Chứng minh 55(B. Polster & M. Ross, xem [4], Proof 118). B. Polster & M. Ross đã chứng minh Mệnh đề sau không dùng định lý Pythagoras và định lý hàm số cosin.
Mệnh đề 2.2.1 (B. Polster & M. Ross, 2016, xem [5]). Trong tam giác ABC với
BC=a,AC =b,AB=c,ACBd =α ta có
• c2 =a2+b2−abnếuα =60◦;
• c2 =a2+b2+abnếuα =120◦.
Bây giờ ta sẽ áp dụng mệnh đề trên để chứng minh định lý Pythagoras. Bất kì tam giác vuông nào cũng có thể chia thành một tam giác có góc60◦ và một tam giác khác với góc120◦.
Hình 2.28.
Từ Mệnh đề 2.2.1, ta có
c2=x2+ (a−y)2+x(a−y),
Trừ hai vế cho nhau, ta đượcc2−b2 =a2−a(2y−x). Màx=2ynên c2−b2=a2
hayc2=a2+b2.
Chứng minh 56(David Houston, xem [4], Proof 80). Khi xác địnhsinθ cho bất kì góc nhọn nào thì nó đều là tỉ số giữa đường cao và cạnh huyền (trong hình vẽ bên dưới) tức là
sinθ = h
y suy ra h=ysinθ.
Hình 2.29. Như vậy ta có diện tích tam giác
S= xh
2 =
xysinθ
2 .
Ta cần chứng minhc2=a2+b2trong hình vẽ sau:
Hình 2.30.
Để không mất tính tổng quát, giả sửa≤b(không xét trường hợpa=bđể đảm bảo gócθ nhọn).
Theo cách tính nêu trên, với tam giác to bên trái ta có
S=2·ab 2 S= c 2sinθ 2 suy ra ab= c 2sinθ 2 (2.4)
Hình 2.31.
Với hình chữ nhật bên phải ta có
• Diện tích tam giác cân cạnhabằngS1 = a
2sinθ
2 ;
• Diện tích tam giác cân cạnhbbằngS2 = b
2sinθ
2 ;
• Diện tích hai tam giác vuông cạnh huyềncbằngS3=2·ab
2 =ab. Thay (2.4) vào ta có S3= c 2sinθ 2 . Mặt khác theo cách vẽ hình ta cóS3=S1+S2. Hay là c2sinθ 2 = a2sinθ 2 + b2sinθ 2 suy rac2 =a2+b2.
Chứng minh 57(Jason Zimba, xem [4], Proof 84). J. Zimba sử dụng hai công thức lượng giác sau cho cách chứng minh của mình:
cos(α−β) =cosαcosβ+sinαsinβ, sin(α−β) =sinαcosβ−cosαsinβ.
Xét tam giác vuông với hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt làavàbcạnh huyền
c, hai góc nhọnxvàythỏa mãn
0<y<x<90◦, cosx= a
c, sinx= b c.
Khi đó0<x−y<90◦. Ta có cosy=cos(x−(x−y))
=cosxcos(x−y) +sinxsin(x−y)
=cosx(cosxcosy+sinxsiny) +sinx(sinxcosy−cosxsiny) = (cos2x+sin2x)cosy.
Suy ra: cos2x+sin2x=1⇒ a 2 c2 + b2 c2 =1. Vậyc2=a2+b2.
Chứng minh 58 (John Molokach, xem [4], Proof 112). Giả sử α là góc nhọn của tam giác vuông với hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là avà bcạnh huyền có độ dàicthỏa mãn
cosx= a
c, sinx= b c.
Ta cócosα =cos(2α−α) =cos(2α)cosα+sin(2α)sinα.Chia lần lượt cả hai vế chocosα ta có
cos(2α) =1−sin(2α)sinα
cosα =1−2 sinαcosαsinα
cosα =1−2sin2α.
Mặt khác ta cócos(2α) =cos2α−sin2α, hay làcos2α−sin2α =1−2sin2α. Suy ra cos2α+sin2α =1⇒ a 2 c2 +b 2 c2 =1 suy raa2+b2=c2. Ta có điều phải chứng minh.
