(I) Các điều kiện sau là tương đương 1. M là Noether.
2. A và M/A là Noether.
3. Mọi dãy tăng A1≤A2 ≤A3 ≤... những môđun con của M đều dừng. 4. Mỗi môđun con của môđun M hữu hạn sinh.
5. Trong tập {Ai, i ∈ I} 6=∅ các môđun con của môđun M tồn tại tập con hữu hạn {Ai, i∈I0} (nghĩa là I0⊆I hữu hạn) sao cho
X
i∈I
Ai=X
i∈I0
Ai
(II) Các điều kiện sau là tương đương 1. M là Artin.
2. A và M/A là Artin.
3. Mọi dãy giảm A1 ≥A2≥A3≥... những môđun con của M đều dừng. 4. Mỗi môđun thương của môđun M hữu hạn đối sinh.
hữu hạn {Ai, i∈I0} (nghĩa là I0⊆I hữu hạn) sao cho \ i∈I Ai = \ i∈I0 Ai
(III) Các điều kiện sau là tương đương 1. M là Artin và Noether.
2. M là môđun có độ dài hữu hạn.
Chứng minh. Ta chứng minh (I) và (III), còn (II) là tương tự.
(I) (1) ⇒ (2). Lấy tập Λ(6= ∅) các môđun con của A ≤ M. Suy ra Λ là tập các môđun con của M.
Lấy tập Γ(6=∅) các môđun con của M/A là Mα/A, A≤Mα ≤M.
Tập Λ các Mα khác∅ (môđun con của M) có phần tử cực đại, ta gọi là Mβ. Suy ra Mβ/A là phần tử cực đại của Γ.
(2) ⇒ (3). Lấy
L1≤L2 ≤...≤Ln ≤Ln+1 ≤...≤M
Cho A và M/A Noether
A∩L1 ≤A∩L2 ≤...≤A∩Ln+1≤...
Tồn tại n ∈N để A∩Ln =A∩Ln+i.
L1+A/A≤L2+A/A ≤...≤M/A
Tồn tại k ∈N để Lk+A/A=Lk+i+A/A. Đặt t=max(n;k) suy ra
A∩Lt =A∩Lt+i Lt+A/A=Lt+i+A/A Lt/Lt∩A =Lt+i/Lt+i∩A ⇒Lt =Lt+i,∀i∈I.
(3) ⇒ (1). Giả sử M không Noether.
Lấy U ≤M. Chọn U < U1< U2 < ...không dừng, trái với (3). Vậy M là Noether.
(4) ⇒ (5). Lấy P
i∈I
Ai=A≤M, A hữu hạn sinh.
Theo tính chất của hữu hạn sinh, tồn tại I0 ⊆I (I0 hữu hạn) sao cho
A=X i∈I Ai=X i∈I0 Ai (5) ⇒ (4). Lấy A ≤M. Cho A= (xi)i∈I Ai=xiR A=X i∈I Ai
Theo (5) tồn tại I0 hữu hạn ⊆I sao cho
A=X
i∈I0
Ai=X
i∈I0
xiR
Vậy A hữu hạn sinh.
(1) ⇒ (5). Lấy Ai≤M và P i∈I Ai. Γ là tập các tổng hữu hạn các Ai/Γ ={P i∈I0 Ai| I0 hữu hạn},Γ6=∅. Do M Noether nên có phần tử cực đại là D=P
i∈J Ai, J (hữu hạn) ⊆I. Chứng minh D=P i∈I Ai. Ta có ∀i∈I, D+Ai =D ⇒D+X i∈I Ai=D (Vì Ai≤D,∀i∈I nên X i∈I Ai≤D) ⇒X i∈I Ai ≤D
⇒D=X i∈I Ai (5) ⇒ (3). Cho (5) và L1 ≤L2 ≤...≤Ln ≤Ln+1≤... (Li≤M) L1+L2+...+Ln+Ln+1+...= ∞ X i=1 Li = n X i=1 Li =Ln ⇒Ln =Ln+1 =Ln+2=...
(III) (1)⇒(2). VìM Noether, theo (I) mỗi môđun con của nó Noether. Dĩ nhiên, trong mỗi môđunA conM khác 0 (kể cả M) tồn tại môđun con cực đại A0. Giả sử đối với mỗi môđun con A chọn cố định môđun con cực đại A0. Xét dãy
M > A0 > A00> A000 > ...
Vì M Artin, dãy này dừng. Vậy nó chính là dãy hợp thành hay M có độ dài hữu hạn.
(2) ⇒ (1). Giả sử A:=A1≤A2≤A3 ≤... dãy tăng các môđun con của M. Giả sử độ dài của M là l. Ta chứng minh rằng trong A có không lớn hơn l+ 1 Ai khác nhau. Giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại trong A
Ai1 < Ai2 < ... < Aii+2.
Trong khi chứng minh định lý Jordan-H¨older-Schreier (xem [2, Định lý 1.1.16]), ta luôn luôn bổ sung để có một dãy hợp thành đối vớiM và do vậyM có độ dài≥l+ 1. Điều kiện mâu thuẫn. Do vậy M là Noether. Tương tự ta có thể chứng minh M là
Artin.
Định lý đặc trưng trên mở đầu cho nhiều điều kiện ACC và DCC ở sau này. Từ định lý này ta có:
Hệ quả 2.1.2. Cho M là R-môđun phải.
(1) Nếu M =Pni=1Mi, Mi≤M, Mi Noether (Artin) thì M là Noether (Artin). (2) Nếu R là vành Noether (Artin) thì mọi môđun hữu hạn sinh MR là Noether
(Artin).
(3) Vành thương của vành Noether (Artin) phải cũng là vành Noether (Artin). Chứng minh. (1). Giả sử M = Pn
i=1Mi, Mi ≤ M. Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo n.
Với n = 1 đó là trường hợp tầm thường.
Giả sử mệnh đề đúng với n−1 và M =Pin=1Mi, Mi Noether với mọi i. Lúc đó
L= n−1 X i=1 Mi Noether. Ta có M/Mn = (L+Mn)/Mn ∼=L/L∩Mn
Theo Định lý 2.1.1, L/L∩Mn và do đó M/Mn Noether. Do Mn Noether, ta có M
Noether.
Trường hợp Artin được chứng minh tương tự. (2). Lập đồng cấu
ϕx:R3r 7→xr∈M.
Lúc đó R/Ker(ϕx) ∼= Im(ϕ
x) = xR. Cho RR Noether. Ta suy ra xR Noether. Lấy
M =Pni=1xiR, ta có ngay điều phải chứng minh. Trường hợp Artin được chứng minh tương tự.
(3). Lấy A ≤R RR, ta có nếu RR Noether thì (R/A)R Noether. Do (R/A)A = 0
nên các môđun con trong (R/A)R trùng với các iđêan phải trong R/A, ta có điều
phải chứng minh.
Mệnh đề 2.1.3. Cho môđun nửa đơnMR. Khi đó các điều kiện sau là tương đương (1) M là môđun Artin.
Chứng minh. Giả sử M chứaU1⊕U2⊕U3...là tổng trực tiếp của vô hạn các môđun con đơn. Khi đó M có hai dãy vô hạn các môđun con
U1< U1⊕U2 < ...
và
M > U2⊕U3⊕... > U3⊕U4⊕...
Từ sự tồn tại đồng thời hai dãy tăng, giảm các môđun con của M ta suy ra điều
cần chứng minh.