Một số ứng dụng trong toán sơ cấp
2.3.4 Bài toán Tìm số m nhỏ nhất sao cho phân hoạch bất kì tập hợp
{1,2,3, . . . , m} thành 2 lớp T1, T2 thì luôn tồn tại 1 lớp có chứa 3 số phân biệt x < y < z sao cho x+z = 2y
Chứng minh. : Với m = 4, ta có: {1,2,3,4} = {2} ∪ {1,3,4}. Cả hai lớp này đều không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Xét m = 5, ta có {1,2,3,4,5} = {2,3} ∪ {1,4,5} không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Xét m = 6, ta có {1,2,3,4,5,6} = {2,5,6} ∪ {1,3,4} không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Xét m = 7, ta có {1,2,3,4,5,6,7} = {1,2,4,5} ∪ {3,6,7} không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Xét m = 8, ta
có {1,2,3,4,5,6,7,8} = {1,4,5,8} ∪ {2,3,6,7} không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Xétm = 9, ta giả sử phản chứng là tồn tại phân hoạch{1,2,3,4,5,6,7,8,9} = T1 ∪T2 mà cả 2 lớp T1, T2 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán (giả sử phản chứng m = 9 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán). Do vai trò của
2 lớp T1, T2 nh− nhau nên ta chỉ xét 2 tr−ờng hợp sau đây: Tr−ờng hợp 1: (1,9) ⊆ T1 suy ra 1 + 9
2 = 5 không thuộc T1 nên 5 thuộc T2. Từ đó 3,7 không đồng thời thuộc T2 (nếu ng−ợc lại 3+7=2.5) suy ra phải ít nhất có 1 số thuộc T1. Giả sử 3 ∈ T1 suy ra
3 + 1 2 = 2 ∈ T2, 3 + 9 2 = 6 ∈ T2, 6 + 2 2 = 4∈ T1,(5,6) ⊆T2,
suy ra 7 ∈ T1 và (1,4,7) ∈ T1 (mâu thuẫn). Giả sử 7∈ T1 suy ra 7 + 9 2 = 8 ∈ T2, 7 + 1 2 = 4 ∈ T2, 4 + 8 2 = 6∈ T1,(6,7) ⊆T1,
suy ra 5 ∈ T2,(5,4) ∈ T2,3 ∈ T1 và (3,6,9) ∈ T1 (mâu thuẫn).
Tr−ờng hợp 2: 1 ∈ T1,9 ∈ T2, giả sử 5 ∈ T1 suy ra (1,5) ⊆ T1 và 3 ∈ T2,9 ∈ T2 và (1,3,5),(1,5,9) lập thành một cấp số cộng nên 9 + 3 2 = 6 ∈ T1,(5,6) ∈ T1 suy ra 4 ∈ T2,7 ∈ T2 mà 7,9 ∈ T2 nên 7 + 9 2 = 8 ∈ T1. Ta có (3,4) ∈ T2 suy ra 2 ∈ T1 và (2,5,8) ∈ T1 (mâu thuẫn).
Giả sử 5 ∈ T2 ta suy ra (9,5) ∈ T2 và (3,6) ∈ T1 mà 1,3 ∈ T1 suy ra
1 + 3
2 = 2 ∈ T2,(6,7) ∈ T1, suy ra 8 ∈ T2 và (2,5,8) ∈ T2 (mâu thuẫn)
nên số m nhỏ nhất cần tìm là 9.