Các công thức nền tảng
Gọi Qi là sản lượng gộp của quốc gia i, Qi là một hàm số của Vi và Xi. Trong đó, Vi là giá tăng thêm mà quốc gia i tạo ra được; Xi là yếu tố đầu vào dùng để sản xuất ra thành phẩm cuối cùng (Xi bao gồm cả yếu tố đầu vào từ trong nước vàphần nhập khẩu từ quốc gia j-Xji).
Dựa theo hàm sản xuất với hệ số co giãn của các yếu tố đầu vào không đổi (Constant Elasticities of Substitution production function_CES production function), Qi được tính theo công thức:
𝑄𝑖 = 𝐹(𝑉𝑖, 𝑋𝑖) = ((𝜔𝑖𝑣)1 𝛾⁄ 𝑉𝑖(𝛾−1)/𝛾 + (𝜔𝑖𝑥)1 𝛾⁄ 𝑋𝑖(𝛾−1)/𝛾)𝛾/(𝛾−1) (18)2 𝑋𝑖 = (∑ (𝜔𝑗𝑖 𝑥 𝜔𝑖𝑥) 1/𝜌 𝑋𝑗𝑖(𝜌−1)/𝜌 𝑗 ) 𝜌/(𝜌−1) (19) Trong đó:
𝜔𝑖𝑣 và 𝜔𝑖𝑥 lần lượt là mức tỷ trọng ứng với phần GTGT và yếu tố đầu vào; 𝜔𝑗𝑖𝑥 là tỷ trọng của phần nhập khẩu trung gian.
𝛾 là độ co dãn thay thế giữa GTGTvà yếu tố đầu vào và 𝛾 được xác định theo công thức. 𝛾 = − 𝜕ln ( 𝑉 𝑋) 𝜕ln (𝐹𝑉 𝐹𝑋)
𝐹𝑉, 𝐹𝑋 là sản lượng bên của giá trị gia tăng và các yếu tố đầu vào tương tự như sản lượng biên của vốn và lao động trong công thức hàm Cobb-Douglas 𝜌 là độ co dãn thay thế của các yếu tố đầu vào.
Giả sử tại mỗi quốc gia, độ co giãn thay thế cố định (CES3) được xác định dựa vào sản phẩm cuối cùng. Gọi 𝐹𝑗𝑖 là số lượng hàng hóa quốc gia i mua của quốc gia j. Phương trình sau đây biểu diễn sở thích (preferences) của quốc gia i:
𝐹𝑖 = (∑ (𝜔𝑗 𝑗𝑖𝑓)1/𝜎𝐹𝑗𝑖(𝜎−1)/𝜎)
𝜎/(𝜎−1)
(20)
Trong đó:
𝜔𝑗𝑖𝑓 là mức tỷ trọng ứng với 𝐹𝑗𝑖.
𝜎 là độ co giãn thay thế giữa các hàng hóa cuối cùng.
2Có nhiều dạng khác nhau của hàm sản xuất CES. Một trong những dạng phổ biến thường gặp hơn là hàm CES với hai nhân tố (vốn K và lao động L) được phát triển bởi Solow. Hàm này có dạng ương tự 𝑄 = 𝐹(𝛼. 𝐾𝑇+ (1 − 𝛼). 𝐿𝑟)1𝑟. Trong đó, r=(s-1)/s; s: độ co giãn thay thế. 𝛼 là tỷ trọng giữa các yếu tố đầu vào (Vốn và lao động). Nếu r tiến về gần với 0, hàm Q trở thành hàm sản xuất Cobb-Doughlas.
Các điều kiện đạo hàm bậc 1 đối với người tiêu dùng và doanh nghiệp là: 𝐹𝑗𝑖 = 𝜔𝑗𝑖𝑓(𝑝𝑗 𝑃𝑖)−𝜎𝐹𝑖 (21) 𝑉𝑖 = 𝜔𝑖𝑣(𝑝𝑖𝑣 𝑝𝑖)−𝛾𝑄𝑖 (22) 𝑋𝑖 = 𝜔𝑖𝑥(𝑝𝑖𝑥 𝑃𝑖)−𝜎𝐹𝑖 (23) 𝑋𝑗𝑖 = 𝜔𝑗𝑖𝑥(𝑝𝑗 𝑝𝑖𝑥) −𝜌 𝑋𝑖 (24) Trong đó:
𝑝𝑗 là mức giá tính trên một sản phẩm của quốc gia 𝑗. 𝑝𝑖𝑣 là mức giá tính trên một đơn vị GTGT.
