Trong phần này, cho K là một ma trận chuẩn bất kì NR MS !
. Đầu tiên ta mô tả các K-môđun đơn giản. Sau đó sử dụng sự mô tả này để nghiên cứu cấu trúc của các môđun con cực tiểu, môđun con cực đại, căn và đế.
Mệnh đề 2.5.1. ([14, Proposition 3.3.1])
Một môđun (X,Y) là đơn khi và chỉ khi X, Y đều là các môđun đơn và X=MY, Y=NX, hoặc X là môđun đơn và Y=0 hoặc X=0 và Y là môđun đơn.
Chứng minh: Vì IX ≤ M Y vàJ Y ≤ N X nên từX=IX vàY=JY suy ra
X=MY và Y=NX. Điều ngược lại vẫn đúng. Tương tự, điều kiện IX, J Y 6= 0 tương đương với điều kiện M Y, N X 6=0. Vì vậy, theo Mệnh đề 2.5.1, ta có thể viết X=IX, Y=JY hoặc IX, J Y 6=0, hoặc M Y, N X 6=0.
Cho (X,Y) là một môđun đơn và X 6=0, Y 6=0. Với mọi môđun con khác
không A trong X và B trong Y, ta có (A,NA) và (MB,B) là các môđun con
của (X,Y). Vì vậy A=X, B=Y và X, Y là các môđun đơn. Đặc biệt X=MY và
Y=NX. Nếu một trong các môđun X, Y là môđun 0, khi đó hiển nhiên môđun thứ hai là đơn. Giờ ta giả sử rằng X, Y là các môđun đơn và X=MY, Y=NX. Bất kì môđun con không tầm thường nào của (X,Y) đều có dạng (X,0) hoặc
(0,Y). Điều này là không thể, vì X=MY và Y=NX. Nếu một trong các môđun
X,T là đơn và môđun thứ hai bằng môđun 0, hiển nhiên (X,Y) là đơn.
Hệ quả 2.5.2. ([14, Corollary 3.3.2]). Cho (X,Y) là một K-môđun. (1) Nếu L(X)=0=L(Y), khi đó môđun (X,Y) là đơn khi và chỉ khi X và Y là các môđun đơn.
(2) Nếu K là một vành với iđêan có vết bằng không, khi đó môđun (X,Y) là đơn khi và chỉ khi hoặc môđun X là đơn và Y=0, hoặc X=0 và môđun Y là đơn.
Một môđun con khác 0 của môđun V được gọi là cực tiểu (cực đại) nếu nó là phần tử cực tiểu (cực đại) trong họ tất cả các môđun con của môđun V.
Hệ quả 2.5.3. ([14, Corollary 3.3.3]). Cho (A,B) là môđun con của một K-môđun (X,Y).
(1) (A,B) là cực tiểu khi và chỉ khi hoặc A, B là cực tiểu và A=MB, B=NA, hoặc A là cực tiểu và B=0 (khi đó NA=0), hoặc A=0 (khi đó MB=0) và B là cực tiểu.
(2) (A,B) là cực đại khi và chỉ khi hoặc A, B là cực đại và M Y 6≤ A, N X 6≤ B
(điều này tương đương tính chất IX 6≤ A và J Y 6≤ B), hoặc A là cực đại và
B=Y (khi đó M Y 6≤ A), hoặc A=X (khi đó N X 6≤ B) và B là cực đại.
Chứng minh: (1) được suy ra từ Mệnh đề 2.5.1, vì mọi môđun con cực
tiểu là môđun đơn. Đối với (2), ta để ý rằng (A,B) là môđun con cực đại khi và chỉ khi (X,Y)/(A,B)=(X/A,Y/B) là một môđun đơn. Lại một lần nữa ta có thể sử dụng Mệnh đề 2.5.1. Nếu khẳng định đầu tiên ở Mệnh đề 2.5.1 đúng, thì X/A = M(Y /B) và Y /B = N(X/A). Vì M(Y /B) = (M Y +A)/A, ta có X = M Y +A và M Y 6≤ A, vì A là cực đại. Ngoài ra, N X 6≤ B. Tương tư, ta
có thể chứng minh rằng IX 6≤ A và J Y 6≤ B; điều này cũng suy ra từ nhận xét
2.5.2.
Tổng của tất cả các môđun con cực tiểu của môđun V được gọi là đế củaV, kí hiệu là SocV. Nếu V không có môđun con cực tiểu nào thì SocV=0 theo định nghĩa.
Hệ quả 2.5.4. ([14, Corollary 3.3.4]). Cho (X,Y) là một môđun.
Đế của (X,Y) bằng (SocL(X), SocL(Y)) +P
(A, N A), với mọi môđun con cực
tiểu A của X sao cho IA 6=0 và NA là môđun con cực tiểu của B. Số hạng cuối
bằng P
(M B, B), với mọi môđun con cực tiểu B của Y sao cho J B 6= 0 và MB
là một môđun con cực tiểu của A; số hạng này cũng bằng P
(A,B), với phép lấy tổng được tính trên tất cả A và B được nhắc đến ở trên.
