Tích phân đường loại 2 1 Khái niệm

3. Phép chuyển qua toạ độ cầu

2.4 Tích phân đường loại 2 1 Khái niệm

2.4.1 Khái niệm

Định nghĩa

Cho đường cong trơnCvới hai đầu mút làA,Bvà hàmfx,y  Px,y,Qx,yxác định trên C. Gọilà tập hợp tất cả cách chia đường congC. Giả sửpn  A0,A1, . . . ,An  . Đặt:

si  Ai1Ai  xie1 yie2 (e1,e2 là các véc tơ đơn vị tự nhiên) Trên mỗi cung



Ai1Ai ta chọn điểmMii,i. Lập tổng:

pn 

n

i1

 Pi,ixi Qi,iyi;

đặtn  max si ; Nếun  ,n  0màpn  Lkhông phụ thuộc vào các chia đường cong Cvà cách chọn điểmMi thì ta nói số Llà tích phân đường loại 2 của hàm f trên đường cong C.Ký hiệu:

AB Fdshoặc

ABPx,ydxQx,ydy (F  px,y;Qx,y;ds  dx,dy)

Tương tự ta có thể mở rộng định nghĩa tích phân đường loại hai cho hàmF: Rn  Rn

Tính chất

1. Tích phân đường loại 2 có các tích chất tương tự như tích phân đường loại 1, ngoại trừ tính chất sau:  AB Fds  BA Fds 2. ABPx,ydxQx,ydy   ABPx,ydx ABQx,ydy

3. Trong trường hợp đường congClà kín, thì ta quy ước chọn chiều dương trênClà chiều ngược chiều kim đồng hồ.

2.4.2 Cách tính

1. Nếu đường congC AB cho bởiy  x; Aa,a;Bb,bthì: CPx,ydxQx,ydy  b a  Px,xdx b a  Qx,x/xdx 2. Nếu đường congC AB cho bởi phương trình tham số:

x  xt

y  yt Axa,ya;Bxb,ybthì:

CPx,ydxQx,ydy  b a  Pxt,ytx/tdt b a  Qxt,yty/tdt

(Công thức này có thể mở rộng cho trường hợp hàm véc tơF: Rn  Rn) Ví dụ

1. TínhI  Cx22xydxy2 2xydy, trong đóClà cung paraboly  x2từ điểmA1, 1 đếnB1, 1 Giải: Thaydy  2xdx; Ta cóI  1 1  x2 2x.x2 x22 2x.x2 . 2x dx



1

1

 x22x32x54x4dx  1415

2. TínhI  Cxydxxydy;Clà đường trònx2y2  1.

Giải: (C): x  cost y  sint 0  t  2 I  2 0

 costsintsintdt

2

0

 costsintcostdt 

2

0

 cos 2tsin 2tdt  1

2sin 2tcos 2t|02  0.

3. TínhI  L2xy4x31dx2xy4x31dy, (L) là đoạn thẳng từA2, 1đếnB2, 0 Giải:

Phương trình đoạn AB:x  2;y  1đếny  0 (dx0)

I  0 1  4y4. 23 1dy  1 0  4y31dy  33

4. TínhI  Ly2xdx4yxdy. (L) là đườngy3  xtừ điểm O(0,0) đến A(1,1) Giải:dx  3y2dy I  1 0  y2y33.y2dy 1 0  4yy3dy  4

5. TínhI  Lxdxydyxy1dz, (L) là đoạn thẳng nối từ A(1,1,1) đến B(2,3,4) Giải:AB  1, 2, 3

Phương trình tham số đoạn thẳng AB:

x  1t y  12t z  13t 0  t  1 dx  dt;dy  2dt;dz  3dt I  1 0  1tdt2 1 0  12tdt3 1 0  1t12t1dt  13 Công thức Green

ChoClà đường cong kín, trơn từng khúc trong mặt phẳng Oxy vàDlà miền giới hạn bởi C.Nếu các hàmPx,y,Qx,ythuộc lớpC1 trênD. Khi đó:

CPx,ydxQx,ydy  D Q

x  Py dxdy(trong đó tích phân đường lấy theo hướng dương)

Ví dụ

(Qui ước: nếu không giải thích gì thì hiểu các (L) theo chiều dương) 1.TínhI  L xdyydx

x2y2 , trong đó:

a.Llà đường cong (chu tuyến) kín bao quanh điểm gốc O. b.Llà đường cong (chu tuyến) kín không bao điểm gốc O.

Giải:

Px,y  x

x2 y2 ;Qx,y  y x2y2

a. Chú ý : Do hàmPx,yvàQx,ykhông liên tục tại gốc toạ độ nên không tính bằng công thức Green được, ta tính trực tiếp.

