Một số ứng dụng trong toán sơ cấp
2.3.7 Bài toán Trong tập hợp n số nguyên d−ơng phân biệt Xét tất cả các tổng của các phần tử trong mỗi tập con không rỗng của nó Chứng minh
tổng của các phần tử trong mỗi tập con không rỗng của nó. Chứng minh
2n−1 số này có thể chia thành n lớp sao cho trong mỗi lớp này tỷ số giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Chứng minh. : Tr−ớc hết, ta đã biết số tập con không rỗng của một tập hợp gồm n phần tử là 2n−1. Mỗi tập con thì cho ta một tổng các phần tử của tập con đó. Do đó chúng ta có tất cả 2n −1số là các tổng trên.
Bây giờ, ta kí hiệu các số đã cho làx1, x2, x3, . . . , xn thỏa mãn điều kiện
x1 < x2 < x3 < . . . < xn và kí hiệu các tổng sau đây
mk = 1
2(x1 +x2 +x3 + . . .+xk), Mk = x1 +x2 + x3 + . . .+xk,16 k 6n.
Với mỗi k ta gọi các lớp Tk gồm những tổng S (của cac số của tập con nào đó) thỏa mãn bất đẳng thức mk < S < Mk (∗)
Gọi S1, S2 lần l−ợt là tổng nhỏ nhất và tổng lớn nhất của các phần tử trong mỗi tập con. Nếu mk 6S1 6S2 6 Mk thì ta có tỷ số S2
S1
6 Mk
mk
= 2. Suy ra trong mỗi lớp Tk tỷ số giữa số giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2. Đối với những tổng S thỏa mãn điều kiện (∗)
với nhiều chỉ số k ta chọn 1 chỉ số k duy nhất. Vậy ta có Ti ∩ Tk = ∅, mọi i 6= k. Ta chứng minh mọi tổng S sẽ rơi vào 1 trong các lớp Tk ở trên,
16 k 6n.
Thật vậy, ta giả sử phản chứng là tồn tại 1 tổng S mà S không thuộc
Tk,1 6 k 6 n. Ta có Mk ∈ Tk suy ra S khác Mk,1 6 k 6 n. Ta lại có
M1 < S < Mn nên tồn tại k thỏa mãn Mk < S < Mk+1. Vì S > Mk nên
S = (x1 + x2 +. . .+ xk) +xk+1 +. . .+ xi. Từ đó S > xi, i > k. Suy ra
2S > xi + Mk ≥ xk+1 + Mk = Mk+1. Khi đó 2S > Mk+1 = 2mk+1 suy ra S > mk+1 và mk+1 < S < Mk+1 suy ra S ∈ Tk+1. Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng.
Kết luận
Luận văn trình bày một cách hệ thống những kết quả cơ bản của lí thuyết phân hoạch tập hợp và ứng dụng giải các bài sơ cấp trong đại số tổ hợp, xác xuất thống kê, trong hình học sơ cấp, v.v.
Các kết quả đạt đ−ợc trong luận văn này nh− sau.
- Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của phép phân hoạch tập hợp, chỉ rõ mối quan hệ giữa phép phân hoạch tập hợp và quan hệ t−ơng đ−ơng.
- Trình bày công thức tính số phân hoạch một tập hợp gồm n phần tử (kí hiệu là số BellBn), công thức tính số Stirling loại 2 (kí hiệu là S(n, k)) xuất hiện nhiều trong các bài toán tổ hợp, xác suất thống kê.
- Trình bày một số ứng dụng của lý thuyết phép phân hoạch tập hợp trong toán sơ cấp. Cụ thể là giải một số bài toán liên quan đến phân hoạch chẵn, phân hoạch lẻ, phân hoạch tập hợp số, đại số tổ hợp, xác suất thống kê hay hình học sơ cấp.
Dựa vào sự phát triển của công nghệ thông tin, máy tính hay phần mềm Maple để có thể tính xấp xỉ hoặc đánh giá cận của các số Bell của tập hợp với số phần tử lớn. Trong t−ơng lai chắc chắn sẽ còn nhiều kết quả cụ thể hơn về số Stirling loại 2 hay số Bell cũng nh− thấy đ−ợc nhiều ứng dụng sâu sắc của phép phân hoạch tập hợp trong toán học nói chung và toán sơ cấp nói riêng.