Chứng minh: Vì tồn tại ba dạng môđun con cực tiểu, ta có thể biểu diễn
ba phép tính tổng của các môđun cực tiểu tương ứng và suy ra
Soc(X, Y) =X
(A,0) +X
(0, B) +X
(A, B)
SocL(X) là số hạng đầu tiên, SocL(Y) là số hạng thứ hai và số hạng thứ ba
trùng với một trong ba phép tính tổng được nhắc đến ở hệ quả trên.
Hệ quả 2.5.5. ([14, Corollary 3.3.5]). Cho (X,Y) là một K-môđun. (1) Nếu L(X)=0=L(Y), khi đó Soc(X,Y)=(SocX,SocY).
(2) Nếu K là một vành có iđêan vết bằng không thì Soc(X,Y)=(SocL(X), SocL(Y)), và (X,Y) là một mở rộng cốt yếu của SocL(Y)
Giao của tất cả các môđun con cực đại của môđun V được gọi là căn của môđun V; kí hiệu là RadV. Nếu V không có môđun con cực đại thì RadV=V
theo định nghĩa.
Ta kí hiệu (σ, τ) là các đồng cấu chính tắc (X, Y) → (X/M Y, Y /N X).
Hệ quả 2.5.6. ([14, Corollary 3.3.6]). Căn của môđun (X,Y) bằng (σ−1(RadX/M Y), τ−1(RadY/NX))∩(∩(A, B)), trong đó phép giao xảy ra đối với tất cả môđun con (A,B) trong (X,Y), sao cho A,B là môđun con cực đại
của X, Y, và MY 6⊆ A, N X 6⊆ B.
Chứng minh: Ta đã biết rằng các môđun con cực đại của (X,Y) có ba dạng. Vì vậy, ta có thể xét ba họ tương ứng các môđun con cực đại và biểu diễn
Rad(X, Y) = (∩(A, Y)∩(∩(X, B))∩(∩(A, B)), ∩(A, Y) = (σ−1(RadX/M Y), Y), ∩(X, B) = (X, τ−1(RadY /N X)).
Hệ quả 2.5.7. ([14, Corollary 3.3.7]). Cho (X,Y) là một K-môđun.
(1) Nếu NX=Y và MY=X thì Rad(X, Y) = (RadX, RadY).
(2) Nếu K là một vành với iđêan có vết bằng không thì
Rad(X, Y) = (σ−1(RadX/M Y), τ−1(RadY, N X)),
và Rad(X,Y) là một môđun con nhỏ nhất của (X,Y) khi và chỉ khi RadX/MY là một môđun con nhỏ nhất của X/MY và RadY/NX là một môđun con nhỏ nhất của Y/NX.
Chứng minh: (1) Suy ra từ Hệ quả 2.5.7, ta có Rad(X, Y) = ∩(A, B),
với (A,B) là các môđun con của (X,Y) sao cho A và B là các môđun con cực
đại. Phép giao này không trùng với (RadX, RadY). Vì T(A, B)=(∩A,∩B), điều đó đủ để chứng minh được hai tính chất sau:
(I) Với mọi môđun con cực đại A trong X, tồn tại một môđun con cực đại B
trong Y sao cho (A,B) là một môđun con của (X,Y) (khi đó (A,B)là cực đại); (II) Với mọi môđun con cực đại B trong Y, tồn tại một môđun con cực đại A
trong X sao cho (A,B) là môđun con của (X,Y) (khi đó (A,B) là cực đại). Cho A là một môđun con cực đại của X. Tập con (A,Y) không phải là môđun con, vì MY=X. Vì vậy, tập tất cả các môđun con có dạng (A,D) là quy nạp và
khác rỗng (vì nó chứa các môđun con (A,NA)). Theo bổ đề Zorn, tập hợp này chứa một phần tử cực đại (A,B). Môđun con này là một môđun con cực đại
của (X,Y) (ta đưa vào hệ thức NX=Y). Theo Hệ quả 2.5.4, B là một môđun
con cực đại của Y. Với mỗi môđun con cực đại B trong Y, ta lý luận tương tự. (2) Nếu (A,B)là một môđun con của(X,Y) sao choA,B là cực đại vàM Y 6≤ A, N X 6≤ B, khi đó IX 6≤ A và J Y 6≤ B. Vì I=0=J, phép giao ∩(A, B) (theo Hệ quả 2.5.7) bằng không. Khẳng định thứ 2 của (2) được suy ra từ Mệnh đề 3.2.2.
Nhận xét 2.5.8. Tất cả kết quả của chương này có thể được áp dụng đối với các môđun trên vành R M0 S
!
của các ma trận tam giác. Ví dụ,
Soc(X, Y) = (SocX, SocL(Y)),
CHƯƠNG3
MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN DI TRUYỀN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN
Chương này là nội dung chính của luận văn, trong chương này tôi mô tả môđun xạ ảnh và di truyền trên vành ma trận chuẩn K và sau đó áp dụng sự mô tả này để tìm điều kiện sao cho vành K là di truyền.
I và J biểu thị cho iđêan có vết bằng không của vành K. Trong chương này ta kí hiệu các K-môđun bởi (P,Q).
Nội dung chương được tham khảo từ [6], [7].