2. Mục đớch nghiờn cứu
2.2. Biện phỏp 2: GV tập luyện cho HS vẽ hỡnh đỳng
a) Mục tiờu: Nhằm giỳp HS cú cỏi nhỡn tổng quỏt về bài toỏn hỡnh, HS hiểu đỳng đƣợc luận đề đồng thời tỡm đƣợc luận cứ đỳng đắn nhờ gợi ý từ trực quan. Giỳp HS trỏnh những sai lầm: “ngộ nhận”, luận đề và luận cứ khụng đỳng.
b) Biện phỏp thực hiện
Thứ nhất: Vẽ hỡnh minh họa cho mỗi bài toỏn, xột cỏc trƣờng hợp cú thể xảy ra. Coi việc vẽ hỡnh minh họa là yờu cầu bắt buộc khi giải toỏn hỡnh học.
Vớ dụ 2.2.1. Trong mặt phẳng, cho tam giỏc ABC cõn tại A cú BC = 6cm, bỏn kớnh đƣờng trũn ngoại tiếp R= 5 cm. Tớnh độ dài cạnh bờn của tam giỏc ABC.
- Ta cú cỏc hỡnh minh họa.
Vớ dụ 2.2.2. Trong hệ trục Oxy, choA 1;4 , B 0;3 . Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng d đi qua C (0;1)cỏch đều hai điểm A, B.
- Ta cú cỏc hỡnh minh họa.
Thứ hai: Vẽ đỳng đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng, xỏc định đỳng chõn đƣờng cao của mỗi hỡnh đa diện.
Trong chƣơng trỡnh THPT, cỏc hỡnh cơ bản của Hỡnh học khụng gian là: hỡnh lập phƣơng, hỡnh hộp, hỡnh chúp, hỡnh chúp cụt, hỡnh lăng trụ, hỡnh nún, hỡnh nún cụt, hỡnh trụ và hỡnh cầu. Ngồi hỡnh cầu thỡ cỏc hỡnh trờn đều cú đặc trƣng là: đỏy và đƣờng cao. Việc xỏc định và vẽ đa giỏc đỏy của cỏc hỡnh đa diện trờn khụng khú khăn (vỡ chỉ cần xỏc định mặt ngồi và mặt khuất của hỡnh đa diện). Để hỡnh vẽ đƣợc trực quan, thể hiện quan
C A B 1 H H d I C A B 1 H H d
hệ song song, quan hệ vuụng gúc thỡ ta cần xỏc định đỳng đƣờng cao và vị trớ chõn đƣờng cao của hỡnh đa diện.
Với mỗi bài toỏn về hỡnh đa diện, GV hƣớng dẫn và yờu cầu HS vẽ hỡnh minh họa, xỏc định đỳng chõn đƣờng cao (vẽ hỡnh minh họa ở gúc nhỡn khỏc nhau). Ngồi ra GV chỉ ra vẽ hỡnh minh họa sai.
Vớ dụ 2.2.3. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, mặt bờn SAB là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD.
-Ta cú một số hỡnh biểu diễn minh họa.
Ngồi ra đối với hỡnh khụng gian cần nắm vững nguyờn tắc: Quy tắc vẽ hỡnh [7, tr.45] (sỏch giỏo khoa Hỡnh học 11, trang 45. Cỏc đường trong hỡnh vẽ khụng được chồng lờn nhau (đố lờn nhau). Đối với từng Dạng hỡnh cụ thể ta cú cỏch vẽ riờng nhƣ sau:
+ Đối với hỡnh chúp đều:
Bước 1: Vẽ đỏy là đa giỏc đều (đĩ cú chủ định mặt ngồi và mặt bị khuất; Bước 2: Xỏc định tõm I của đa giỏc đều;
Bước 3: Từ tõm I ta dựng đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng chứa đa giỏc đỏy (đường thẳng d song song với mộp giấy (mộp bảng));
Bước 4: Từ một điểm bất kỳ (khỏc I) trờn d ta nối với cỏc đỉnh của đa giỏc đỏy. Khi đú ta được hỡnh chúp đa giỏc đều.
