Bài toán tối ưu, kết quả tối ưu bằng thuật toán PSO

7. Bố cục của luận án

4.4.2 Bài toán tối ưu, kết quả tối ưu bằng thuật toán PSO

4.4.2.1 Giới thiệu thuật toán tối ưu bầy đàn PSO

Bài toán tối ưu nói chung được mô tả như sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm hàm mục tiêu f(X) trong miền kích thước XL  X  XU đồng thời thỏa mãn:

- g Xs( )0 (s1, 2, ...,S) là các ràng buộc bất đẳng thức; - hr(X) (r 1, 2, ...,R) là các ràng buộc đẳng thức.

Với X = [x1, x2, …, xm]T là vec tơ biến thiết kế, m là số biến thiết kế, XL và XU lần lượt là cận dưới và cận trên của các biến thiết kế.

Thuật toán tối ưu bầy đàn (PSO) được giới thiệu vào năm 1995 tại một hội nghị thuộc IEEE bởi James Kennedy và Russell C. Eberhart [81]. Để hiểu rõ về thuật toán PSO, xét một ví dụ đơn giản về quá trình tìm kiếm thức ăn của một đàn chim. Không gian tìm kiếm thức ăn lúc này là toàn bộ không gian ba chiều mà chúng đang sinh sống. Tại thời điểm bắt đầu tìm kiếm mỗi cá thể của đàn bay theo một hướng ngẫu nhiên nào đó. Tuy nhiên sau một thời gian tìm kiếm một số cá thể trong đàn bắt đầu tìm ra được nơi có chứa thức ăn. Tùy theo số lượng thức ăn tìm kiếm được, mỗi cá thể sẽ gửi tín hiệu đến các cá thể khác và lan truyền trên toàn quần thể. Dựa vào thông tin nhận được, mỗi cá thể sẽ điều chỉnh vận tốc và hướng bay về nơi có nhiều thức ăn. Cơ chế này giúp cả đàn chim nhanh chóng tìm ra nơi có nhiều thức ăn nhất. (Nguồn: https://vi.wikipedia.org ngày 01/7/2021).

Để cụ thể hóa ý tưởng này bằng toán học, sự di chuyển của mỗi cá thể trong đàn được biểu diễn qua các công thức:

V = W×V + Φ1×rand(0,1)×(Pbest – X) + Φ2×rand(0,1)×(Gbest – X) (4.10)

101 trong đó: W là hệ số quán tính; Φ1 và Φ2 lần lượt là hệ số ảnh hưởng cục bộ và toàn cục.

Công thức (4.10) được dùng để tính toán khoảng cách và hướng bay cho lần bay tiếp theo, công thức (4.11) được dùng để cập nhật vị trí mới của mỗi cá thể.

Theo thuật toán, tại mỗi lần tìm kiếm các cá thể sẽ được đánh giá kết quả (thông qua giá trị của hàm mục tiêu). Vị trí tốt nhất ứng với kết quả tốt nhất của các cá thể sẽ được lưu vào bộ nhớ của từng cá thể Pbest và của quần thể được lưu vào bộ nhớ toàn cục Gbest. Vị trí và hướng bay của lần tìm kiếm sau sẽ phụ thuộc vào vị trí tốt nhất cục bộ (của bản thân từng cá thể) và toàn cục của lần tìm kiếm trước đó. Theo lý thuyết, quần thể càng có nhiều cá thể cùng tìm kiếm thì sẽ càng nhanh chóng tìm ra vị trí tốt nhất (vị trí có nhiều thức ăn nhất). Tuy nhiên, số cá thể tăng thì số lần tính toán cho một vòng lặp cũng tăng theo dẫn đến làm tăng thời gian tính toán cho mỗi vòng lặp. Do đó số lượng cá thể sẽ được lựa chọn phù hợp với tính chất phức tạp của bài toán và cấu hình của máy tính.

4.4.2.2 Áp dụng thuật toán PSO xác định kích thước dầm tối ưu cho vi chấp hành điện nhiệt chữ V

Khi áp dụng thuật toán tối ưu PSO cho bộ vi chấp hành chữ V, bài toán được diễn giải như sau:

- Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu ( )f X  Y L w( , , ) , với ( , , )Y L w là chuyển vị của bộ vi chấp hành xác định theo công thức (4.9). Trong đó X = [L, w, θ]T là vec tơ biến thiết kế cần được tối ưu nằm trong giới hạn phù hợp với khả năng của công nghệ gia công vi cơ khối (SOI-MEMS):

400m L 800m; 4m w 10m; 1    3 khi biểu diễn dưới dạng vec tơ:

XL = [400, 4, 1]T; XU = [800, 10, 3]T (4.12) Đây chính là không gian tìm kiếm của bài toán.

