Bổ đề 2.3.1. Cho R là vành với lực lượng |R|=α. Khi đó mọi R-môđun tự do F với tập cơ sở vô hạn X với lực lượng β ≥α là một R-môđun epi-co rút được.
Chứng minh. • Trước hết ta chứng minh |F|=β
Cho Xn = ( n X i=1 xiri xi ∈X, ri∈R ) , trong đó n≥1.
Khi đó, tồn tại toàn cấu Yn := (X×R)(n) →Xn và đơn cấu X →Xn. Ngược lại, |X| ≤ |Xn| ≤ |Yn|=β ∀n≥1. Vì F = ∪
n∈NXn suy ra |F|=β.
• Bất kì môđun con N của FR là ảnh đồng cấu của R-môđun G tự do với tập cơ sở với lực lượng γ ≤β.
Vì vậy G và do đó N là ảnh đồng cấu của FR, chứng tỏ rằng FR là epi-co rút
được.
Bổ đề 2.3.2. Cho môđun M, các mệnh đề sau tương đương: (1) M là epi-co rút được.
(2) Tồn tại các toàn cấu M → N và N → M với môđun epi-co rút được N nào đó.
(3) Tồn tại toàn cấu M/K →M với môđun thương epi-co rút đượcM/K nào đó. Chứng minh. (1) ⇒ (2) Rõ ràng.
(2) ⇒ (3) Giả sử tồn tại môđun epi-co rút được N và toàn cấu
α:M →N, β :N →M
Đặt K = Kerα. Khi đó, α cảm sinh một đẳng cấuα :M/K →N. Khi đó, β◦α:M/K →M toàn cấu, và M/K là epi-co rút được.
(3) ⇒ (1) Theo giả thiết, tồn tại đẳng cấu ϕ : M/K0 → M với môđun con K0
nào đó của M với K ⊆K0 .
ChoLlà môđun con bất kì củaM. Khi đó tồn tại duy nhất môđunN/K0 ≤M/K0
sao cho ϕ(N/K0) = L với N là môđun con của M.
Vì M/K epi-co rút được, khi đó tồn tại toàn cấu θ :M/K →N/K.
Xétα :N/K →N/K0 vớiα(n+K) = n+K0, và toàn cấu chính tắc π:M →M/K. Khi đó, ϕ◦α◦θ◦π :M →L là toàn cấu, chứng tỏ M là epi-co rút được. Định lý 2.3.3. Cho R là vành và β là một số vô hạn ≥ |R|. Giả sử M = F ⊕N trong đó F là R-môđun tự do với tập cơ sở lực lượng β và N là R-môđun γ-sinh với γ ≤β. Khi đó, MR là epi-co rút được.
Chứng minh. Theo bổ đề 2.3.1, FR là epi-co rút được. Theo giả thiết, N là ảnh đồng cấu của FR.
Ta có đẳng cấu F ⊕N/N ∼= F/F ∩N, suy ra M/N ∼=F, và xét toàn cấu chính
Vì F ⊕F ∼= F, nên từ F → N ta có F ⊕F → F ⊕N, suy ra tồn tại toàn cấu F →M.
Do đó ta có điều phải chứng minh theo bổ đề 2.3.2. Chú ý 2.3.4. Cho G là Z-môđun tự do với tập cơ sở đếm được vô hạn và X
là Z-môđun đếm được bất kì không epi-co rút được (chẳng hạn X = Q). Khi đó Z-môđun M =X⊕G là epi-co rút được theo định lý 2.3.3. Điều này chứng tỏ rằng một hạng tử trực tiếp (và do đó là một môđun con hoặc một môđun thương) của một môđun epi-co rút được không nhất thiết epi-co rút được.
Đối với môđun thương của môđun epi-co rút được, ta có:
Mệnh đề 2.3.5. Cho M là R-môđun epi-co rút được. Khi đó M/N epi-co rút được với bất kì môđun con bất biến hoàn toàn N của MR.
Chứng minh. Cho N là môđun con bất biến hoàn toàn của M, và cho K/N là môđun con của M/N. Khi đó tồn tại toàn cấu ϕ:M →K.
Vì N bất biến hoàn toàn nênϕ(N)⊆N, do đó ϕ:M/N →K/N với ϕ(m+N) =
ϕ(m) +N là toàn cấu.
Đối với tổng trực tiếp, ta có: Mệnh đề 2.3.6. Cho M = ⊕ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
i∈I
Mi là duo môđun. Khi đó M là epi-co rút được nếu và chỉ nếu mỗi Mi là epi-co rút được.
Chứng minh. “⇒” Theo mệnh đề 2.3.5.
“⇐” Cho mỗi Mi là epi-co rút được và N là môđun con củaM, suy ra N∩Mi≤ Mi.
Khi đó với bất kì i∈I, tồn tại fi∈EndR(Mi) sao cho fi(Mi) =N ∩Mi. Vì vậy ⊕ i∈I fi(M) = ⊕ i∈I fi(⊕ i∈I Mi) = ⊕ i∈I (N ∩Mi) =N (bổ đề 1.9.2).
Mệnh đề 2.3.7. Các điều kiện sau là tương đương, với R-môđun M không suy biến:
(1) MR nửa đơn;
(2) MR liên tục epi-co rút được.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Cho M là môđun nửa đơn và N là môđun con của M, suy ra N nửa đơn. Do đó M =N ⊕X, X ≤M. Ta thiết lập đồng cấu M →N. M/X =N ⊕X/X f ∼ =N/N ∩X =N. M −→p M/X phép chiếu chính tắc. Suy ra f ◦p:M →N toàn cấu. Vậy MR epi-co rút được.
(2) ⇒ (1) Cho N là môđun con của MR, do đó N không suy biến. Vì M epi-co rút được nên tồn tại toàn cấu f :M →N.
Vì N ∼=M/Kerf không suy biến, nên Kerf là môđun con đóng cốt yếu củaM
R. Khi đó theo điều kiện (C1) trên MR, Kerf là hạng tử trực tiếp của MR. Suy ra N
đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của MR.
Bây giờ áp dụng điều kiện (C2), N là hạng tử trực tiếp của MR.
Vậy MR nửa đơn.
Định lý 2.3.8. Nếu R là vành sao cho mọi R-môđun nội xạ là epi-co rút được thì R là vành tựa-Frobenius.
Chứng minh. Theo định lý 1.7.2, phải chứng minh mọi R-môđun xạ ảnh là nội xạ. Cho X là R-môđun xạ ảnh, E là bao nội xạ của XR. Khi đó theo giả thiết E là epi-co rút được nên tồn tại toàn cấu f :E →X.