+ Đối với hỡnh chúp cú cạnh bờn vuụng gúc với đỏy:
Bước 1: Vẽ đỏy (đĩ cú chủ định mặt ngồi và mặt bị khuất);
Bước 2: Từ đỉnh cú cạnh bờn vuụng gúc với đỏy ta dựng đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng chứa đa giỏc đỏy (đường thẳng d song song với mộp giấy (mộp bảng));
Bước 3: Từ một điểm bất kỳ trờn d ta nối với cỏc đỉnh của đa giỏc đỏy. Khi đú ta được hỡnh chúp cần tỡm.
+ Đối với hỡnh chúp cú mặt bờn vuụng gúc với đỏy:
Bước 1: Vẽ đỏy (đĩ cú chủ định mặt ngồi và mặt bị khuất);
Bước 2: Ta xỏc định một điểm H trờn cạnh đỏy (cạnh này thuộc mặt bờn vuụng gúc với đỏy). Từ H ta dựng đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng chứa đa giỏc đỏy (đường thẳng d song song với mộp giấy (mộp bảng));
Bước 3: Từ một điểm bất kỳ (khỏc H) trờn d ta nối với cỏc đỉnh của đa giỏc đỏy. Khi đú ta được hỡnh chúp cần tỡm.
+ Đối với hỡnh chúp cú chõn đƣờng cao H ở vị trớ đặc biệt (theo giả thiết):
Bước 1: Vẽ đỏy ( đĩ cú chủ định mặt ngồi và mặt bị khuất);
Bước 2: Ta xỏc định vị trớ điểm H (theo giả thiết). Từ H ta dựng đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng chứa đa giỏc đỏy (đường thẳng d song song với mộp giấy (mộp bảng));
Bước 3: Từ một điểm bất kỳ (khỏc H) trờn d ta nối với cỏc đỉnh của đa giỏc đỏy. Khi đú ta được hỡnh chúp cần tỡm.
+) Đối với hỡnh lăng trụ đứng:
Bước 1: Vẽ đỏy (đĩ cú chủ định mặt ngồi và mặt bị khuất);
Bước 2: Từ mỗi đỉnh của đa giỏc đỏy ta dựng cỏc đoạn thẳng song song, bằng nhau và cựng vuụng gúc với mặt phẳng chứa đa giỏc đỏy (cỏc đoạn này song song với mộp giấy (mộp bảng));
Bước 3: Từ cỏc đầu mỳt của mỗi đoạn thẳng ở bước 2 ta nối lại với nhau để được đa giỏc bằng đa giỏc đỏy. Khi đú ta cú lăng trụ cần vẽ.
+) Đối với hỡnh lăng trụ đĩ biết điểm H là hỡnh chiếu của một đỉnh:
Bước 1: Vẽ đỏy (đĩ cú chủ định mặt ngồi và mặt bị khuất)
Bước 2: Từ H ta dựng đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng chứa đa giỏc đỏy (đường thẳng d song song với mộp giấy (mộp bảng)). Từ một điểm bất kỳ
(khỏc H) trờn d ta nối với một đỉnh của đa giỏc đỏy (sao cho cạnh này thỏa mĩn giả thiết). Khi đú ta được một cạnh của lăng trụ;
Bước 3: Từ mỗi đỉnh cũn lại của đa giỏc đỏy ta dựng cỏc đoạn thẳng song song và bằng cạnh vừa dựng;
Bước 4: Từ cỏc đầu mỳt của mỗi đoạn thẳng ở bước 3 ta nối lại với nhau để được đa giỏc bằng đa giỏc đỏy. Khi đú ta cú lăng trụ cần vẽ.
