thiết thỏa epi-ACC trên các môđun con, dù cho tổng trực tiếp là một duo-môđun.
Ví dụ 2.4.4. Cho {p1, p2, p3, ...} là một tập vô hạn các số nguyên tố. Khi đó ⊕∞
i=1Zp∞ i không thỏa epi-ACC trên các môđun con.
Chứng minh. Giả sử với mỗi j ∈N, ιj : Zp∞ j → ∞⊕ i=1Zp∞ i là phép nhúng tự nhiên và xét dãy ι1(Z(p1))≤ι1(Zp∞ 1 )≤ι1(Zp∞ 1 )⊕ι2(Z(p2))≤ι1(Zp∞ 1 )⊕ι2(Zp∞ 2 ) ≤ι1(Zp∞ 1 )⊕ι2(Zp∞ 2 )⊕ι3(Z(p3))≤...
các môđun con của ∞⊕
i=1Zp∞
i , trong đó với mỗi i ∈ N, Z(pi) là nhóm con của Zp∞ i
cấp pi.
2.5. Một số tính chất của môđun thỏa epi-ACC trêncác môđun con các môđun con
Trong phần sau (2.6), ta sẽ thấy mộtR-môđunM thỏa epi-ACC trên các môđun con, M(N) không nhất thiết thỏa epi-ACC trên các môđun con. Nhưng ta có: Mệnh đề 2.5.1. Cho M1, M2, ...Mn là các R-môđun thỏa epi-ACC trên các môđun con vàM = ⊕n
i=1
Mi. Nếu M là duo môđun, thì nó thỏa epi-ACC trên các môđun con. Chứng minh. Cho N1 ≤N2≤N3 ≤... là dãy tăng các môđun con của M.
Vì M là duo môđun, với mọi i∈N,
Ni = ⊕n
j=1
(Ni∩Mj) (Bổ đề 1.9.2).
mọi i≥k và mỗi j ∈ {1,2, ..., n}, tồn tại một toàn cấu
ϕij : (Ni+1∩Mj)→(Ni∩Mj).
Khi đó với mọi i≥k, ta có toàn cấu
ϕi= ⊕n
j=1
ϕij :Ni+1→Ni.
Vì vậy M thỏa epi-ACC trên các môđun con. Ví dụ 2.5.2. Theo Mệnh đề 2.5.1, với mọi tập hữu hạn A các số nguyên tố (phân biệt), Z-môđun ⊕
p∈AZp∞ thỏa epi-ACC trên các môđun con.
Chứng minh. VìZp∞ thỏa epi-ACC trên các môđun con (ví dụ 2.4.2) và ⊕
p∈AZp∞ là duo môđun (ví dụ 1.9.6) nên ⊕
p∈AZp∞ thỏa epi-ACC trên các môđun con. Mệnh đề 2.5.3. Nếu S là một R-môđun đơn và M là một R-môđun với epi-ACC trên các môđun con, thì A:=S⊕M cũng thỏa epi-ACC trên các môđun con. Chứng minh. Cho A1 ≤A2 ≤A3≤... là dãy các môđun con của A.
• Giả sử tồn tại i0 ∈N sao cho S∩Ai0 6= 0. Khi đó với mỗi i≥i0, S ⊆Ai, và vì vậy
Ai =Ai∩A=S⊕(Ai∩M).
Xét dãy tăng
Ai0 ∩M ≤Ai0+1∩M ≤Ai0+2∩M ≤... (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
các môđun con của M, tồn tại k ≥ i0 sao cho với mọi i ≥ k, tồn tại toàn cấu từ
Ai+1∩M vào Ai∩M.
Khi đó với mỗi i ≥ k, tồn tại toàn cấu từ Ai+1 = S ⊕(Ai+1∩ M) vào Ai = S⊕(Ai∩M).
• Giả sử với mọi i∈N, S∩Ai= 0. Khi đó ta có dãy tăng
S⊕A1/S ≤S⊕A2/S ≤S⊕A3/S≤...≤S⊕M/S ∼=M
R
Vì M thỏa epi-ACC trên các môđun con, nên S⊕M/S ∼=M
Do đó tồn tại k ∈N sao cho với mỗi i≥ k, tồn tại một toàn cấu từ S⊕Ai+1/S
vào S ⊕Ai/S, và do đó tồn tại một toàn cấu từ Ai+1 vào Ai. Chứng tỏ A thỏa
epi-ACC trên các môđun con.