CSPN được xây dựng nên từ các phần tử điều khiển được nguyên thủy. Một phần tử điều khiển được mở rộng Fn/m là một CSPN, cấu trúc tổng quát của Fn/m được mô tả trong hình 2.3. Ở đây Fn/m được miêu tả như các lớp xếp chồng như sau:
Trong đó j, với j = 1, 2,…, s-1 là các hoán vị xoắn cố định, V = (V1,
V2,…, Vs) là véc tơ điều khiển của Fn/m và Vj là phần tử cấu thành của V, nó điều khiển lớp hoạt động thứ j (active layer), và s là số các lớp hoạt động
(để ngắn gọn sẽ viết tắt là Lj).
Trong một lớp, các phần tử được liên kết song song với nhau, các hoán vị xoắn cố định cũng được thiết kế có tính chất đối xứng để đảm bảo tính khả nghịch.
Việc thiết kế các Fn/m yêu cầu chính là ở việc lựa chọn cấu trúc liên kết tương ứng và PE
Nguyên tắc, để sử dụng được các phần tử mở rộng này trong mật mã khối, thì phải đảm bảo rằng chúng tồn tại phần tử khả nghịch. Tức là nếu sử dụng Fn/m khi mã hóa thì khi giải mã phải sử dụng phần tử nghịch đảo của nó . Fn/m bất kỳ sẽ là khả nghịch nếu phần tử nguyên thủy của nó là khả nghịch và phép biến đổi ngược có thể được xây dựng từ việc đổi chỗ đầu vào, đầu ra đã cho của Fn/m và thay đổi mỗi phần tử nguyên thủy của nó bởi phần tử nghịch đảo tương ứng. Để định nghĩa dễ dàng cấu trúc của phép khả nghịch, có thể sử dụng các cấu trúc có sẵn của phần tử nguyên thủy. Vì vậy các cấu trúc thiết kế của CSPN sử dụng trong mật mã thường có tính chất đối xứng. đối xứng được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.1. Cấu trúc của được gọi là cấu trúc đối xứng nếu
với j = 1, 2, ..., s-1 có thể áp dụng hệ thức sau (hoặc
nếu Lj là xoắn - involution) và , ở đây j là chỉ số
mô tả lớp hoạt động nào đó của và s là số lớp.
Định nghĩa 2.2. Fn/m bao gồm s lớp có cấu trúc đối xứng như trên
được gọi là đối xứng nếu với j = 1, ..., s - 1, luôn có , trong đó
j là chỉ số mô tả lớp hoạt động nào đó của .
x1 1 / 2 F x2 v1 x3 1 / 2 F x4 v2 xn-1 1 / 2 F xn vn/2 Hoán vị cố định 1 / 2 F vn/2+1 1 / 2 F vn/2+2 1 / 2 F vn Hoán vị cố định 1 / 2 F vm - n/2+1 1 / 2 F vm - n/2+2 1 / 2 F vm y1 y2 y3 y4 yn-1 yn V1 Vs Vs-1 V2 Vs V1 a) b)
Định nghĩa 2.3. Với Fn/m cho trước, được gọi là nghịch đảo của
Fn/m nếu với V, FV và tương ứng là ngược lẫn nhau (inverses). Vì vậy, nghịch đảo của Fn/m có cấu trúc biểu diễn như sau:
Trong các cấu trúc mở rộng, CSPN được xây dựng trực tiếp từ các phần tử nguyên thủy (F2/1, F2/2) hoặc có thể xây dựng gián tiếp theo mô hình đối xứng.
Hình 2.5 là mô tả CSPN được xây dựng từ phần tử nguyên thủy thuộc lớp F2/1 (hoàn toàn tương tự trong trường hợp xây dựng từ F2/2). Đây là một mô hình thiết kế CSPN theo phương pháp đồng nhất, tức là trong CSPN chỉ sử dụng một phần tử nguyên thủy thuộc một lớp nhất định phần tử. Đây là phương pháp thiết kế CSPN phổ biến và được sử dụng rộng rãi trong các thuật toán mật mã khối được xây dựng trên cơ sở CSPN. Tuy nhiên hoàn toàn cũng có thể thiết kế được CSPN theo phương pháp lai ghép tức là không đồng nhất song vẫn đảm bảo để sử dụng trong các thiết kế mật mã. Phương pháp lai ghép sẽ mô tả chi tiết trong thiết kế CSPN lai ghép sử dụng trong chương 3 của luận án.