Ta thấy hai cách Chứng minh 57 và Chứng minh 58 đều sử dụng công thức lượng giác để chứng minh định lý Pythagoras nhưng lại có cách triển khai khác nhau. Mặc dù cùng áp dụng các khai triển hàm cosin và sin của hiệu hai góc, Jason Zimba đưa ra kết quả tính toán dựa trên hai góc nhọnx,ycủa tam giác vuông ban đầu, trong khi đó, John Molokach chỉ xét đến gócα là một trong hai góc nhọn tạo bởi cạnh huyền và hai cạnh góc vuông. Tuy nhiên, sau quá trình tính toán, cả hai tác giả đều đi đến công thức lượng giác quen thuộcsin2x+cos2x=1và bài toán được giải quyết.
Chương 3
Chứng minh định lý Pythagoras nhờ các định lý hình học khác
3.1 Chứng minh định lý Pythagoras từ định lý dây cung gãy
Chứng minh 59(Định lý dây cung gãy, xem [4], Proof 85). Trên đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC, điểm P là điểm chính giữa của cung tròn ABC. Đường thẳng PM
vuông góc với cạnh dài hơn trong hai cạnh AC và BC. Điểm M sẽ chia đôi đường gấp khúcABChay AM=MC+CB.
Hình 3.1. Định lý dây cung gãy
BC. ∆BCF là tam giác cân với CFBd = BFCd = α. Khi đó góc ngoài ACBd = 2α. Trong đường tròn đã cho,ACBd =APBd do nhìn cùng một cạnh. Do đó:APBd =2α =
2CFBd =AFBd.
Trong đường tròn ngoại tiếp∆ABF,PA=PB và APBd =2AFBd nên Pchính là tâm của đường tròn này. Vì vậy, khi kẻPM ⊥AF, M sẽ là trung điểm của AF hay
AM=MF=MC+CF =MC+CBvà định lý dây cung gãy đã được chứng minh. Bui Quang Tuan đã dùng định lý này để chứng minh định lý Pythagoras như sau (Hình 3.2).
Hình 3.2. Chứng minh của Bui Quang Tuan sử dụng định lý dây cung gãy
Vẽ ∆ABC vuông ởC,ABlà đường kính của đường tròn ngoại tiếp tâmO. Gọi Plà điểm chính giữa cungACB.∆APBvuông cân vuông ởP. Giả sửAC>BC, gọi Mlà hình chiếu vuông góc củaPlênAC. Đường thẳngPM cắtABởN. B0 là hình chiếu vuông góc của BlênPM. Đặt BC=a,AC=b,AB=c. Tứ giácBCMB0là hình chữ nhật nênMB0=BC=a. Áp dụng Định lý dây cung gãy ta có
AM= AC+BC 2 = a+b 2 , MC= a+b 2 −a= b−a 2 .
Tam giác∆PMCvuông cân ởM nên
MP=MC= b−a
2 .
VìAMkBB0vàS∆MNB=S∆ANB0 nên ta có
c2
=S∆APM+S∆PMB+S∆AMN+S∆ANB0 =S∆APM+S∆PMB+S∆AMB0 =MP.AM 2 +MP. MC 2 +AM. MB0 2 = 1 2 a−b 2 a+b 2 +1 2. b−a 2 . b−a 2 + a+b 2 . a 2 = a2+b2 4 .
Suy rac2=a2+b2. Ta có điều phải chứng minh.
Định lý dây cung gãy là một định lý tương đối lạ song cách chứng minh lại ngắn gọn khi chỉ sử dụng các tính chất về góc của đường tròn và cộng đoạn thẳng đơn giản. Dựa vào kết quả của định lý dây cung gãy, đồng thời vẽ thêm hình phụ, Bui Quang Tuan đã đưa bài toán về lối chứng minh mà bản chất là việc sử dụng khéo léo các biểu thức liên quan về diện tích.