Ví dụ 2.6.1. Cho M =R =Z4. Khi đó L:= M(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con.
Thật vậy, cho 06=A≤B ≤L. Ta chứng minh tồn tại một toàn cấu từ B vào A. Chú ý rằng R là một vành iđêan chính Artin. Mọi môđun trên vành iđêan chính Artin là một tổng trực tiếp các môđun cyclic (Định lý 1.8.2).
Nhưng các R-môđun cyclic khác không (sai khác đẳng cấu) là Z2 và Z4. Nên A∼= (
Z(Λ1)4 )⊕(Z(Γ1)2 )
và B ∼= (Z(Λ2)
4 )⊕(Z(Γ2)2 ) trong đó Λ1,Λ2,Γ1,Γ2 là các tập chỉ số. Khi đó
soc(A)∼=soc(Z(Λ1)
4 )⊕soc(Z(Γ12 ))∼= (2Z(Λ1) 4 )⊕(Z(Γ1)2 )∼= (Z(Λ1) 2 )⊕(Z(Γ1)2 ) soc(B)∼=soc(Z(Λ2) 4 )⊕soc(Z(Γ2)2 )∼= (2Z(Λ2) 4 )⊕(Z(Γ22 ))∼= (Z(Λ2) 2 )⊕(Z(Γ2)2 )
và ta có soc(A)≤soc(B)≤soc(L)
Nên |Λ1|+|Γ1| ≤ |Λ2|+|Γ2| ≤ |N| Bây giờ, 2A ∼= (2Z(Λ1) 4 )⊕(2Z(Γ1)2 )∼=Z(Λ1) 2 2B ∼= (2Z(Λ2) 4 )⊕(2Z(Γ22 ))∼=Z(Λ2) 2 và 2A ≤2B, nên |Λ1| ≤ |Λ2|
Chú ý rằng có một toàn cấu tự nhiên từ Z4 vào Z2. Do đó ta có thể tìm một toàn cấu từ(Z(Λ2)4 )⊕(Z(Γ2)2 ) vào (Z(Λ1)4 )⊕(Z(Γ1)2 ). Vì vậy tồn tại một toàn cấu từ B
vào A.
Vậy L thỏa epi-ACC trên các môđun con.
Định lý 2.6.2. Cho M là một R-môđun khác không sao cho M(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con. Khi đó:
(1) Mọi môđun con khác không của M có một môđun con cực đại. (2) Nếu M là hữu hạn sinh hoặc Artin, thì M là Noether.
(3) Nếu M là nội xạ, thì mọi môđun con xạ ảnh của M nội xạ.
Chứng minh. (1) • Trước hết ta chứng minh mọi môđun con N1 ≤N2 của M, tồn tại k ∈N sao cho N1 là một ảnh đồng cấu của N2(k).
Cho N1≤N2 là các môđun con của M. Với mọi j ∈ N, cho ιj :M → ∞⊕
i=1
M là phép nhúng tự nhiên chuyển mỗi m ∈ M
vào dãy của nó trong ∞⊕
i=1
M với m là tọa độ thứ j, các thành phần còn lại bằng 0. Xét dãy tăng
ι1(N1)≤ι1(N2)≤ι1(N2)⊕ι2(N1)≤ι1(N2)⊕ι2(N2) ≤ι1(N2)⊕ι2(N2)⊕ι3(N1)≤...
các môđun con của M(N).
Vì M(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con, tồn tại k ∈ N và tồn tại các toàn cấu ϕ:N2(k) →N1⊕(N2(k−1)). Vì vậy ta có một toàn cấu:
N2(k) →N1⊕(N2(k−1))→N1
• ChoN là một môđun con khác không của M và x là một phần tử khác không của N.
Khi đó tồn tại một toàn cấu ϕ:N(k) →xR với k ∈N
Khi đó
N(k)/Ker(ϕ)∼=Im(ϕ) = xR
có một môđun con cực đại. Nên N(k) chứa một môđun con cực đại. Do đó rad(N(k))6=N(k). Nhưng
Nên rad(N)6=N. Suy ra điều phải chứng minh. (2) • Giả sử M hữu hạn sinh.
Khi đó theo (1), với mọi môđun con N củaM, tồn tại k ∈N sao cho N là một ảnh đồng cấu của môđun hữu hạn sinh M(k), do đó N hữu hạn sinh. Nên M là Noether (theo Định lí 2.1.1)
• Một môđun Artin, theo (1), trong đó mọi môđun con khác không chứa một môđun con cực đại là Noether.
(3) Cho M là nội xạ, P là một môđun con xạ ảnh của M. Khi đó tồn tại một toàn cấu ϕ:M(k) →P với k∈N.