+) Đối với hỡnh lăng trụ xiờn:
Bước 1: Vẽ đỏy (đĩ cú chủ định mặt ngồi và mặt bị khuất);
Bước 2: Xỏc định yếu tố gúc- khoảng cỏch (giả thiết cho).Chủ định vẽ xiờn về phớa nào cho phự hợp. Từ một đỉnh ở đỏy ta vẽ một cạnh xiờn;
Bước 3: Từ mỗi đỉnh cũn lại của đa giỏc đỏy ta dựng cỏc đoạn thẳng song song và bằng cạnh vừa dựng;
Bước 4: Từ cỏc đầu mỳt của mỗi đoạn thẳng ở bước 3 ta nối lại với nhau để được đa giỏc bằng đa giỏc đỏy. Khi đú ta cú lăng trụ cần vẽ.
Dựa vào hỡnh vẽ, ghi giả thiết, kết luận của bài toỏn. Việc ghi giả thiết, kết luận giỳp ta nắm vững hơn nội dung bài toỏn, chuẩn bị tốt cho cỏc bƣớc tiếp theo.
Để hƣớng dẫn HS cho trực quan hơn ta cú thể sử dụng cỏc phần mền vẽ hỡnh nhƣ sketpas, GeoGebra,.. để vẽ hỡnh minh họa. Khi đú HS thấy rừ mặt ngồi và mặt khuất cũng nhƣ những nột đứt đoạn và nột liền.
Vớ dụ 2.2.4. Trong khụng gian, cho hỡnh lập phƣơng ABCD. A‟B‟C‟D‟. Gọi M
là điểm thuộc đoạn AD‟, N là điểm thuộc đoạn BD sao cho 1
' 3
AM DN
AD DB . Chứng
minh rằng MN là đoạn vuụng gúc chung của hai đƣờng thẳng AD‟ và BD. - Lời giải
+ Trƣớc hết ta túm tắt giả thiết và kết luận
GT
+) ABCD. A‟B‟C‟D‟ là hỡnh lập phƣơng.
+) M AD‟, N BD sao cho 1
' 3
AM DN
AD DB
KL Chứng minh: MN AD' và MN BD
- Lời giải (Cỏch 1) Kẻ MF AD tại F ; NE AD tại E Ta cú MF// DD‟ và 1 ' 3 AM AD nờn 1 3 AF AD (1) Ta cú NE// BA và 1 3 DN DB nờn 1 3 DE DA (2)
Từ (1) và (2) ta cú F là trung điểm của AE và E là trung điểm của DF +) Chứng minh MN BD Hỡnh 2 Hỡnh 1 Hỡnh 6 Hỡnh 5 Hỡnh 3 Hỡnh 4
Theo cỏch dựng ta cú MF (ABCD) nờn MF BD (3)
Xột NDF cú đƣờng cao NE cũng là đƣờng trung tuyến nờn NDF cõn tại N,
lại cú 0
45
FDN suy ra NDF vuụng cõn tại N.
Suy ra FN ND hay FN BD (4)
Từ (3); (4) ta cú BD (MNF) suy ra BD MN (*) +) Chứng minh MN AD'
Theo cỏch dựng ta cú NE (AA‟D‟D) nờn NE AD‟ (5)
Xột MAE cú đƣờng cao MF cũng là đƣờng trung tuyến nờn MAE cõn tại M,
lại cú 0
45
EAM suy ra MAE vuụng cõn tại M.
Suy ra EM MA hay EM AD‟ (6)
Từ (5) và (6) ta cú AD‟ (MNE) suy ra AD‟ MN (**)
Từ (*) và (**) suy ra MN là đoạn vuụng gúc chung của BD và AD‟.
