Phương trình tuyến tính với hệ số hằng: thuần nhất hoặc vế phải đặc biệt.

3. Phép chuyển qua toạ độ cầu

3.2.4 Phương trình tuyến tính với hệ số hằng: thuần nhất hoặc vế phải đặc biệt.

Dạng thuần nhất:y// py/ qy  0(Trong đóp,qlà các hằng số) Cách giải:

Phương trình đặc trưng:2 pq  0

Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt1,2 (  p2 4q  0) Nghiệm tổng quát:y  C1e1xC2e2x

Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có nghiệm kép1  2  p

2 (  p24q  0) Nghiệm tổng quát:y  C1C2xe

p

2x

Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức liên hợp1,2  i

(  p24q  0;  p2;  

2 )

Nghiệm tổng quát:y  exC1cosxC2sinx

Ví dụ:

1. Giải phương trình:y// 3y/4y  0

Giải:

Phương trình đặc trưng234  0có hai nghiệm1  1,2  4Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất:y  C1ex C2e4x

2. y// 5y/6y  0 3. y// 6y/  0 4. y// 6y  0 5. y// y  0 6. y// 2y/y  0 7. y// 2y/2y  0 8. y// 4y/2y  0 9. y /y y//  3 10. y// 5y/ 4y  0 thỏa (y0  5;y/0  8) Giải:

Phương trình đặc trưng254  0có hai nghiệm1  1,2  4

Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất:y  C1exC2e4x

y/  C1ex4C2e4x (y0  5;y/0  8) C1C2  5 C14C2  8  C1  4;C2  1 Vậy: y  4exe4x 11. y// 3y/2y  0 thỏa (y0  1;y/0  1) 12. y// 4y  0 thỏa (y0  0;y/0  2) 13. y/ 2y/  0 thỏa (y0  1;y/0  0) 14. y// 2y  0 thỏa (y0  0;y/1 0)

Dạng không thuần nhất với vế phải đặc biệt:

Dạng:y// py/qy  fx (flà hàm đặc biệt sẽ trình bày bên dưới) Cách giải:

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:y// py/ qy  0.

Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình.

Bước 2: Biểu diễn nghiệm tổng quát: bằng tổng nghiệm tổng quát tìm được ở bước 1 và một nghiệm riêng tìm được ở bước 2.

Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình:

Dạng 1:y// py/qy  Pmxex (Pm là đa thức bậcm)

Trường hợp (i):không là nghiệm của phương trình đặc trưng, ta tìm một nghiệm riêng dạngy  Qmxex

Trường hợp (ii):là nghiệm bội cấprcủa phương trình đặc trưng ta tìm một nghiệm riêng dạngy  xrQmxex

Trong đóQmxlà đa thức bậc tối đa làm, và được xác định bằngcách thay trực tiếp vào

phương trình và dùng phương pháp đại số thông thường: Ví dụ:

1. Giải phương trình:y// 4y/4y  x2 Giải:

Bước 1: PTĐT:244  0có nghiệm kép (bội 2)  2.

Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất:y  C1C2xe2x Bước 2: (fx  x2  x2ex với  0không là nghiệm của PTĐT)

Ta tìm một nghiệm riêng của PT đã cho dạngy  Ax2BxC

y/  2AxB;y//  2A, thay vào PT đã cho được:4Ax28A4Bx2A4B4C  x2.

Đẳng thức trên đúngxkhi và chỉ khi:

4A  1 8A4B  0 2A4B4C  0  A  1 4 B  1 2 C  3 8 ;

Vậy một nghiệm riêng của PT:y  1 4x

2  12x 3 2x 3

8

Bước 3: Nghiệm tổng quát của PT:y  C1C2xe2x 1 4x 2 1 2x 3 8 2. Giải phương trình:y// y/ y  x26 Giải:

Bước 1: PTĐT21  0có 2 nghiệm phức liên hợp:1,2  1i 3 2

Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất:y  e12x

C1cos 3

2 xC2sin 3

2 x

Bước 2: (fx  x26exvới  0không là nghiệm của PTĐT) Ta tìm một nghiệm riêng của PT đã cho dạngy  Ax2BxC

y/  2AxB;y//  2A, thay vào PT đã cho được:Ax22ABx2ABC  x26

Đồng nhất hệ số cho ta:A  1;B  2;C  6

Một nghiệm riêng của PT:y  x22x6

Bước 3: Nghiệm tổng quát của PT:y  e12x C1cos 3

2 xC2sin 3

2 x x22x6

3. Giải PT;y// y  ex

Giải:

