Ước lượng và điều khiển sai số

Chắc chắn chúng ta cần phải chú ý tới những bước nhảy gián đoạn trong các biến đại số, khi chúng lan truyền suốt khoảng lấy tích phân. Tuy nhiên, nếu chúng ta phải theo dõi tất cả những gián đoạn này, điều đó dường như không thực tế và không khả thi để giải các mô hình mà chúng ta quan tâm. Nhưng rất may là dường như trong ứng dụng này, cỡ của bước nhảy giảm khá nhanh, vì vậy không cần thiết phải theo dõi tất cả các gián đoạn đã qua nhiều mức lan truyền. Trong một phần khác, chúng ta sẽ quay trở lại vấn đề này và ở đây chúng ta chỉ lưu ý trong đoạn lấy tích phân đầu tiên, trong hàm z t( ) và x t( ) luôn có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

các bước nhảy đặc trưng tại các điểm trong D. Sau đó, khi lấy tích phân cả hai thành phần này thì các hàm thu được đều là liên tục xấp xỉ, nhưng sẽ có những gián đoạn trong các đạo hàm cấp thấp. Trong trường hợp thứ nhất, nguyên nhân gián đoạn là do sự lan truyền các bước nhảy, nhưng cũng có những gián đoạn bắt nguồn từ các hàm đầu vào tuyến tính từng khúc của mẫu FOH.

Chúng ta biểu diễn các thành phần nghiệm như những hàm đa thức bậc 3 từng khúc. Ngoại trừ tại các điểm trong D, xấp xỉ x t( ) có đạo hàm cấp 1 liên tục và xấp xỉ z t( ) là liên tục.

Xấp xỉ x t( ) được xác định trên mỗi t tn, n1 như một hàm nội suy Hermite bậc 3 với các giá trị và độ nghiêng tại hai đầu mút của khoảng.

Xấp xỉ z t( ) là hàm nội suy bậc 3 với các giá trị tại các đầu mút của khoảng và hai giá trị tại các điểm trong.

Các phần sau sẽ cung cấp thêm các thông tin chi tiết hơn. Nếu tất cả đều thuận lợi, các hàm nội suy sẽ bảo đảm được độ chính xác của công thức Runge- Kutta ẩn tại các điểm lưới và trong mọi trường hợp sẽ mở rộng định nghĩa nghiệm dạng số cho một hàm trơn từng khúc. Chúng ta có thể thay thế một nghiệm như vậy vào các phương trình và đánh giá sự thỏa mãn của chúng. Nếu chúng ta sử dụng trường hợp trên để chỉ ra các nghiệm dạng số, hàm số dư R t( )

được xác định bởi   1 2 ( ) ( ) ( ) W( ) X t  AX t B u t B t R t trong đó  1 1  ( ) ( ),..., N( N) T W t  Z t Z t

Theo quan điểm của phép phân tích sai số lùi, chúng ta mô tả các nghiệm dạng số gần như là một nghiệm đúng của bài toán nhiễu và đo chất lượng của nghiệm theo cỡ nhiễu R t( ). Đây là cách đo sai số tự nhiên trong suốt khoảng lấy tích phân đã được định nghĩa rõ ràng trước đó miễn sao công thức Runge-

Kutta có thể đánh giá được. Đây là một điểm quan trọng cỡ của số dư là một biện pháp có ý nghĩa về độ chính xác của nghiệm và có thể đánh giá được nghiệm với độ tin cậy ngay cả khi cỡ bước là lớn và nghiệm có nhiều gián đoạn trong đạo hàm cấp thấp.

Trong các tình huống khó để tính toán chính xác phép đo cỡ của số dư chúng ta sử dụng chuẩn tích phân. Cụ thể, chúng ta sử dụng chuẩn RMS có lấy trọng số và tính giá trị gần đúng của tích phân với công thức cầu phương Lobatto 5 điểm. Theo cách xây dựng, số dư bằng 0 tại hai đầu mút của mỗi bước, vì vậy đòi hỏi phải đánh giá số dư 3 lần trong mỗi bước. Để cho thuận tiện, các giá trị này lần lượt được gọi là

1, L t 2, L t 3. L

t Mỗi kết quả đánh giá giá trị dư đều liên quan đến việc đánh giá hàm nội suy đối với x t( ), z t( ), các đạo hàm của hàm nội suy đối với x t( ) (như một xấp xỉ với x t( ) và các phương trình vi phân). Đối với trọng số trên mỗi thành phần, chúng ta sử dụng cùng một biện pháp để đo cỡ các thừa số tương ứng của nghiệm, do đó sử dụng năm giá trị của x t( ) trong khoảng của một bước. Tất nhiên vào cuối bước thì các giá trị luôn có sẵn và các giá trị thấp hơn giá trị tới hạn cũng có sẵn, những giá trị này có được từ các tính toán số dư. Một chuẩn tích phân được tính xấp xỉ bằng công thức cầu phương Lobatto nhiều điểm sẽ đem lại chương trình đặc biệt mạnh mẽ và đáng tin cậy để đánh giá sai số của nghiệm .

Các xấp xỉ cho giá trị và độ nghiêng của x t( ) tại cả hai đầu mút của bước xác định một hàm nội suy Hermite bậc 3, mà nó xấp xỉ x t( ) trong suốt bước.

Điều này cho phép tính được một xấp xỉ, mà nó có một đạo hàm liên tục trừ trường hợp nếu có tác động đặc biệt được xem xét để tạo ra một bước nhảy. Tương tự như vậy, xấp xỉ z t( ) được thành lập tại các điểm Lobatto để đánh giá và điều khiển sai số được sử dụng để xác định xấp xỉ z t( ) trong suốt một bước. Cụ thể, hàm nội suy Hermite bậc 3 được xác định bởi phép nội suy tại các điểm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn , n t 1, L

t tL3, tn1. Kết quả gần đúng này là liên tục trừ trường hợp nếu có tác động đặc biệt để tạo ra một bước nhảy.

Tại mỗi bước chúng ta điều khiển các kết quả của cỡ bước và chuẩn RMS có trọng số của số dư. Khi tất cả đang diễn ra tốt đẹp thì cỡ bước nói đến ở đây liên hệ cỡ số dư với cỡ sai số địa phương (xem [16]). Sau đó chúng ta thực hiện phép tính, chúng ta tính toán một nghiệm sao cho thỏa mãn các phương trình một cách có nghĩa ngay cả khi các công thức không theo trật tự thông thường bởi vì cỡ bước là quá lớn hay nghiệm là không đủ trơn.

Một sai số tương đối cho phép là 103 được mã hóa cương để phù hợp với ứng dụng. Người dùng cụ thể hóa một vectơ có sai số cho phép theo giá trị mặc định là 6

10 . Các tính toán ở đây đều thu được với sai số tương đối.