mãn điều kiện (2) của Định lý 3.1.6. Vì YB là xạ ảnh, tồn tại một toàn ánh q:Y(J) → B trong Mod-B với số mũ J thích hợp. Ta có X(J) =
cấu. Ta lại có h◦(q⊗IdM) : Y(J)⊗M → M là một ánh xạ trong Mod-A. Nếu ta định nghĩa ϕ : X(J) → M bởi ϕ f(J)(Y(J)⊗M) = h◦ (q ⊗ IdM)◦ (f(J))−1 và ϕ|P(J) = 0, rõ ràng rằng ϕ◦ f(J) = h◦(q⊗IdM).
Hệ quả 3.1.11. ([7, Corollary 4.3]). (X ⊕ Y)T là một xạ ảnh vật sinh
(progenerator) khi và chỉ khi (X/f(Y ⊗ M)A) và YB là các xạ ảnh vật sinh
(progenerator) và f :Y ⊗M → X là đơn ánh.