Bước 1: PTĐT21  0có 2 nghiệm phân biệt1  1;2  1;

Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất:y  C1ex C2ex

Bước 2: (fx  Pex P1,  1là nghiệm bội cấp 1 (nghiệm đơn) của phương trình đặc trưng)

Ta tìm một nghiệm riêng của PT dạngy  Axex

PT có:2Aex  ex  A  1 2

Nghiệm riêng của PT:y  1 2xe

x

Bước 3: Nghiệm tổng quát của PT:y  C1ex C2ex 1 2xe

x

4. Giải PT:y// y/ 6y  xe2x Giải:

Bước 1: PTĐT26  0có 2 nghiệm phân biệt1  2;2  3

Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất:y  C1e2x C2e3x

Bước 2: (fx  xe2x,  2là nghiệm bội cấp 1 của PTĐT ); ta tìm một nghiệm riêng của PT dạng:y  xAxBe2x

y/  2AxBe2x 2y; y//  2Ae2x22AxBe2x 2y/; thay vào PT được: 2A5Be2x10Axe2x  xe2x

Đồng nhất hệ số cho:A  1

10;B   1

25; Một nghiệm riêng của PT:y  x 1

10x 1

25 e

2x

Bước 3: Nghiệm tổng quát của PT:y  C1e2xC2e3x x 1

10x 251 e2x 5. Giải phương trình:y// 6y/9y  xe3x

Giải:

PTĐT269  0có nghiệm bội cấp2là  3.

Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất:y  C1xC2e3x

(fx  xe3x;  3là nghiệm bội cấp r2 của phương trình đặc trưng) Ta tìm một nghiệm riêng của PT dạng:y  x2AxBe3x  e3xAx3Bx2

y/  3e3xAx3Bx2e3x3Ax22Bx  3Ax3e3x 3A3Bx2

e3x2Bxe3x

 3Ax33A3Bx2 2Bxe3x

y//  9Ax2e3x 9Ax3e3x 6ABxe3x9ABx2e3x 2Be3x6Bxe3x

 9Ax318A9Bx2 6A12Bx2Be3x

y// 6y/9y  6Ax2Be3x

Thay vào phương trình cho:6Ax2Be3x  xe3x Suy ra:A  1

6;B  0. Một nghiệm riêng của PTy  1 6x

3

e3x

Nghiệm tổng quát của PT:y  C1xC2e3x  1 6x

3e3x

Dạng 2:y// py/qy  PmxcosxPnxsinx (Pm là đa thức bậcm,Pn là đa thức bậcn)

Trường hợp (i):ikhông là nghiệm của phương trình đặc trưng, ta tìm một nghiệm riêng dạng:y  QlxcosxRlxsinxvớil  maxm,n

Trường hợp (ii):ilà nghiệm của phương trình đặc trưng, ta tìm một nghiệm riêng dạng:

y  xQlxcosxRlxsinxvớil  maxm,n

Trong các dạng nói trên,Trong đóQlx,Rlxlà đa thức bậc tối đa làlvà được xác định bằngcách thay trực tiếp vào phương trình và dùng phương pháp đại số thông thường:

Lưu ý: Dạng:y// py/ qy  eaxPmxcosxPnxsinxbằng cách đặty  zeaxthì đưa về dạng 2.

