Sự lan truyền

Những nghiên cứu của chúng ta từ các hàm đầu vào, chúng ta thấy rằng có thể giả sử u t( ) và x t( ) là liên tục khi t 0. Để thuận tiện, chúng ta sử dụng ký hiệu chuẩn z t(   0) z t(    0) z t( )  cho cỡ một bước nhảy tại t. Sử dụng phương trình (2.2) để thấy rằng tại điểm tD thì

22

( ) ( )

z t D w t

   

    (2.5)

( )

z t không hề lan truyền tại tất cả các điểm. Có hai tình huống khác trong z t( )

không có bước nhảy. Nhìn chung hàm đầu vào, có thể u(0 ) 0  sao cho không có bước nhảy đầu tiên trong u t( ), tương ứng không có bước nhảy đầu tiên trong

( )

z t và các biến đại số liên tục trên 0,Tf . Một tình huống phổ biến hơn nhiều là D210. Bước nhảy tượng trưng của hàm đầu vào tại t 0 bị triệt tiêu trong (2.2) và hệ quả là các biến đại số liên tục trên 0,Tf . Trong thuật giải, chúng ta nhận ra cả ba trường hợp này và đưa ra những biến đổi đặc biệt cho chúng.

Trong trường hợp D22 vô hướng, từ (2.5) suy ra được rằng các gián đoạn trong các biến đại số được giảm nhanh theo tốc độ mũ khi D22 1.

- Nếu D22 1, các bước nhảy sẽ tăng rất nhanh theo tốc độ mũ và mô hình sẽ không có ý nghĩa về mặt vật lý. Trường hợp tổng quát của D22 là phức tạp hơn nhiều và chúng ta chỉ có được những kết quả hạn chế. Thường thì hầu hết các thành phần của w t( )   0 trong (2.5). Theo định nghĩa, ít nhất tại một trong các điểm t1,...,tN D, nhưng các điểm khác thể có thuộc hoặc không thuộc tập này. Nếu như t  k D thì số hạng z tk  k 0 vì z là liên tục. Chúng ta vẫn chưa tìm thấy cách khai thác triệt để trong trường hợp tổng quát nhưng chúng ta nhận được một số kết quả hay bằng cách xét tình huống đặc biệt, trong đó chỉ có một thành phần khác 0.

Cho  D, ở đây có một bước nhảy trong zj( ) . Bước nhảy này được lan truyền tiếp đến    j, 2 ,...,j như vậy theo định nghĩa các điểm này cũng thuộc D. Sự lan truyền các gián đoạn rất phức tạp vì những gián đoạn khác nhau có thể được lan truyền đến những điểm khác nhau bởi những trễ khác nhau. Bây

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

giờ chúng ta sẽ nghiên cứu một tình huống đơn giản trong đó có ít nhất một vài điểm đầu tiên không có cách nào khác để đạt được sự lan truyền gián đoạn. Đối với những điểm này chỉ có thành phần thứ j của w t( )   0. Khi đó chúng ta có

 22 . ( ) ( ) j j j j j z t D z t          

- Nếu  D22 j j. 1 điều này cho thấy những ảnh hưởng của trễ j giảm nhanh theo tốc độ mũ. Chú ý rằng sự phân rã là bảo toàn với mức lan truyền chứ không phải là khoảng lấy tích phân.

Kết quả cuối cùng này giúp chúng ta hiểu rằng một tình huống cực kì khó về mặt tính toán, cụ thể là   j nhỏ hơn nhiều so với các trễ khác. Một gián đoạn tại  lan truyền đến   , 2 ,... cho đến khi tăng lên một khoảng bằng độ trễ nhỏ nhất thứ hai. Nếu  D22 j j. 1, chúng ta thấy rằng những ảnh hưởng rất nhỏ của trễ j giảm nhanh theo tốc độ mũ. Một ví dụ cụ thể là kiểm tra bài toán choppy. Nhiệm vụ là phải tính các bước phản hồi của hệ với một biến đầu vào, năm biến vi phân, ba biến đại số, và một biến đầu ra. Các trễ lần lượt tương ứng là 0.3, 0.0001, 0.0230 và 22 0 0 0.6047 0 0 0.0216 0 0.5457 0.7887 D            

Trễ ngắn nhất   2 0.0001 là khá nhỏ so với Tf 5, vì vậy nếu chúng ta phải theo dõi tất cả các gián đoạn ở khoảng này thì việc lấy tích phân là không thực tế. Vì phần tử  2, 2 của D22 0 nên trễ này không ảnh hưởng nhiều đến việc lấy tích phân và lời giải của chúng ta không gặp khó khăn trong mô hình này, nó được giải trong 1.25s. Tình huống này sẽ hoàn toàn khác nếu trễ ngắn

nhất là trễ thứ ba bởi vì phần tử  3, 3 của D22 đủ lớn sao cho những ảnh hưởng của trễ sẽ là tương đối dài. Với  nhỏ so với Tf , nên chưa thể xác định được rõ ràng liệu theo dõi tất cả các gián đoạn có thực tế hay là không. Ngay cả với việc theo dõi hạn chế thuật giải của chúng ta, phải mất hơn 12s để lấy tích phân bài toán này khi mà t 1.