- Nhận xột:
+ Khụng nờn vẽ hỡnh nhƣ Hỡnh 4, Hỡnh 5, Hỡnh 6, vỡ vẽ nhƣ thế gõy ngộ nhận sự cắt nhau của hai đƣờng, khụng làm nổi bật đoạn MN lờn đƣợc và bị rối khi vẽ thờm đƣờng. Cụ thể: với Hỡnh 4, Hỡnh 5 làm cho HS nghĩ đoạn MN cắt đoạn CC‟, với Hỡnh 6 làm cho HS nghĩ MN khụng phải là đoạn vuụng gúc chung của AD‟ và BD, từ
đú làm lu mờ việc chứng minh MN AD' và MN BD;
+ Với Hỡnh 1, Hỡnh 2 nhỡn trực quan hơn và tỡm lời giải nhanh hơn. Với hỡnh vẽ này gợi cho HS nghĩ đến PP tọa độ với gốc trựng với đỉnh A.
- Lời giải (Cỏch 2): Ta dựng PP tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A, D trục Ox, B trục Oy, A‟ trục Oz Khụng làm mất tớnh tổng quỏt ta cú thể giả sử ABCD.A‟B‟C‟D‟ là hỡnh hộp cú cạnh bằng 1. Khi đú ta cú tọa độ cỏc đỉnh là: 1 1 2 1 (0;0;0), B (0;1;0), D (1;0;0), D' (1;0;1), M ( ;0; ), N ( ; ;0). 3 3 3 3 A Ta cú 1 1 1 ' 1;0;1 , 1; 1;0 , ; ; 3 3 3 AD BD MN . ' 0 ' MN . 0 MN AD MN AD BD MN BD
2.3. Biện phỏp 3: GV tập luyện cho HS tỡm hiểu đỳng luận cứ, luận chứng trong cỏc bài toỏn cú lời giải.
a) Mục tiờu: Hỡnh thành và phỏt triển cho HS kỹ năng xỏc định cỏc luận cứ và
xỏc định quy tắc suy luận đƣợc sử dụng trong chứng minh bài toỏn hỡnh học.
b) Biện phỏp thực hiện:
Dựa vào ba bộ phận cấu thành của chứng minh (luận đề, luận cứ, luận chứng) chỳng ta nhấn mạnh ba yờu cầu sau đõy để đảm bảo chứng minh là đỳng.
+) Luận đề khụng được đỏnh trỏo. +) Luận cứ phải đỳng.
+) Luận chứng phải hợp lụgớc.
Nờn để làm đƣợc điều này GV cú thể thực hiện nhƣ sau.
Thứ nhất: Thƣờng xuyờn tập luyện cho HS hoạt động vẽ hỡnh, ghi giả thiết (một phần quan trọng của luận cứ) và kết luận (luận đề) của cỏc bài toỏn. Coi việc ghi giả thiết và kết luận của bài toỏn là yờu cầu bắt buộc khi giải toỏn.
Vớ dụ 2.3.1. Cho tứ diện OABC cú OA, OB, OC đụi một vuụng gúc với nhau. Gọi H là hỡnh chiếu của O trờn mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC (OAH).
b) H là trực tõm của tam giỏc ABC. c) Cỏc gúc của tam giỏc ABC đều nhọn.
- Ta cú giả thiết, kết luận và hỡnh vẽ của bài toỏn nhƣ sau:
GT
Cho tứ diện OABC cú:
+) OA OB, OB OC, OC OA +) OH (ABC) tại H
KL
a) BC (OAH).
b) H là trực tõm của tam giỏc ABC. c) Cỏc gúc của tam giỏc ABC đều nhọn.
Thứ hai: Thƣờng xuyờn tập luyện cho HS phõn tớch cỏc bƣớc trong chứng minh để HS nắm đƣợc cỏc quy tắc suy luận lụgic đƣợc sử dụng một cỏch tàng ẩn trong mỗi bƣớc chứng minh.