- Điện áp dẫn cho phép UC được chọn trong khoảng: 20 ÷ 38 (V). Đây là khoảng điện đảm đảm bảo hai điều kiện: điện áp cho chuyển vị đủ lớn và hệ thống có thể hoạt động được, điện áp không quá lớn để tránh hiện tượng quá nhiệt gây hỏng dầm (như trong Hình 4.2).

- Các hàm ràng buộc:

+ Hàm ràng buộc theo điều kiện ổn định dọc trục (4.5) được viết lại như sau:

2 2 2 2 min 1 2 2 2 2 ( 12 I)sin cos 4 1 0 sin 12 os b AL EI g F AL Ic L                 (4.13)

102 0

2 max 1200 0

g T  C  (4.14)

Sử dụng thuật toán bầy đàn PSO với các tham số cơ bản như sau:

- Số lượng biến thiết kế nvar = 3 (chiều dài L, chiều rộng w và góc nghiêngθ); - Số điểm tìm kiếm P = 50 (phù hợp với cấu hình máy tính thông thường);

- Số vòng lặp lớn nhất it max = 200 (dừng tính toán khi điều kiện hội tụ không thỏa mãn). - Hệ số quán tính (tăng khả năng di chuyển để tránh các bẫy tối ưu cục bộ) [82]:

W = Wmax – (Wmax – Wmin)×(it/it max) (4.15)

Ở đây chọn: Wmax = 1; Wmin = 0

- Hệ số ảnh hưởng cục bộ Φ1 = 2, hệ số ảnh hưởng toàn cục Φ2 = 2 (được chọn theo tiêu chuẩn ổn định của thuật toán [83] và [84]).

- Tiêu chuẩn hội tụ của bài toán: khi tất cả các điểm tìm kiếm cùng hội tụ về một điểm hoặc sau P lần tìm kiếm giá trị của hàm mục tiêu không thay đổi.

Sơ đồ khối thuật toán áp dụng cho việc tìm bộ kích thước theo mục tiêu cho chuyển vị lớn nhất của vi chấp hành chữ V được mô tả như Hình 4.20.

Hình 4.20 Sơ đồ thuật toán PSO

Bắt đầu

Khởi tạo vị trí X0, vận tốc V0, giá trị của Pbest và Gbest.

Tính giá trị f(X) theo (4.9), g1(X)theo (4.13) và g2(X) theo (4.14). Tính lại giá trị hàm mục tiêu: f= f+ max{0, g1, g2}

So sánh, cập nhật biến tối ưu cục bộ Pbestvà toàn cục Gbest.

Cập nhật vận tốc Vtheo (4.10) và vị trí Xtheo (4.11). Kiểm tra T.C. hội tụ Thỏa mãn Không thỏa mãn Kết thúc

Nhập: hàm mục tiêu Y; các ràng buộc g1, g2; số lượng và giới hạn biến thiết kế [XL, XU]; điện áp dẫn cho phép U; các tham số của PSO.

103 Các ràng buộc (4.13) và (4.14) được sử dụng để xác định các bộ kích thước trong quá trình tìm kiến của thuật toán có thỏa mãn các điều kiện mất ổn định dọc trục dầm và điều kiện an toàn nhiệt hay không. Để có thể loại trừ các bộ kích thước cho giá trị hàm mục tiêu tốt nhưng lại vi phạm các ràng buộc “hàm phạt” được sử dụng [85]. Giá trị của hàm này phụ thuộc vào mức độ vi phạm các ràng buộc. Với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị của một hàm phạt đơn giản được xác định như sau:

G = max{0, g1, g2} (4.16) Khi đó, giá trị của hàm mục tiêu sẽ được tính lại theo công thức:

fm = f(X) + G (4.17)

Như vậy, nếu bất kỳ một biến thiết kế nào trong quá trình tìm kiếm của thuật toán vi phạm một trong hai hoặc cả hai ràng buộc thì hàm phạt được kích hoạt theo (4.16), và hàm mục tiêu sẽ được cộng thêm giá trị của hàm này theo (4.17).

