Theo dõi các gián đoạn

Như chúng ta đã thấy, việc trở lại nghiệm cho bởi thuật giải bước nhảy gián đoạn, lan truyền suốt khoảng tích phân được quan tâm đặc biệt. Điều đó làm phức tạp cho việc mã hóa, nhưng khi đó các thuật giải của chúng ta theo dõi được các gián đoạn, các nghiệm dạng số có một bước nhảy tại điểm gián đoạn t. Biểu diễn này của nghiệm dạng số không thuận lợi khi áp dụng, vì vậy ta phải trở lại nghiệm, chúng ta chia một lân cận điểm gián đoạn thành hai khoảng kề nhau

*

,

t  *

t  bên trái và bên phải của t và sau lấy giới hạn trái và phải tại điểm

t một cách tương ứng. Như đã thấy trong hình 6 kết quả này trong đồ thị liên tục có các góc nhọn tại các điểm gián đoạn.

Trong dự kiến đầu tiên của chúng ta về thuật giải, chúng ta thực hiện các tính toán cơ bản của D với Dt0   t1 ... tM  là tập hợp các điểm gián đoạn

ở tất cả các mức sau đó chúng ta thực hiện phép xây dựng nghiệm của D và theo

dõi tất cả các gián đoạn, chúng ta thấy rằng ˆ

r j

t  t  là một điểm gián đoạn trong  * * 

1

,

k k

t t  như vậy chúng ta có thể kết luận rằng mô hình GENLTI có một nghiệm duy nhất. Biến đại số z t( ) thường gián đoạn ở các điểm thuộc D, nhưng lại ít nhất có đạo hàm liên tục cấp d. Biến vi phân x t( ) liên tục nhưng lại có điểm gián đoạn ở đạo hàm cấp 1 tại các điểm thuộc D.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

nhớ. Sau đó, chúng ta mã hóa sự tính toán để tạo ra các điểm gián đoạn trong các khối theo yêu cầu. Không may trong các ứng dụng có rất nhiều điểm gián đoạn vì vậy việc theo dõi tất cả các điểm gián đoạn sẽ không thực tế. Chúng ta tin rằng trong ứng dụng này, các bài toán ổn định có nhiều bước nhảy, mà các bước nhảy này làm giảm độ lớn khi tiến hành tích phân. Vì vậy, chúng ta theo dõi các bước nhảy và sẽ dừng theo dõi khi chúng trở nên đủ nhỏ. Theo quan điểm của phép phân tích sai số lùi, chúng ta mô tả các nghiệm dạng số là nghiệm đúng của bài toán nhiễu và đo chất lượng của nghiệm theo cỡ nhiễu R t( ). Đây là cách đo sai số tự nhiên trong suốt khoảng lấy tích phân đã được định nghĩa rõ ràng trước đó miễn sao công thức Runge-Kutta có thể đánh giá được. Cách tiếp cận này là một điểm quan trọng cỡ của số dư là một giải pháp có ý nghĩa về độ chính xác của nghiệm và có thể đánh giá được nghiệm với độ tin cậy ngay cả khi cỡ bước là lớn và nghiệm gián đoạn khi lấy đạo hàm cấp thấp. Trong các tình huống khó khăn chúng ta sử dụng chuẩn tích phân để tính toán phép đo cỡ của số dư một cách chính xác. Cụ thể, chúng ta sử dụng chuẩn RMS có lấy trọng số và tính giá trị gần đúng của tích phân với công thức cầu phương Lobatto 5 điểm vì sau khi chúng ta dừng theo dõi thì nghiệm là trơn từng khúc nhưng tại vị trí các điểm nối với nhau, nghiệm chỉ là liên tục xấp xỉ. Hình ảnh cho thấy rằng thậm chí chương trình này dành một lượng thời gian không nhiều để theo dõi các gián đoạn. Để các thuật giải hiệu quả như một công cụ nghiên cứu, chúng ta thấy rằng chúng ta phải điều chỉnh về việc theo dõi các gián đoạn.

