Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

3. Phép chuyển qua toạ độ cầu

3.2.5 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

Phương trình tuyến tính dạng:y//pxy/ qxy  fx (1) Phương trình thuần nhất tương ứng:y// pxy/ qxy  0 (2)

Giả sử đã biết nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:y  C1y1 C2y2 (3), trong đó

C1,C2là các hằng số tùy ý. Bây giờ xemC1,C2 là hai hàm số, ta tìmC1,C2để (3) là nghiệm của phương trình (1)

VớiC1,C2là nghiệm của hệ:

C1/y1C2/y2  0

C1/y1/ C2/y2/  fx

Vi dụ:

Giải phương trình:y// y  cos3x

Giải:

Phương trình đặc trưng21  0có 2 nghiệm phức1,2  i

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:y  C1cosxC2sinx

Ta tìmC1,C2thỏa: C1 /

cosxC2/ sinx  0

C1/sinxC2/ cosx  cos3x C1/  sinxcos3x C2/  cos4x  1cos 2x 2 2  12 cos 2xcos22x 4  1 4 12 cos 2x 1cos 4x 2  1 4 3 2 2 cos 2x cos 4x 2

Suy ra:C1  1 4 cos 4xK1; C2  3 8x 1 4 sin 2x 1 32 sin 4xK2

Vậy Nghiệm tổng quát của phương trình:y  C1cosxC2sinx 3

8x 1 4 cos

4x 1

4 sin 2x 1 32 sin 4x

Bài tập

Tích phân mặt loại 2. Tính:

1. I  Sdxdy,Slà mặt định hướng:x2y2z  4, véc tơ pháp tuyến n  1, 2, 2vàx2y2  4.

HD: k n  0do đó góc giữa n và trụcOzlà góc nhọn, nênI  Dxydxdytrong đóDxylà hình chiếu vuông góc củaSlên mặt Oxy, và là hình tròn x2y2  4.

Suy raI diện tích hình tròn này4

2.I  S 1

x2y2

dxdy. Slà mặt dưới của mặtx2y2  9,z  4.

HD: I  Dxy 1 x2y2 dxdy   0 2  d 0 3  dr  6;

3. I  Sdxdy,Slà mặt dưới của mặt x2

4  y2

9  1,z  2.

HD:Dxylà elip:x2

4  y2

9  1. I  Dxydxdy  6

4.I  Sxdydzzdzdx5dxdy, Slà phía trên của mặt phẳng2x3yz  6, thuộc góc phần 8 thứ nhất.

HD:

5.I  Sx2dydzz2dxdy, Slà phần ngoài của mặt nón:x2y2  z2, 0  z  1.

HD:

6.I  SzR2

dxdy, S là phía ngoài của nửa mặt cầu:x2y2zR2  R2, R  z  2R.

HD:

7.I  Syzdydzxzdxdzxydxdy, Slà phía trên của tam giác tạo bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng:xyz  a(a0).

8.I  Sx2dydzy2dxdzz2dxdy, S là phía ngoài của phần mặt cầux2y2z2  a2thuộc góc phần tám thứ nhất.

9.I  Sz2dxdy, S là phía trong của mặtx2y22z2  2.

10.I  Sz1dxdyS là phía ngoài của phần mặt cầux2 y2z2  R2

11.I  Sx2dydzy2dxdzz2dxdy, S là phía ngoài của mặt cầuxa2yb2zc2  R2 12.I  Sx2dydzy2dxdzz2dxdy, S là phía ngoài của mặt nón x2

a2  y2

a2  z2

b2, 0  z  b.

13.I  Lexdxzx2 y232dyyz3dz. Llà giao tuyến của các mặt:z  x2y2,x  0,y  0,y  1.

14.I  Lydxz2dyx2dz. Llà giao tuyến của các mặt:x2y2z2  4vàz  3

15.I  Lyzdxzxdyxydz,Llà đường trònx2y2z2  a2,xyz  0.