Đối với bài toán tối ưu mà luận án đã nêu ra như ở trên, trong quá trình tìm kiếm thuật toán phải tính giá trị của hàm mục tiêu, các hàm ràng buộc. Thông thường, trong thuật toán được lập trình sẽ gọi lần lượt các hàm này để tính toán một cách riêng rẽ. Khi lập trình tính toán trong MATLAB, luận án đã tích hợp các hàm ràng buộc (g1,

g2), hàm mục tiêu f(X), các công thức (4.16) và (4.17) vào một hàm duy nhất. Vì các hàm này sử dụng chung nhiều dữ liệu đầu vào như các tham số kích thước, vật liệu, và đặc biệt là nhiệt độ trên các phân tố dầm xác định bằng hàm giải hệ phương trình (3.26) (trang 69). Điều này đã góp phần làm giảm đáng kể thời gian tính toán (hệ (3.26) chỉ cần một lần tính thay cho ba lần tính).

Kết quả các bộ kích thước dầm tối ưu ứng với từng điện áp dẫn cho phép UC trong khoảng từ 20V đến 38V được biểu diễn như Hình 4.21.

Hình 4.21 Kết quả tối ưu các kích thước dầm tại các điện áp cho phép

57,3 62,9 70,4 77,5 81,5 86,0 90,2 90,0 91,2 90,1 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 C hu yể n vị l ớn n hấ t Ym (µ m ) Điện áp dẫn UC(V) 800 9,9 1,3º 797 10 1,6o 799 10 1,7o 753 10 1,5o 761 10 1,9o 799 9,3 2o 799 7,6 2o 800 5,7 2o 792 5,5 2,1o 800 4,5 2,1o

104 Trong khoảng điện áp tính toán từ 20V đến 32V chuyển vị lớn nhất tăng theo điện áp cho phép. Khi điện áp trên 32V thì chuyển vị lớn nhất gần như không thay đổi, giá trị này được gọi là điện áp cho phép hiệu dụng khi tối ưu. Theo kết quả tối ưu cho các bộ kích thước có một số đặc điểm: góc nghiêng dầm tăng theo điện áp dẫn cho phép từ 1,3° đến 2,1°; chiều dài dầm dao động trong khoảng từ 750µm đến 800µm; chiều rộng dầm có giá trị bằng cận trên 10µm tại các điện áp cho phép 22V, 24V, 26V và 28V, có xu hướng giảm khi điện áp dẫn cho phép lớn hơn 30V. Nguyên nhân của các kết quả tối ưu này có thể được giải thích như sau:

- Khi tăng điện áp dẫn, lực dãn nở nhiệt tăng và góc nghiêng dầm tăng để giảm lực dọc trục tránh mất ổn định dầm.

- Chiều dài dầm lớn sẽ giảm độ cứng của hệ dầm đồng thời tăng lực dãn nở nhiệt do nhiệt lượng truyền ra hai bản cực cố định ít hơn.

- Khi điện áp nhỏ hơn 30V, chiều rộng dầm lớn mặc dù làm tăng độ cứng hệ dầm (có thể được bù lại bằng góc nghiêng dầm nhỏ hơn 2°), nhưng lại giảm điện trở (tại cùng một điện áp dòng điện sẽ lớn hơn) dẫn đến nhiệt sinh ra và lực dãn nở nhiệt tăng. Tuy nhiên khi điện áp trên 30V thì chiều rộng dầm có xu hướng giảm để giảm dòng điện và nhiệt lượng sinh ra trong dầm.

Để xác định bộ thông số kích thước dầm hợp lý nhất trong các kết quả tối ưu, ba bộ kích thước tối ưu tại các điện áp 28V, 30V và 32V (trên Hình 4.21) được lựa chọn (theo điều kiện chuyển vị trên 80µm và điện áp cho phép không lớn hơn 32V) và đem ra so sánh (theo khả năng tăng chuyển vị và đảm bảo điều kiện làm việc an toàn). Chuyển vị của các vi chấp hành này được so sánh với một vi chấp hành mẫu (không sử dụng thuật toán tối ưu) đã được thiết kế và chế tạo thành công (mục 3.2.1):

L = 750µm; w = 6µm; θ = 2° (như trong Bảng 3.1). Kết quả tính toán chuyển vị Y của các bộ vi chấp hành cùng chịu dải điện áp dẫn từ 16V đến 32V được biểu diễn trên Hình 4.22.