Vì P xạ ảnh nên ϕ chẻ ra. Do đó, P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M(k).
Vì vậy P nội xạ.
Ví dụ 2.6.3. Cho p là số nguyên tố. Khi đó Zp∞ không có bất kì môđun con cực đại nào. Nên Z(N)
p∞ không thỏa epi-ACC trên các môđun con. 2.7. Vành với epi-ACC
Mệnh đề 2.7.1. Cho R là một vành. Khi đó
(1) Nếu R(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con (như một R-môđun phải), khi đó R là một vành Noether phải.
(2) Nếu E(RR)(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con, khi đó R là một vành tựa-Frobenius.
Chứng minh. (1) Theo định lí 2.6.2, R(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con,R hữu hạn sinh, nên R là một vành Noether phải.
(2) Giả sử E(RR)(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con
• Khi đó RR(N) cũng thỏa epi-ACC trên các môđun con. Vì vậy R Noether phải (theo a).
• Vì RR xạ ảnh (RR tự do) nên nó nội xạ (theo định lí 2.6.2 (3)).
Do đó R là tự nội xạ phải Noether phải, từ đó tựa-Frobenius. Ví dụ 2.7.2. (1) XétR =Z4. Ta cóE(Z4)(N) =Z(4N) thỏa epi-ACC trên các môđun con (Ví dụ 2.6.1). Khi đó Z4 là vành tựa-Frobenius.
(2) Chiều ngược lại của Mệnh đề 2.7.1 (2) không đúng.
Xét R = Z3 là vành tựa-Frobenius, nhưng E(RR)(N) không thỏa epi-ACC trên các môđun con, vìE(RR)(N) =E(Z3)(N) =Z(3N∞) không thỏa epi-ACC trên các môđun con (ví dụ 2.6.3).
Ta có vài nhận xét về trường hợp ngược lại của mệnh đề 2.7.1
Cho R là một vành. Khi đó nếu R là một vành Noether phải thì R(N) nói chung không là Noether phải, vì trong R(N) ta có dãy tăng không dừngR < R2 < R3< .... Tuy nhiên có một số trường hợp đặc biệt, như khi vành R = Z4 là vành tựa- Frobenius, ta có Z(4N) (xem như Z4-môđun) thỏa epi-ACC trên các môđun con. Vì thế chúng tôi muốn đưa ra câu hỏi:
Câu hỏi 2.7.3. Nếu R là vành tựa-Frobenius thì R(N) (xem như là R-môđun) thỏa epi-ACC trên các môđun con như một R-môđun phải.
Tuy nhiên, đó chỉ là một dự đoán, mà chúng tôi chưa chứng minh được.
Hệ quả 2.7.4. Nếu R là một vành không suy biến phải và E(RR)(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con, khi đó R là một vành nửa đơn Artin.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.7.1,E(RR)(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con nên
R là một vành tựa-Frobenius, do đó Noether phải, tự nội xạ phải.
Ta có R là một vành tự nội xạ phải không suy biến phải suy ra R chính quy (Định lý 1.10.4). Do đó mọi iđêan phải hữu hạn sinh của R là một hạng tử trực tiếp của RR.
Nhưng R là Noether phải nên mọi iđêan phải của R là hữu hạn sinh.
Ví dụ 2.7.5. R :=Z4 là một vành tự nội xạ giao hoán với Z(RR) = {¯0,¯2} (Ví dụ 1.10.2).
Theo Ví dụ 2.6.1, Z(N)
4 là một Z4-môđun với epi-ACC trên các môđun con, nhưng Z4 không nửa đơn Artin. Chứng tỏ điều kiện “không suy biến” là cần thiết trong hệ quả 2.7.4.
Đối với những vành trong đó tất cả các môđun thỏa epi-ACC trên các môđun con, ta thu được kết quả sau:
Hệ quả 2.7.6. Nếu R là một vành giao hoán sao cho tất cả các R-môđun phải thỏa epi-ACC trên các môđun con, khi đó R là một vành iđêan chính Artin.
Chứng minh. Cho R¯ là một vành thương của R.
Rõ ràng tất cả các R¯-môđun phải thỏa epi-ACC trên các môđun con.
Đặc biệt, E( ¯R)(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con. Nên R¯ là một vành tựa- Frobenius, theo Mệnh đề 2.7.1.
Một vành trong đó tất cả các vành thương là tựa-Frobenius là một vành iđêan chính Artin (Định lý 1.8.1), vì vậy R là một vành iđêan chính Artin. Hệ quả 2.7.7. Cho M là một R-môđun di truyền khác không. Nếu E(M)(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con thì M là nửa đơn và nội xạ.