𝑝𝑖𝑥 = (∑ 𝑤𝑗 𝑗𝑖𝑥𝑝𝑗1−𝜌)1/(1−𝜌)là mức giá tính trên một đơn vị của yếu tố đầu vào.
𝑃𝑖 = (∑ 𝑤𝑗 𝑗𝑖𝑓𝑝𝑗1−𝜎)1/(1−𝜎)là giá của hàng hóa cuối cùng.
Sản lượng gộp có thể bao gồm sản phẩm cuối cùng và sản phẩm trung gian4, khi đó điều kiện cân bằng thị trường là:
𝑄𝑗 = ∑𝑁 [𝐹𝑗𝑘 + 𝑋𝑗𝑘]
𝑘=1 (25)5
Kết hợp các phương trình từ (21) đến (25) ta được phương trình tính mức giá trên một đơn vị sản phẩm mà quốc gia j sản xuất.
4 Sản phẩm trung gian ở đây được sử dụng như là một yếu tố đầu vào mà quốc gia sử dụng để sản xuất tiếp trong chuỗi sản xuất để được sản phẩm cuối cùng.Trong bài nghiên cứu này, chúng chúng tôi sử dụng các thuật ngữ sản phẩm trung gian, nhập lượng đầu vào hay yếu tố đầu vào đều có ý nghĩa giống nhau.
5 Phương trình (8) có thể được hiểu đơn giản là sản lượng gộp mà quốc gia j tạo được sử dụng để xuất khẩu sản phẩm cuối cùng (thành phần Fjk trong công thức) và xuất khẩu sản phẩm trung gian (thành phần Xjk)
𝑝𝑗 = (𝜔𝑗𝑣(𝑝𝑗𝑣)1−𝛾+ 𝜔𝑗𝑥(𝑝𝑗𝑥)1−𝛾)1/(1−𝛾) (26)
Để tính toán REER, chúng tôi trình bày kết quả tuyến tính hóa các điều kiện đạo hàm bậc 1, chỉ số giá, hàm sản xuất và điều kiện cân bằng của thị trường.
Điều kiện đạo hàm bậc 1 của hàng hóa cuối cùng (phương trình (21)) và chỉ số giá sau khi được tuyến tính hóa trở thành:
𝐹̂𝑗𝑖 = −𝜎(𝑝̂𝑗 − 𝑃̂𝑖) + 𝐹̂𝑖 Với 𝑃̂𝑖 = ∑ (𝑝𝑗𝐹𝑗𝑖
𝑃𝑖𝐹𝑖) 𝑝̂𝑗
𝑗 . Gọi 𝔽 là Vector chứa N2 Vector thứ nguyên biểu thị cho lượng hàng hóa được giao dịch giữa các nước. 𝔽̂ = [𝐹̂11, 𝐹̂12, … , 𝐹̂1𝑁, 𝐹̂21, 𝐹̂22, … ]′. Điều kiện đạo hàm bậc 1 và chỉ số giá có thể được viết lại thành:
𝔽̂ = −𝜎𝑀1𝑝̂𝑗 + 𝜎𝑀2𝑃̂𝑖 + 𝑀2𝐹̂ (27)
Với 𝑃̂ = 𝑊𝑓𝑝̂
Trong đó 𝑀1 ≡ 𝐼𝑁×𝑁 ⊗ 1𝑁×1và 𝑀2 ≡ 1𝑁×1⊗ 𝐼𝑁×𝑁. Ma trận tỷ trọng 𝑊𝑓 là một ma trận NxN với tổng cộng có 𝑖 ∗ 𝑗 phần tử 𝑝𝑗𝐹𝑗𝑖
𝑃𝑖𝐹𝑖 chính là chi tiêu của quốc gia 𝑖 để mua hàng hóa cuối cùng từ quốc gia 𝑗 (đó cũng chính là tỷ phần chi tiêu trong tổng chi tiêu mua hàng hóa cuối cùng của quốc gia 𝑖).
Trở lại với hàm sản xuất, điều kiện đạo hàm bậc 1 được tuyến tính hóa trở thành:
𝑋̂𝑖 = −𝛾(𝑝̂𝑖𝑥 − 𝑝̂𝑖) + 𝑄̂𝑖và𝑋̂𝑗𝑖 = −𝜌(𝑝̂𝑗 − 𝑝̂𝑖𝑥) + 𝑋̂𝑖 (28) Tương tự như trên, chúng ta cũng có:
𝑋̂ = −𝛾𝑝̂𝑥 + 𝛾𝑝̂ + 𝑄̂ (29)
Trong đó𝑝̂𝑥 = 𝑊𝑥𝑝̂ và𝕏̂ = [𝑋̂11, 𝑋̂12, … , 𝑋̂1𝑁, 𝑋̂21, 𝑋̂22, … ]′ là tập hợp N2 Vector thứ nguyên của hàng hóa trung gian đầu vào.
