nhận được lượng tiền cao hơn lượng tiền dự đoán theo phân tích cân bằng.
Ứng dụng trong xã hội của Lý thuyết trò chơi chơi
Hotelling
Hai cửa hàng bán kem dự định mở cửa hàng trên một con phố đi bộ. Ở đó, ta giả sử người mua hàng được phân phối đều trên con đường và ai cũng phải mua một và chỉ một cây kem.
Cả hai cửa hàng cùng bản một sản phẩm giống hệt nhau về chất lượng và giá cả nên thứ họ kiện tranh hiện tại là lượng người mua. Biết rằng người mua luôn chỉ chọn cửa hàng kem gần mình nhất. Và nếu cả hai cửa hàng đều đặt trên cùng một vị trí (đối diện nhau) thì thị phần sẽ được chia đôi cho cả hai. Câu hỏi đặt ra:"Làm thế nào để tối đa hóa lượng người mua?"
Để tối đa hóa thị phân của mình thì cả hai cửa hàng kem sẽ có xu hướng ngày càng tiến sát tới giữa con phố. Khi cả hai đã ở chính giữa con phố thì không ai muốn chuyển đi nữa. Ở đây ta đạt được một cân bằng Nash, và thị phần của một của hàng là 50%.
Đứng ở góc nhìn của người quan sát, ta thấy rất rõ ràng rằng việc hai cửa hàng nằm cách đều nhau ở hai bên phố là đủ để đem lại thị phần cho họ là 50%- tương đương với cân bằng Nash. Ngoài ra thì ở vị trí này người mua chỉ cần đi xa nhất 1/4 con phố để đến được cửa hàng kem. Trong khi ở trạng thái cân bằng Nash thì người ở đầu phố phải đi một nửa con phố để mua kem.
Một ví dụ trong quy hoạch giao thông: Nghịch lý Braess
Mô tả bài toán: Một hệ thống đường, ban đầu chỉ có 2 con đường Start - A - :
End Start - B - End. và
Start - B và A - End là hai con đường cao tốc có thể chịu được lượng lưu thông khổng lồ, nên thời gian di chuyển trên 2 con đường này là hằng số, 45 phút. Tuy nhiên, 2 cây cầu, Start - A và B - End là nút cổ chai của 2 tuyến đường này, chỉ chịu được lượng lưu thông giới hạn, nên thời gian di chuyển sẽ tỉ lệ thuận với lượng lưu thông : t = T/100, T là lượng phương tiện di chuyển.
Bài toán ban đầu: Lượng xe cộ lưu thông sẽ chia làm đôi, lưu thông trên 2 con đường khác nhau là Start - A - End và Start - B - End.
Sẽ không có người nào đổi ý định là chọn con đường còn lại vì điều đó sẽ kéo theo tăng lượng lưu thông trên cầu, làm chậm thời gian di chuyển đi.
Ta có cân bằng Nash. Với thời gian lưu thông của mỗi người là: 2000/100 + 45 = 65 phút.
Các nhà quy hoạch muốn cải thiện việc di chuyển ở mạng lưới giao thông này nên thành phố đã xây dựng thêm một con đường "siêu tốc" A - B. Với công nghệ xây đường vượt trội (bằng một công nghệ thần kì nào đó), người ta di chuyển từ A đến B mà không tốn chút thời gian nào, và không phụ thuộc vào lưu lượng xe cộ luôn.
Peter đi trên cây cầu Start - A nghĩ rằng, nếu anh ta đi theo con đường Start - A - B - End thì sẽ chỉ mất :
2000/100 + 0 + 2001/100 = 40.01 phút!
Tiết kiệm được hẳn 25 phút. Nghĩ sao thì anh ta làm vậy. Rồi không chỉ mình Peter những người khác đang đi trên cây cầu Start - A cũng làm vậy. Rồi tất cả mọi người đều bỏ con đường A - End mà đi theo lộ trình A - B - End vì :
2000/100 + 0 + 4000/100 = 60, vẫn nhanh hơn là 65 phút !
Lúc này, người đi theo lộ trình Start - B - End thì tự nhiên bị kéo chậm lại bởi : 45 + 4000/100 = 85 phút !
Tức giận, họ lại đồng loạt bỏ con đường Start - B rồi lại đi theo lộ trình Start - A - B - End, bởi vì :
4000/100 + 0 + 4000/100 = 80 phút, vẫn nhanh nhiều so với 85 phút đi theo con đường Start - B - End.
Và cuối cùng, tất cả đều đi theo lộ trình Start - A - B - End dù thời gian di chuyển lên tới 80 phút.
Tuy vậy, cũng chẳng ai muốn chọn đi qua Start - B hay A - End, vì đi trên cầu tuy hơi đông nhưng cũng chỉ mất 40 phút, còn đi trên đường cao tốc thì mất những
45 phút. Ở đây, ta đạt cân bằng Nash, với thời gian di chuyển là 80 phút. Đây chính là điểm nghịch lý.
→ Từ đây ta đi đến kết luận là dù xây thêm đường A-B thì việc mọi người đồng loạt không đi trên con đường này thì bài toán quay trở lại ban đầu và thời gian di chuyển tối ưu chỉ là 65 phút mà thôi. Nhưng vì mọi người đều cố gắng tối đa hóa việc di chuyển của riêng mình, nên đã làm thời gian tăng lên thành 80 phút, và hai con đường cao tốc thì bị bỏ không.
→ Cân bằng Nash một lần nữa cho thấy rằng đám đông không phải lúc nào cũng không ngoan. Và quan trọng là nghịch lý không phải cứ xây thêm đường là giải tỏa được ách tắc giao thông.
Bài toán này không chỉ là được nêu ra, nó đã xảy ra trong thực tế, cũng chính ở thành phố Hà Nội. Nhưng rồi sau khi xây thêm nhiều đường mà kết quả không thay đổi gì thì các nhà quy hoạch đã đi tới phương án là không làm gì nữa. Bài toán này nhấn mạnh sự cần thiết của việc áp dụng toán học một cách đúng đắn vào quy hoạch đô thị.