Giả sửLcó phương trìnhr  rtrong toạ độ cực, khi đó phương trình tham số củaL:

x  rcos;y  rsin, 0    2

dx  cosdrrsind;dy  sindrrcosd

Do đóI 

2

0

 rcossindrrcosdrsincosdrrsind

r2



2

0

 d 2

b. VìPvàQ thuộc lớpC1 trên miềnDgiới hạn bởiL(thoả điều kiện của công thức Green) Q

x  P

y  I  0

2.I  Lxy23dx2xy3x2dy, (L) là đường tròn tâm O bán kính 1 Giải:

Viết lạiI  Lxy23dx2xy2dyL3xdy  I1L3xdy  L3xdy

(I1  0vìP xy23;Q  2xy2thỏa Q x  P y  2y) (L): x  cost y  sint 0  t  2;Suy raI  3 2 0  cos2tdt  3 2 0  1cos 2t 2 dt  3

3.I  L3xy2dx2xy2xdy, (L) là đường tròn tâm O bán kính R. Giải: P  3xy2;Q  2xy; suy raI  L2xdy

4.I  L2xydx2xydy, (L) là đường elip x2

a2  y2

b2  1(a0,b0) Giải: Viết lạiI  L2x2ydx2xydyLydx  Lydx.

(L): x  acost

y  bsint t  0, 2;Suy raI  ab

5.I  Lysinx1dx2xcosydy, (L) là đường elip x2

4  y2

9  1

Giải:I  Lysinx1dxxcosydyLxdy  Lxdy,(tương tự ví dụ trên,I  6) 6.I  Lx2y2dxx2y2dy, (L) là đườngy  1|1x|;0  x  2

Giải: (L): là chu tuyến của tam giác OAB với A(2,0); B(1,1)

P  x2 y2;Q  x2 y2; Q x  2x; P y  2y I  2Dxydxdy  2 1 0  dy 2y y  xydx  2 1 0  2y24y2dy  4 3 7.I  L2x2y2dxxy2

B(2,2);C(1,3)

Giải: Tương tự ví dụ 6.I  4 3

8. TínhI  Lexsinypydxexcosypdy; Với (L) là nửa trên đường trònx2y2  ax(theo chiều ngược chiều kim đồng hồ)

Giải:

Bổ sung vào (L) đoạn thẳng OA với A(a,0) để được chu tuyếnC LOA Gọi D là phần mặt phẳng giới hạn bởi (C);P  exsinypy;Q  excosyp

L pdxQdy  CpdxQdyOApdxQdy  JI1

Q

x  excosy; P

y  excosyp

Theo Green:J  Dpdxdy  p a2

8

I1  0 (vì OA: y0; dy0). VậyI  p a2

8

9.I  Lxyxydxxyxydy; (L) là elip x2

a2  y2

b2  1 (a,b0) Giải:

P  xyxy;Q  xyxy; (D) là hình elip nói trên.

I  Dyxdxdy;

x  arcos

y  brsin   0, 2;Jjacobi  abr;   r, : r  0, 1;  0, 2

I  brsinarcosabrdrd 

0 2

 d

0 1

 brsinarcosabrdr

 ab 3

0 2

 bsinacosd  0.

10.I  Lxyxydxxyxydy; (L) là đường trònx2y2  ax (a0) Giải: Tương tự ví dụ 9.

P  xyxy;Q  xyxy; (D) là hình tròn nói trên.

I  Dyxdxdy; chuyển sang tọa độ cực; phương trình đường tròn trên trong tọa độ cực

r2  arcos I  /2 /2  d 0 acos  rsinrcosrdr  /2 /2

 sincosacos3

d  a83

Ứng dụng của công thức Green

Chọn hàmP,Q thỏa: Q

x  1; P

y  1khi đó: Diện tích của miền

D  1

2 CPx,ydxQx,ydy,

chẳn hạnQ  x;P  ysuy raD  1

Ví dụ: Tính diện tích của hình giới hạn bởi x2 a2  y2 b2  1; C : x  acost y  bsint t  0, 2; S  1 2 0 2

 bsint.asintacost.bcostdt  ab

Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân. Định lý:

P, Q là các hàm thuộc lớpC1trên miền đơn liên D. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (i) Q

x  P

y x,y  D

(ii)LpdxQdy  0, với mọiLlà đường cong kín, trơn từng đoạn, nằm trongD.

(iii)AB PdxQdykhông phụ thuộc vào đường lấy tích phân trong Dmà chỉ phụ thuộc vào các điểm đầu mútAvàB.

(iv) Biều thứcPdxQdylà vi phân toàn phân của một hàmux,ynào đó. (Tức là có hàmuđể

ux/  Pvàuy/  Q)

Nhận xét: NếuClà đường cong đơn, trơn có điểm đầuAđiểm cuối làB, HàmFlà hàm thuộc lớp

C1trên miền mở chứaCvà códF  PdxQdythì CPx,ydxQx,ydy  FBFA

Ví dụ

1. TínhCydxxdy, trong đó Clà đường cong đơn, trơn bất kỳ trong mặt phẳng Oxy điểm đầuA1, 2và điểm cuốiB2,1

Giải: Fx,y  xy; dFx,y  ydxxdy

 Cydxxdy  FBFA  22  4

2. TínhI  L2x3ydx3x4ydy; (L) là đườngy  x2từ điểm O(0,0) đến A(2,4) Giải:

P  2x3y;Q  3x4ythỏa điều kiện (i) do đó thỏa (iii) tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân, nên chọn đường lấy tích phân là đoạn thẳng OA có phương trình tham số:

x  t y  2t t  0, 2; I  2 0  2t6t23t8tdt  4 2.5 Tích phân mặt loại 1

2.5.1 Khái niệm(Tương tự tích phân hai lớp, thay vì miền lấy tích phân là miền phẳng trongR2 thìlà miền của mặt cong trongR3, thay vì hàm số 2 biến thì là hàm số 3 biến)