Tuyến tính hóa điều kiện cân bằng của thị trường ta được:
𝑄̂ = 𝑆𝐹𝔽̂ + 𝑆𝑋𝕏̂ (31)
Trong đó 𝑆𝐹 và 𝑆𝑋 là các ma trận biểu thị tỷ phần của hàng hóa trung gian và hàng hóa cuối cùng được mua bán giữa các quốc gia (đó cũng chính là tỷ phần trong tổng sản lượng gộp).
Cuối cùng, thực hiện tuyến tính hóa hàm sản xuất và chỉ số giá của sản lượng gộp pj ta được: 𝑄̂ = [𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑠𝑖𝑣)]𝑉̂ + [𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑠𝑖𝑥)]𝑋̂ (32) 𝑋̂ = 𝑊𝑋𝕏̂ 𝑝̂ = [𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑠𝑖𝑣)]𝑝̂𝑣+ [𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑠𝑖𝑥)]𝑝̂𝑥 (33) Trong đó, 𝑠𝑖𝑣 ≡𝑝𝑖𝑣𝑉𝑖 𝑝𝑖𝑄𝑖 và 𝑠𝑖𝑥 ≡𝑝𝑖𝑥𝑉𝑖
𝑝𝑖𝑄𝑖 chính là tỷ phần chi phí chiếm trong GTGT và tỷ phần chi phí chiếm trong các yếu tố vào. Và 𝑊𝑋 = [𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑤1𝑥), 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑤1𝑥)] với 𝑤𝑖𝑥 = [𝑤𝑖1𝑥, … , 𝑤𝑖𝑁𝑥 ] và 𝑤𝑖𝑗𝑥 ≡𝑝𝑖𝑋𝑖𝑗
𝑃𝑗𝑥𝑋𝑗 chính là tỷ phần của các nhập lượng trung gian riêng lẽ từ một quốc gia so với tổng nhập lượng trung gian từ tất cả các quốc gia.
Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày cách thức xây dựng hàm cầu về GTGT, từ đó rút ra công thức tính VAREER.
Cần chú ý rằng, với giả định CES (các hệ số co giãn đều bằng nhau và cố định) được đưa ra bởi Armington (1969), nghĩa là với giả định CES thì 𝜎 = 𝛾 = 𝜌.
Các công thức từ (26) đến (33) là 8 công thức mô tả lượng cầu GTGT phụ thuộc vào mức giá 𝑝̂𝑣 và lượng cầu trên sản phẩm cuối cùng 𝐹̂ ở các quốc gia. Để
ước tính công thức cho lượng cầu, chúng ta áp dụng giả định rằng 𝜎 = 𝛾 = 𝜌, từ đó chúng ta định nghĩa một tham số độ co dãn mới 𝜂 = 𝜎 = 𝛾 = 𝜌.
Quá trình chuyển thành công thức xác định lượng cầu về GTGT trải qua hai bước. Đầu tiên sử dụng những điều kiện đạo hàm bậc nhất và chỉ số giá để chuyển thành những thay đổi trong lượng cầu về sản lượng gộp từ quốc gia 𝑖. Khi đó, lượng cầu về sản lượng gộp từ quốc gia 𝑖 là một hàm của giá sản lượng gộp. Tiếp theo chuyển lượng cầu về sản lượng gộp (hàm của mức giá sản lượng gộp) thành cầu về GTGT (một hàm theo mức GTGT).
Từ các công thức trên, đồng thời áp dụng giả định 𝜂 = 𝜎 = 𝛾 = 𝜌 chúng ta có thể biểu diễn cầu về GTGT là:
𝑉̂ = −𝜂𝑝̂𝑣+ 𝜂[𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑝𝑖𝑄𝑖)]−1[𝐼 −Ω]−1[𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑝𝑖𝑄𝑖)]𝑆𝐹𝑀2𝑊𝑓[𝐼 −Ω′]−1[𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑠𝑖𝑣)]𝑝̂𝑣+ [𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑝𝑖𝑄𝑖)]−1[𝐼 −Ω]−1[𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑝𝑖𝑄𝑖)]𝑆𝐹𝑀2𝐹̂ (34)
Trong đó Ω chính là ma trận input-output toàn cầu với 𝑖 ∗ 𝑗 thành phần 𝑝𝑖𝑋𝑖𝑗
𝑝𝑗𝑄𝑗
chính là phần đóng góp của nhập lượng đầu vào trong tổng sản lượng của quốc gia 𝑗.