Chứng minh. E(M)(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con và E(M) là môđun nội xạ nên mọi môđun con xạ ảnh của E(M) là nội xạ (theo Định lý 2.6.2).
Vì M di truyền nên mọi môđun con của M là xạ ảnh do đó nội xạ. Do đó mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M (Hệ quả 1.3.7).
Vì vậy M là nửa đơn và nội xạ.
Mệnh đề 2.7.8. Cho R là một vành di truyền phải, M là một R-môđun khác không. Nếu E(M)(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con, khi đó M là nửa đơn và nội xạ.
Chứng minh. Cho N là một môđun con của M.
Vì E(M)(N) thỏa epi-ACC trên các môđun con, như chứng minh định lí 2.6.2 ta có thể tìm k∈N sao cho N là một ảnh đồng cấu của E(M)(k).
Nhưng R là di truyền phải và E(M)(k) là R-môđun nội xạ nên
N ∼=E(M)(k)
/Kerϕ
cũng là một R-môđun nội xạ (Định lý 1.11.3). Vì vậy M là một R-môđun nội xạ và mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp.
Do đó M là một R-môđun nội xạ nửa đơn.
Ví dụ 2.7.9. Xét vành R =Z4. Khi đó Z(N)
4 là một R-môđun thỏa epi-ACC trên các môđun con mà Z4 không nửa đơn.
Chú ý rằng R không di truyền (vì {¯0,¯2} không R-xạ ảnh). Điều này chứng tỏ điều kiện “di truyền” là cần thiết trong Mệnh đề 2.7.8.
KẾT LUẬN
Luận văn “Về môđun với epi-ACC” đã đạt được các kết quả sau:
1. Tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống các kiến thức về môđun, môđun Noether,...
2. Nghiên cứu tổng quan điều kiện epi-co rút được với môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, cụ thể là: mô tả được môđun epi-co rút được (Định lý 2.3.3), các tính chất của môđun epi-co rút được liên quan đến môđun thương, tổng trực tiếp, nửa đơn. Đặc biệt, đặc trưng vành tựa-Frobenius thông qua mọi R-môđun nội xạ là epi-co rút được (Định lý 2.3.8).
3. Nghiên cứu tổng quan môđun với epi-ACC, một số môđun với epi-ACC đặc biệt, cụ thể là: các tính chất và ví dụ của môđun với epi-ACC liên quan đến tổng trực tiếp; tính chất của môđun tổng trực tiếp của|N| bản sao củaM thỏa epi-ACC trên các môđun con (Định lý 2.6.2), nghiên cứu vành với epi-ACC, đặc biệt liên quan đến vành tựa-Frobenius (Mệnh đề 2.7.1).
Trong phần 2 và 3 nói trên, luận văn đã trình bày rất tường minh các chứng minh được viết rất gọn ở các bài báo, cho thêm các ví dụ minh họa cho các trường hợp cụ thể. Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa ra thêm các nhận xét về các kết quả đã có.
Trong thời gian sắp tới, khi có điều kiện về thời gian và kiến thức tôi sẽ tiếp tục xem xét chứng minh vấn đề được nêu ở 2.7.3, nếu chứng minh được vấn đề này thì sẽ thu được thêm nhiều hệ quả thú vị khác.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] N. H. V. Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục.
[2] L. V. Thuyết, T. C. Quỳnh (2019), Giáo trình môđun và vành, NXB Đại học Huế.
[3] L. V. Thuyết, L. Đ. Thoang (2017),Vành với điều kiện hữu hạn, NXB Đại học Huế.
Tiếng Anh
[4] R. Dastanpour and A. Ghorbani (2017), Modules with epimorphism on chains of submodules, Journal of Algebra and Its Application Vol. 16, No. 6.
[5] A. Ghorbani and M. R. Vedadi (2009), Epi-retractable modules and some ap- plications, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol. 35 No. 1, pp 155-166.
[6] G. K¨othe (1935),Verallgemeinerte abelsche gruppen mit hyperkomplexen oper- atorenring, Math, Z. 39(1), 31-44, doi: 10.1007/BF01201343.
[7] T. Y. Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathe- matics, Vol. 189, Springer-Verlag, New York.
[8] H. Mostafanasab (2013), Application of epi-retractable and co-epi-retractable modules, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol. 39 No. 1, pp 903- 917.
[9] I. H. Muslem (2016), Some types of Retractable and Compressible Module, University of Baghdad, Preprint.
[10] R. Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, Algebra, Logic and Applications, Vol. 3, Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia, PA.