Chương trình chúng ta phải thực hiện để lan truyền các gián đoạn chỉ tới một số tối đa của mức định sẵn là Maxlevel = 4. Hầu hết chúng ta hy vọng sẽ theo dõi các gián đoạn cho đến khi các thành phần nghiệm là liên tục xấp xỉ. Như đã giải thích ở mục 2.7.1 về sự lan truyền, ba tình huống có thể được nhận biết

một cách dễ dàng theo đó nghiệm là liên tục sau khi chỉ có gián đoạn lan truyền một lần. Trong những tình huống này, chúng ta lấy mức Maxlevel = 1. Ngay cả với một giới hạn của mức 4, có thể có nhiều gián đoạn, vì vậy chúng ta tiếp tục hạn chế số điểm gián đoạn mà chúng ta theo dõi. Tập hợp các điểm gián đoạn của D được xây dựng nhờ những gián đoạn lan truyền liên tục đến một mức khác và bằng cách xóa những lần lặp. Nếu ở bất kì mức nào, chúng ta thấy có nhiều hơn MaxPoints = 100 điểm, chúng ta phải hủy công thức. Trong phần tiếp theo, D là tập bị cắt ngắn của các điểm gián đoạn.

Khi theo dõi các gián đoạn, các bước của thuật giải bước đến những điểm thuộc D và tính toán bước nhảy trong x t( ), z t( ), y t( ). Giả sử p là điểm cuối của D và t max( ,...,1 N). Tại điểm t  p các phương trình không phụ thuộc

vào các giá trị của biến tại các điểm t p t . Để chuẩn bị cho quá trình theo dõi các gián đoạn tại t  p thuật giải một bước đến các điểm gián đoạn trong

pt ,p nhưng không tính các bước nhảy tại những điểm này. Điều này làm cho thuật giải nhận ra được sự xuất hiện của các gián đoạn khi lựa chọn cỡ bước và từng bước khử các bước nhảy trong nghiệm dạng số. Từ t  p ở trên thuật giải được tự do sử dụng bất cứ cỡ bước nào xuất hiện để cung cấp cả độ chính xác và độ ổn định. Chúng ta sử dụng hình 2.4 để kiểm tra và hiển thị những gì có thể xảy ra khi chúng ta hạn chế việc theo dõi các gián đoạn.

y(t) 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

t

Hình 2.4. Ví dụ artefact3. Các đường cong thấp hơn được tính toán với việc

theo dõi gián đoạn như thường lệ và đường cong cao hơn được tính toán sử dụng theo dõi kéo dài. Đường cong dưới xấp xỉ với y t( ) và phía trên là xấp xỉ với

( ) 0, 2

y t  .

Chúng ta sử dụng bài toán thử artefact3 này để chỉ ra là cái gì có thể xuất hiện khi chúng ta giới hạn việc theo dõi các gián đoạn. Việc mô tả chi tiết bài toán là không cần thiết và không có ý nghĩa do đó ở đây chỉ cần dùng hình ảnh để mô tả. Mục đích là phải tính toán bước tương ứng của một hệ được xác định trên  0, 1 mà có một biến đầu vào, năm biến vi phân, hai biến đại số và một biến đầu ra. Trễ

0.3000, 0.0513

  và không có trễ trong cả hai biến vào hoặc ra. Các đường cong nằm dưới trong hình 2.4 hiển thị các biến đầu ra y t( ) được tính với giá trị thường ở Maxlevel và MaxPoints. Trong hình 2.4 đường cong nằm trên cho thấy những gì sẽ xảy ra khi thuật giải theo dõi đến 50 lần khi nhiều mức và cho phép 50 lần khi nhiều gián đoạn. Để dễ dàng hơn khi so sánh mật độ gián đoạn trong hai lần lấy tích phân, chúng ta đã thêm 0.2 vào nghiệm tốt hơn trước khi vẽ nó. Như chúng ta kỳ vọng, các gián đoạn sắc - nhọn (sharp) bị chặn nhiều hơn sau khi chúng ta ngừng theo dõi. Tuy nhiên, chúng ta xử lý các gián đoạn trong phần thứ nhất của tích phân khi các gián đoạn còn tương đối lớn và chúng ta sẽ thu được nghiệm đúng theo nghĩa số dư là không đáng kể. Khi điều đó xảy ra, nó là không tốn kém khi tính nghiệm của bài toán thực tế cùng với việc tiếp tục theo dõi, nhưng nó xuất hiện nhu cầu cần thiết phải hạn chế theo dõi trong những thuật giải này để chúng trở nên hữu ích như công cụ thiết kế.

