Chứng minh 60(Định lý Bottema, xem [4], Proof 86). Các chứng minh này là dùng định lý Bottema.
Hình 3.3. Định lý Bottema
Xét hai hình vuôngACBcBavàBCAcAbchung đỉnhC. Trung điểmMcủa đoạnAbBa có vị trí độc lập so với nếu giữAvàBcố định (xem Hình 3.3).
Hình 3.4. Chứng minh hình học của định lý Bottema
trung bình của hình thangBaUVAbnên
MW = (BaU+AbV)
2 .
DoB[aAC=90◦ nên\BaAU vàCAZd phụ nhau. Suy ra ∆BaAU =∆ACZ (cạnh huyền - góc nhọn). VậyBaU =AZ.
Tương tự ta cóAbV =BZ. Từ ba quan hệ trên, ta được
MW = BaU+AbV 2 = AZ+BZ 2 = AB 2 =AW
không phụ thuộc vào vị trí củaC. Nghĩa là ta chỉ cần tìm trung điểmW củaABsao đó đi một đoạn vuông góc bằng nửa AB hay M là tâm của hình vuông dựng trên cạnhAB.
Từ định lý Bottema, Bui Quang Tuan đã đưa ra một cách chứng minh định lý Pythagoras.
Xét∆ABCvuông ởC. Dựng các tam giác vuông cân∆AA0Cvà BB0C trên hai cạnh
AC và BC (hình 31.3). Theo định lý Bottema, trung điểm M của A0B0 là đỉnh của
∆MABvuông cân (không phụ thuộc vào vị trí điểmC). Ta có ∆ACA0 vuông cân tại
Asuy raACA[0=45◦, tam giác∆BCB0vuông cân tạiBsuy raBCB[0=45◦.
Ta có \A0CB0 =45◦+90◦+45◦ = 180◦ nên C∈A0B0. Áp dụng bổ đề của Bui Quang Tuan (xem [4]).
Hình 3.5. Chứng minh của Bui Quang Tuan Đặt BC=BB0=a, AC=AA0=a, AB=2OM=c. Suy ra S∆BCB0 = b 2 2, S∆ACA0 = a2 2 , S∆AMB =2. c 2. c 2= c2 2 (3.2) Từ (3.1) và (3.2) suy raa2+b2 =c2.
Mặc dù định lý Bottema không quen thuộc nhưng cách dựng hình và chứng minh đều dựa trên các kiến thức cơ sở như đường trung bình hay tam giác bằng nhau. Bui Quang Tuan đã tiếp tục sự đơn giản đó trong cách chứng minh của mình bằng việc sử dụng phương pháp cộng diện tích thông thường nhanh chóng đi đến kết quảa2+b2=c2.