Ví dụ:

1. Giải PTy// y/  cosx

Giải:

Bước 1:Phương trình đặc trưng2  0có hai nghiệm thực phân biệt1  1;2  0

Bước 2: (fx  cosx  P1cosxR1sinxvới;P1  1;R1  0;  1  ikhông là nghiệm của phương trình đặc trưng)

Tìm 1 nghiệm riêng của phương trình dạngy  AcosxBsinx

y/  AsinxBcosx; y//  AcosxBsinx; thay vào phương trình cho: ABcosxABsinx  cosx

Đồng nhất hệ số AB  1

AB  0  A  12;B  1

2. Một nghiệm riêng của

PT:y  12 cosx 1 2 sinx

Bước 3: Nghiệm tổng quát của PT:y  C1exC2  1

2 cosx 1 2 sinx

2. Giải pT:y// y  xsinx

Giải:

Bước 1: Phương trình đặc trưng21  0có hai nghiệm phức  i

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:y  C1cosxC2sinx

Bước 2: (vế phảifx  xsinx    1  i  ilà nghiệm của PT đặc trưng). ta tim một nghiệm riêng của PT dạng:y  xaxbcosxcxdsinx

y  ax2bxcosxcx2dxsinx

y/  2axbcosxax2bxsinx2cxdsinxcx2dxcosx

 cx22adxbcosxax2b2cxdsinx

y//  2cx2adcosxcx22adxbsinx2axb2csinxax2b2cxdcosx

 ax2 b4cx2a2dcosxcx24adx2b2csinx

y// y  4cx2a2dcosx4ax2b2csinx. Thay vào phương trình cho: 4cx2a2dcosx4ax2b2csinx  xsinx

Đồng nhất hệ số cho: 4c  0 2a2d  0 4a  1 2b2c  0  a  1 4 c  0 b  0 d  1 4 ;

Vậy một nghiệm riêng của PT:y  1

4x2cosx 1 4xsinx

Bước 3: Nghiệm tổng quát của PT:y  C1cosxC2sinx 1

4x2cosx 1 4xsinx,

3. Giải phương trìnhy// 2y/ 5y  excos 2x (1) Giải:

Đặty  zex; khi đóy/  z/ zex; y//  z// 2z/zex; thay vào phương trình đã cho dẫn đến phương trình:

z// 4z  cos 2x (2)

Bước 1: Phương trình đặc trưng của (2):24  0có 2 nghiệm phức phân biệt:1,2  2i.

Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất tương ứng của (2) là:z  C1cos 2xC2sin 2x

Bước 2: Dofx  cos 2x;  2;ilà nghiệm bội cấp 1 của PT đặc trưng nên ta tìm một nghiệm riêng của PT (2) dạng:z  xAcos 2xBsin 2x

z/  2BxAcos 2x2AxBsin 2x; z//  4AxBcos 2x4Bx4Asin 2x; thay vào phương trình (2) cho ta:

4Bcos 2x4Asin 2x  cos 2x, x (A  0;B  1 4) Một nghiệm riêng của (2):z  1

4xsin 2x

Bước 3: Nghiệm tổng quát của (2):z  C1cos 2xC2sin 2x 1

4xsin 2x

Suy ra nghiệm tổng quát của (1):y  C1cos 2xC2sin 2x 1

4xsin 2xex.

4. Giải phương trìnhy// y/  2 cos2x

Giải:

Viết lại phương trình:y// y/  cos 2x1 1

Bước 1: Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:y  C1ex C2 (phương trình đặc trưng2  0có hai nghiệm thực1  1;2  0)

Bước 2: Ta tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho bằng cách sử dụng định lý chồng nghiệm:

Xét Hai phương trình :y// y/  cos 2x(2) vày// y/  1(3)

(i) Tìm một nghiệm riêng của PT (2): dạngy  Acos 2xBsin 2x (chọn dạng này vì vế phải là

cos 2x;   2;ikhông là nghiệm của PT đặc trưng)

Tínhy/;y// thay vào PT (2), đồng nhất hệ số ta đượcA  1

5;B  1

10: nghiệm riêng của (2)

y  1

5 cos 2x 1 10 sin 2x

(ii) Tìm một nghiệm riêng của PT (3) dạng:y  Ax (vì vế phải là1  ex với  0là nghiệm bội cấp 1 của PTĐT)

Tínhy/;y// thay vào PT (3) tìm đượcA  1; một nghiệm riêng của (3) là:y  x;

(iii) Theo định lý chồng nghiệm, một nghiệm riêng của PT (1) là:y  x 1

5 cos 2x 1 10 sin 2x

Bước 3: Nghiệm tổng quát của PT đã cho:y  C1ex C2x 1

5 cos 2x 1 10 sin 2x