Hình 4.22 So sánh chuyển vị của vi chấp hành đã tối ưu với chưa được tối ưu

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 16 18 20 22 24 26 28 30 32 C hu yển vị Y (µm ) Điện áp dẫn U (V)

Chưa tối ưu Tối ưu tại 28V Tối ưu tại 30V Tối ưu tại 32V

105 Theo đồ thị, ta thấy vi chấp hành với bộ thông số kích thước dầm sau khi tối ưu tại điện áp 28V, 30V và 32V cho chuyển vị lớn hơn so với bộ vi chấp hành chưa tối ưu tại cùng điện áp. Chuyển vị của bộ vi chấp hành có điện áp cho phép UC nhỏ hơn lại cho chuyển vị lớn hơn, tuy nhiên chuyển vị lớn nhất ứng với điện áp cho phép lại nhỏ hơn. Độ tăng chuyển vị tương đối của ba bộ vi chấp hành sau khi tối ưu so với chưa tối ưu được minh họa trên Hình 4.23.

Hình 4.23 Chênh lệch chuyển vị tương đối của các bộ kích thước tối ưu

Theo đó chuyển vị Y của các bộ vi chấp hành chữ V có kích thước đã tối ưu tăng trung bình lần lượt là khoảng 22%, 15%, 7% (tương ứng với các điện áp cho phép là 28V, 30V, 32V) so với bộ vi chấp hành không sử dụng thuật toán tối ưu. Việc so sánh theo điều kiện an toàn của các bộ vi chấp hành thông qua tỉ số kích thước L/w được trình bày như trong Bảng 4.1.

Bảng 4.1 So sánh với điều kiện an toàn của các vi chấp hành

Vi chấp hành L (µm) w (µm) θ (°) Tăng C.V.(%) L/w (L/w)gh Um < Un EVA 750 6 2 - 125 105,3 Thỏa mãn EVA (28V) 761 10 1,9 22% 76,1 73 Thỏa mãn EVA (30V) 799 9,3 2 15% 85.9 90,5 Không thỏa mãn EVA (32V) 799 7,6 2 7% 105,1 97,1 Thỏa mãn

Theo đó, bộ kích thước tối ưu tại điện áp cho phép 30V cho chuyển vị lớn (tăng trung bình 15%), tuy nhiên không thỏa mãn điều kiện an toàn làm việc. Với bộ kích thước tối ưu tại 32V thỏa mãn điều kiện an toàn làm việc nhưng chuyển vị tăng không đáng kể (trung bình 7%). Bộ kích thước tối ưu tại 28V cho chuyển vị lớn nhất (tăng trung bình 22%) đồng thời thỏa mãn điều kiện an toàn làm việc. Như vậy, bộ kích thước tối ưu tại 28V (L = 761µm, w = 10µm, θ = 1,9°) có nhiều ưu điểm nhất trong ba bộ kích thước tối ưu được đem ra so sánh với một bộ vi chấp hành mẫu. Bộ kích thước này có thể được dùng để thiết kế bộ vi chấp hành chữ V trong dẫn động các

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 C hê nh lệc h (% ) Điện áp dẫn U (V)

106 thiết bị MEMS thỏa mãn yêu cầu vừa cho chuyển vị lớn vừa đảm bảo điều kiện an toàn khi vận hành.

Để kiểm chứng kết quả tính toán tối ưu, ta tiến hành mô phỏng bằng phần mềm ANSYS nhằm xác định nhiệt độ và chuyển vị của một cặp dầm chữ V có bộ kích thước tối ưu tốt nhất (L = 761µm, w = 10µm, θ = 1,9°). Kết quả mô phỏng nhiệt độ và chuyển vị tại điện áp cho phép UC = 28V như trên Hình 4.24.

Hình 4.24 Nhiệt độ và chuyển vị của một cặp dầm chữ V tại 28V

Theo kết quả mô phỏng, nhiệt độ lớn nhất trên dầm là xấp xỉ 1190°C và đảm bảo điều kiện bền nhiệt, chuyển vị lớn nhất khoảng 79,5μm nhỏ hơn so với tính toán là 81,5μm với sai số tương đối khoảng 2,5%. Như vậy, kết quả mô phỏng cũng đã chứng minh bộ vi chấp hành với bộ kích thước tối ưu tại 28V cho chuyển vị lớn mà vẫn đảm bảo điều kiện an toàn nhiệt (Tmax < Tcr = 1200℃).