KẾT LUẬN

Qua việc nghiên cứu bài báo: “Delay differential algebraic equations in control theory” của tác giả L.F. Shampine và P. Gahinet và tìm hiểu một số tài

liệu liên quan để trình bày luận văn này. Em đã trình bày một số kết quả và kiến thức cơ sở về nghiệm dạng số của các hệ tuyến tính bất biến tổng quát dạng.

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

x t  Ax t B u t B w t

z t( )C x t2 ( )D u t21 ( )D w t22 ( )

trong lý thuyết điều khiển sau đó trình bày phương pháp số cho hệ tuyến tính bất biến tổng quát và giải chúng một cách nhanh nhất bằng việc tích phân trực tiếp hệ trên hoặc có thể sử dụng các code đặc biệt, cho các hàm đầu vào tương ứng của phương trình vi phân đại số có trễ trong lý thuyết điều khiển.

Tiếc rằng còn khá nhiều vấn đề chưa được làm sáng tỏ đối với phương trình vi phân đại số có trễ chẳng hạn: Bài toán cương, tính A - ổn định, tính ổn định và tính chính xác của phương pháp số, các thuật giải trong bộ công cụ MATLAB.... Vì chưa có điều kiện về thời gian em hy vọng rằng những vấn đề này sẽ được tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Thị Thu Hường (2001), “Phương pháp số giải phương trình vi phân đại số”, Luận văn thạc sĩ.

2. Nguyễn Văn Mạnh (2008), “Phương pháp 6 bước giải phương trình vi phân cấp 2”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ ĐHTN, 1 (45).

3. Nguyễn Văn Minh, Trần Thanh Tùng (2016), “Phương pháp 8 bước giải phương trình vi phân y  f x y( , )’’, Tạp chí Khoa học và Công nghệ ĐHTN.

4. Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, Nhà xuất

bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, 41-70.

Tiếng Anh

5. Ascher U., Petzold L. (1995), “The numerical solution of delay-differential- Algebraic Equations of retarded anh neutral type”, SIAM J. Numer. Anal, 32 1635- 1657.

6. Ascher U., Petzold L. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential

Equations and Differential-Algebraic Equations, SAIM, Philadelphia, PA,

ISBN 978- 1- 61197- 139- 2.

7. Corwin S. P., Sarafyan D., Thompson S., DKLAG6. (1997), “A code based on continuously imbedded sixth order Runge-Kutta methods for the solution of state dependent functional differential equations”, Appl, Numer, Math, 24 319-333.

8. Enright W. H., Hayashi H. (1997), “A delay differential equations solver based on a continuous Runge-Kutta method with defect control”, Numer, Algorithms, 16 349-364.

9. Gahinet P., Shampine L. F. (2004), “Software for Modeling and Analysis of Linear Systems with Delays”, Proc. American Control conf. Boston,

5600-5605.

10.Guglielmi N., Hairer E. (2001), “Implementing Radau IIA methods for stiff delay differential equations”, Computing 67 1-12.

11. Ixaru L. Gr., Rizea M. (1997), “Four step methods for y  f x y( , ) ’’

Journal of Computational and Applied Mathematics, 79 87-99.

12.Lambert J. D. (1991), “Nummerical Methods in Ordinary Differential Equations”, Wiley Chichester, 978-0-470-72335-7.

13.Luzyanina T., Roose D. (2004), Numerical local stability analysis of differential algebraic equations with time delays, in: Fifth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, K.U. Leuven, Belgium, submitted for publication.

14.Paul C. A. H. (1995), “A User-Guide to ARCHI”, Numer, Anal. Rept., vol. 283, Mathematics department, University of Manchester, UK, ISSN 1360-1725.

15.Roussel R. Marc. (2005), “Delay-differential equations”, p1-12.

16.Shampine L. F. (2005), “Solving ODEs and DDEs with residual control”,

Appl. Numer. Math, 52 113-127.

17.Shampine L. F., Gladwell I., Thompson S. (2003), “Solving ODEs with MATLAB”, Cambridge University Press, New York, 1-21.

18.Shampine L. F., Gahinet P. (2006), “Delay-differential-algebraic equations in control theory”, Applied Numerical Mathematics, vol56, ISSUE 3-4,

p574-588.

19.Stephen L. (2008), “Differential-algebraic equations”, Campbell et al. Scholarpedia, 3(8):2849.