Để tỡm lời giải cho bài toỏn GV nờn phõn tớch ngƣợc từ luận đề ta tỡm mối liờn hệ với giả thiết (luận cứ). Từ đú lại tổng hợp lại, liờn kết cỏc phõn tớch trờn để cú lời giải đỳng, chớnh xỏc. Phõn tớch và tổng hợp lời giải cho mỗi bài toỏn khụng chỉ rốn kỹ năng giải toỏn hỡnh học mà cũn phỏt triển tƣ duy cho HS.
Để chứng minh mệnh đề A B. Ta thực hiện một loạt cỏc thao tỏc phõn tớch
ngƣợc dạng (với ;(A ii 1, )n là cỏc mệnh đề trung gian ):
1 n B A A A
Vớ dụ 2.3.2. Cho tứ diện ABCD cú hai mặt ABC và BCD là hai tam giỏc cõn cú chung cạnh đỏy BC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng: BC (ADM).
b) Gọi DH là đƣờng cao của ADM. Chứng minh rằng: DH (ABC). * Phõn tớch bài toỏn:
GT
Cho tứ diện ABCD cú: ABC và BCD +) M là trung điểm của BC
+) DH là đƣờng cao của ADM.
KL
Chứng minh rằng: a) BC (ADM). b) DH (BCD).
- Luận đề: BC (ADM) ; DH (BCD).
- Luận cứ: Cỏc khỏi niệm tam giỏc cõn, trung điểm của đoạn thẳng, tớnh chất đƣờng trung tuyến xuất phỏt từ đỉnh của tam giỏc cõn, khỏi niệm đƣờng cao của tam giỏc gắn vào giả thiết của bài toỏn. Khi đú:
- Luận chứng:
Ta phõn tớch ngƣợc yờu cầu cần chứng minh BC (ADM).
( Loại bỏ PP tọa độ, loại bỏ việc tỡm 2 đƣờng thẳng khỏc mà cắt nhau cựng nằm trong mp(ADM) và cựng vuụng gúc BC ).
( Huy động luận cứ để chỉ ra BC vuụng gúc với 2 đƣờng thẳng cắt nhau cựng nằm trong mp(ADM) ).
Ta loại bỏ chứng minh trƣờng hợp 2, trƣờng hợp 3 ( vỡ phức tạp).
Việc chỉ ra BC AM; BC DM; AM DM=M dễ dàng hơn.
Ta tổng hợp và cú lời giải
Tam giỏc ABC cõn tại A, cú M là trung điểm của BC nờn BC AM (1) Tam giỏc BCD cõn tại D, cú M là trung điểm của BC nờn BC DM (2) Mà AM cắt DM tại M và AM, DM mp(ADM) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra BC (ADM) (Đccm).
Hoặc viết lời giải thu gọn hơn
Hai tam giỏc ABC và BCD là cỏc tam giỏc cõn thứ tự tại A và D
Mà M là trung điểm của BC BC AM, BC DM hơn nữa AM DM =M BC (ADM) (đpcm).
+ Chứng minh DH (BCD) cú phõn tớch và tổng hợp tƣơng tự nhƣ trờn
Ta cú lời giải thu gọn
Theo cõu (a): BC (ADM), DH (ADM) DH BC (4)
mà theo giả thiết: DH AM, BC AM= M (5) Từ (4) và (5) suy ra DH (BCD) (Đccm). AM DM= BC AM BC DM M AD DM=D BC MD BC AD AM DA=A BC AM BC DA BC (ADM)
- Nhận xột: Ta đĩ chứng minh BC (ADM) bằng quy tắc suy luận lụgic , X Y X Y . Vớ dụ 2.3.3. Cho hỡn khoảng cỏch từ A đến (SBC). * Phõn tớch bài toỏn: GT KL Tớnh d A SBC( ,( )). - Luận đề: Tớnh ( ,(d A SBC)).