Công thức trên thể hiện cầu GTGT của một quốc gia phụ thuộc vào giá và cầu về hàng hóa cuối cuối của tất cả các quốc gia như thế nào.
Bắt đầu từ công thức (17) chúng ta thêm vào một số giả định. Bởi vì tỷ giá thực đo lường ảnh hưởng của một sự thay đổi giá lên lượng cầu nên lượng cầu phải được giữ cố định. Như vậy, trong phương trình trên, chúng ta sẽ cho thành phần cầu trên hàng hóa cuối cùng 𝐹̂ bằng 0. Đồng thời tổng của tất cả các tỷ trọng về sự thay đổi giá phải bằng 1, điều này có nghĩa là nếu tỷ giá thực giảm 𝑥% thì tất cả các mức giá nước ngoài sẽ tăng 𝑥% so với giá cả trong nước.
Để đơn giản, đặt ma trận T là
𝑇 = 𝐼 − [𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑝𝑖𝑄𝑖)]−1[𝐼 −Ω]−1[𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑝𝑖𝑄𝑖)]𝑆𝐹𝑀2𝑊𝑓[𝐼 −Ω′]−1[𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑠𝑖𝑣)]𝑝̂𝑣 (35) Khi đó, nếu giá thay đổi 1 đơn vị thì cầu về GTGT cũng sẽ thay đổi:
𝑉̂𝑖 = −𝜂𝑇̅𝑖∑ 𝑇𝑖𝑗 𝑇̅𝑖 𝑝̂𝑗𝑣
𝑗 (36)
Trong đó 𝑇̅𝑖 = ∑ 𝑇𝑗 𝑖𝑗 chính là tổng các dòng của ma trận T. Khi đó VAREER được định nghĩa như sau:
Δlog(𝑉𝐴𝑅𝐸𝐸𝑅𝑖) = ∑ 𝑇𝑖𝑗
𝑇̅𝑖 𝑝̂𝑗𝑣
𝑗 (37)
Về mặt thực nghiệm VAREER được tính theo công thức
∆ log(𝑉𝐴𝑅𝐸𝐸𝑅𝑖) = ∑ (1 𝑇̅𝑖∑ (𝑝𝑖𝑣𝑉𝑖𝑘 𝑝𝑖𝑣𝑉𝑖) 𝑘 (𝑝𝑗 𝑣𝑉𝑗𝑘 𝑝𝑘𝐹𝑘)) 𝑗≠𝑖 (𝑝̂𝑖𝑣− 𝑝̂𝑗𝑣) (38) Với 𝑇̅𝑖 = 1 − ∑ (𝑝𝑖𝑣𝑉𝑖𝑘 𝑝𝑖𝑣𝑉𝑖) 𝑘 (𝑝𝑗 𝑣𝑉𝑗𝑘 𝑝𝑘𝐹𝑘) Trong đó:
- 𝑖, 𝑗, 𝑘 𝜖[1 … 𝑁] là các quốc gia trong 𝑁 quốc gia nghiên cứu - 𝑝𝑖𝑣 là giá của phần GTGT
- 𝑉𝑖𝑘 là GTGT của nước 𝑖 trong sản phẩm cuối cùng của nước 𝑘 - 𝑉𝑖 là GTGT của nước 𝑖
- 𝑝𝑘 là giá hàng hóa cuối cùng của nước k - 𝐹𝑘 là hàng hóa cuối cùng của nước k
𝑝̂𝑖𝑣 là GTGT của nước 𝑖 được thay thế bằng chỉ số giảm phát GDP của nước 𝑖.
𝑝̂𝑗𝑣 là GTGT của nước 𝑗 được thay thế bằng chỉ số giảm phát GDP của nước 𝑗.
Trong công thức trên, VAREER có hai thành phần chính
∑ (1 𝑇̅𝑖∑ (𝑝𝑖𝑣𝑉𝑖𝑘 𝑝𝑖𝑣𝑉𝑖) 𝑘 (𝑝𝑗 𝑣 𝑉𝑗𝑘 𝑝𝑘𝐹𝑘))
𝑗≠𝑖 biểu thị trọng số GTGT song phương.