Phương trình toàn phần

3. Phép chuyển qua toạ độ cầu

3.1.4 Phương trình toàn phần

Dang:Px,ydxQx,ydy  0trong đó P

y  Q

x

Cách giải:

Với điều kiện P

y  Q

x thì vế trái là vi phân toàn phần của hàmunào đó.

u

x  P (a) u

y  Q (b)

Từ (a) suy rau  Px,ydxCy (c)

Lấy đạo hàm hai vế của (c) theo y và thay vào (b) ta tìm đượcC/y, từ đây suy raCyrồi thay vào (c) ta cóu.

Và tích phân tổng quátux,y  C

Ví du: Tìm nghiệm hoặc tích phân tổng quát của các phương trình sau: 1.yexdxxdy  0

Hướng dẫn:

P  yex;Q  x;

Timu  ux,ythỏa: u

x  yex (a) u

y  x (b)

Từ (a) suy rau  yexdxCy  xyex Cy

Từ (b) và kết quả trên suy raCy/yx  x  Cy  C1. Suy rau  xexxy

Vậy tích phân tổng quát:xyex  C

2.ey 1dxxey 1dy  0

Hướng dẫn:

P  ey1;Q  xey1;

Timu  ux,ythỏa: u

x  ey 1 (a) u

y  xey 1 (b)

Từ (a) suy rau  ey 1dxCy  xeyxCy

 u

y  xeyC/ythay vào (b) suy ra:C/y  1  Cy  y

Vậyu  xeyxyvà tích phân tổng quát:xey xy  C

3.1cosydx1xsinydy  0

Hướng dẫn:

P  1cosy;Q  1xsiny

u  1cosydxCy  1cosyxCy

 u

y  xsinyC/ythay vào (b) suy ra:C/y  1  Cy  y

Suy rau  1cosyxyvà tích phân tổng quát:1cosyxy  C