- Luận cứ: là cỏc khỏi niệm nhƣ: , đƣờng cao của hỡnh
chúp, thể tớch khối chúp, hỡnh vuụng, tam giỏc cõn, tam giỏc đều, tam giỏc vuụng, trung điểm của đoạn thẳng, tớnh chất đƣờng trung tuyến xuất phỏt từ đỉnh của tam giỏc cõn, khỏi niệm hỡnh chiếu của một điểm trờn một mặt phẳng, đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng, khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng. Khi đú:
- Luận chứng:
Ta phõn tớch ngƣợc yờu cầu tớnh ( ,(d A SBC)).
( Ta loại bỏ PP thứ nhất (vỡ phức tạp, khụng khả thi ). Cỏc PP 2, PP 3, PP 4, PP 5 đều khả thi ).
- Sau đõy là cỏch làm theo PP 2 và PP 4
Gọi O là tõm của hỡnh vuụng ABCD. Ta cú
( ,( )) ? d A SBC (PP trực tiếp) Tỡm hỡnh chiếu H của A trờn mp(SBC) (PP giỏn tiếp) A.SBC 3 ( ,( )) SBC V d A SBC S (PP giỏn tiếp) Tỡm M: AM cắt (SBC) tại I và tớnh đƣợc (M,(SBC))d biết đƣợc AI MI (PP giỏn tiếp) Tỡm điểm M sao cho AM// (SBC) và tớnh đƣợc (M,(SBC)) d (PP tọa độ) +) Chọn hệ trục Oxyz +) Tỡm tọa độ A, PT mp(SBC)
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a OA OB OC AC AB BC a a a a SO SA AO a
Cỏch 1: Chọn hệ trục Oxyz sao cho: +) O là giao điểm của AC và BD +) Tia Ox trựng với tia OC +) Tia Oy trựng với tia OB +) Tia Oz trựng với tia OS Khi đú ta cú: ;0;0 , B 0; ;0 , C ;0;0 , S 0;0; . 2 2 2 2 a a a a A PT mp(SBC) là 1 0 2 2 2 2 x y z a x y z a a a Vậy 0 0 2 2 2 ( , ( )) 3 1 1 1 a a d A SBC a . Cỏch 2: Ta cú A, O, C thẳng hàng và C (SBC), AC 2.OC suy ra (A,(SBC))d 2 (O,(SBC))d .
Gọi M là trung điểm BC thỡ 1
2 2
OM BC
a
OM AB (1)
Gọi K là hỡnh chiếu của O trờn SM, suy ra OK SM (2)
Do S.ABCD là hỡnh chúp đều nờn SO (ABCD) suy ra SO BC (3) Từ (1) và (3) ta cú BC (SOM) suy ra BC OK (4)
Từ (2) và (4) ta cú OK (SBC) suy ra (A,(SBC)) 2 (O,(SBC)) 2OKd d
Trong SOM ta cú: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 6 6 ( ) ( ) 2 2 a OK a a OK SO OM a .
Vậy (A,(SBC)) 2OK 2
6
a
Vớ dụ 2.3.4. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật
, 3
AB a AD a . Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A’ trờn mặt phẳng (ABCD) trựng
với giao điểm của AC và BD, gúc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tớnh thể tớch của khối lăng trụ đĩ cho và khoảng cỏch từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a.
Phõn tớch bài toỏn:
GT
Lăng trụ ABCD.A‟B‟C‟D‟ cú đỏy ABCD
là hỡnh chữ nhật AB a AD, a 3
+) A‟O (ABCD), với O AC BD
+) ADD A‟ ‟ , ABCD 600
KL
a) Tớnh VABCD A B C D. ' ' ' ' ?. b) Tớnh ( ',( 'd B A BD)) ?.
- Luận đề: Tớnh VABCD A B C D. ' ' ' ' ? và Tớnh d B( ',( 'A BD)) ?.
- Luận cứ: Cỏc khỏi niệm: khối lăng trụ, thể tớch khối lăng trụ, hỡnh chữ nhật,