Định nghĩa: Cho đại lượng Y là một giá trị ngẫu nhiên với hàm phân phối 𝐹𝑌. Tại 𝜏 ∈ (0,1) thì các mức phân vị của giá trị Y là giá trị 𝑄𝜏 sao cho (Trần Thị Tuấn Anh, 2001):
Pr(𝑌 < 𝑄𝜏) ≤ 𝜏 ≤ 𝑃𝑟(𝑌 ≤ 𝑄𝜏) (2.13) Tương ứng với :
𝑄𝜏 = inf{𝑦: 𝐹𝑦(𝑦) ≥ 𝜏} (2.14)
Trong trường hợp giá trị ngẫu nhiên Y có hàm phân phối liên tục, phương trình (2.13) sẽ có dạng như sau :
Pr(𝑌 < 𝑄𝜏) ≤ 𝜏 ≤ 𝑃𝑟(𝑌 ≤ 𝑄𝜏) (2.15)
Tương ứng với hàm 𝐹𝑌(𝑄𝜏) = 𝜏
Khi hàm F là một hàm liên tục, ta có 𝑄𝜏 = 𝐹𝑌−1(𝜏).
Điều này cho ý nghĩa rằng với tổng số quan sát Y, ta luôn chứng minh được rằng 100𝜏% số quan sát trong Y sẽ có giá trị không vượt quá hay không lớn hơn so với giá trị được xác định tại mức phân vị 𝑄𝜏 và 100(1 − 𝜏)% số quan sát của Y sẽ luôn có giá trị không thấp hơn tại mức 𝑄𝜏. Từ đây, để giải được bài toán ước lượng giá trị phân vị cũng như giá trị kỳ vọng của giá trị ngẫu nhiên Y, ta dựa trên phương pháp giải bài toán cực trị. Do đó, giá trị kỳ vọng của giá trị ngẫu nhiên Y là kết quả của bài toán cực trị tìm 𝜉 ∈ 𝑅 sao cho :
∫ (𝑦 − 𝜉)𝜉∈𝑅 2𝑑𝐹𝑌(𝑦) → 𝑀𝑖𝑛 (2.16)
Và giá trị phân vị của giá trị ngẫu nhiên Y là kết quả của bài toán cực trị sau :
𝐿(𝜉) = 𝜏 ∫ |𝑦 − 𝜉|𝑑𝐹𝑌(𝑦) + (1 − 𝜏) ∫ |𝑦 − 𝜉|𝑑𝐹𝑌(𝑦) (2.17)
𝑦≤𝐹𝑌(𝑦) 𝑦>𝜉
𝑄𝜏 = 𝑎𝑟𝑔𝜉∈𝑅min 𝜏 ∫ (𝑦 − 𝜉)𝑑𝐹𝑌(𝑦) + (𝜏 − 1) ∫ |𝑦 − 𝜉|
𝑦≤𝜉 𝑦>𝜉
𝑑𝐹𝑌(𝑦). (2.18)
Trong trường hợp Y là giá trị ngẫu nhiên rời rạc, phương trình trên được viết lại như sau :
𝑄𝜏 = 𝑎𝑟𝑔𝜉∈𝑅min1 𝑛[ ∑ 𝜏(𝑌𝑖 − 𝜉) (𝑖|𝑍𝑖 ≥ 𝜉) + ∑ (𝜏 − 1)(𝑌𝑖 − 𝜉) (𝑖|𝑍𝑖 < 𝜉) ] (2.19)
Dạng rút gọn của phương trình trên được viết lại như sau:
𝑄𝜏 = 𝑎𝑟𝑔𝜉∈𝑅min1 𝑛∑ 𝜌𝜏
𝑛
𝑖=1
(𝑌𝑖 − 𝜉) (2.20)
Từ bài toán ước lượng giá trị phân vị ở trên, Koenker và Bassett (1978) đã đề xuất dạng mở rộng để tìm ra hàm phân vị có điều kiện 𝑄𝜏(𝑌|𝑋). Đây cũng chính là phương pháp hồi quy phân vị. Trong đó, việc tìm hệ số hồi quy 𝛽𝜏, trong trường hợp ước lượng hệ số hồi quy trên mẫu nghiên cứu, giá trị này được ký hiệu 𝛽̂𝜏. Bài toán ước lượng hệ số hồi quy trên tập mẫu sẽ có dạng như sau :
𝛽̂𝜏 = 𝑎𝑟𝑔𝛽𝜏∈𝑅𝑘min1 𝑛∑ 𝜌𝜏
𝑛
𝑖=1
(𝑌𝑖− ℎ(𝑋𝑖, 𝛽𝜏)) (2.21)
Trong trường hợp ℎ(𝑋𝑖, 𝛽𝜏) là hàm tuyến tính hay ℎ(𝑋𝑖, 𝛽𝜏) = 𝑋𝑖′𝛽𝜏, thì
𝛽̂𝜏 = 𝑎𝑟𝑔𝛽𝜏∈𝑅𝑘min1 𝑛∑ 𝜌𝜏
𝑛
𝑖=1
(𝑌𝑖 − 𝑋𝑖′𝛽𝜏) (2.22)
Giả sử 𝜏 = 12, kết quả của hàm hồi quy phân vị cũng chính là trung vị có điều kiện 𝑄0.5(𝑌𝑖|𝑋𝑖) = 𝑋𝑖′𝛽0.5. Hay cũng chính là kết quả hồi quy theo phương pháp độ lệch tuyệt đối nhỏ nhất (OLS cổ điển).