tấm thảm
Định lý các tấm thảm được phát biểu như sau.
Định lý 3.3.1 (Định lý các tấm thảm). Nếu hai tấm thảm diện tích bằng nhau có phần chồng lên nhau thì sau khi loại bỏ phần chồng nhau thì các phần còn lại có diện tích bằng nhau.
Trường hợp hai tấm thảm, ta xét∆BMDvà∆BMC.
Xét∆BMDvà∆BMCchung cạnhBM và đường cao,DA=CB, nên
Hình 3.6. Định lý các tấm thảm và hệ quả
Từ đây ta có
S∆BMD−S∆BMR=S∆BMC−S∆BMR ⇒S∆DMR=S∆BCR.
Ta có một hệ quả quan trọng: Trong một hình thang, kẻ hai đường chéo, ta sẽ được bốn tam giác. Khi đó hai tam giác trong số bốn có cạnh là cạnh bên có diện tích bằng nhau.
Tony Foster đã đưa ra một số cách chứng minh định lý Pythagoras đã sử dụng tính chất này của hình thang.
Chứng minh 61(xem [4], Proof 103). Trong hình này, độ dài các cạnh được kí hiệu bởiA,B,C.
Hình 3.7. Cách chứng minh thứ nhất của Tony Foster
Đầu tiên, ta tìm hình tam giác vuông cân cạnhCvà nhận thấy rằng hai hình tam giác so le với nhau có diện tích bằng nhau do tính chất đã được chứng minh ở trên của hình thang. Vì vậy khi thiết lập tổng của các tam giác trong hình ta có
A2 2 + B2 2 = C2 2
suy raA2+B2=C2.
Chứng minh 62 (xem [4], Proof 103). Cách chứng minh thứ hai của Tony Foster phức tạp hơn.
Hình 3.8. Cách chứng minh thứ hai của Tony Foster
Xét tam giác vuông cân KMO với cạnh bên C. Từ tính chất hai tam giác tạo bởi đường chéo của hình thang suy raS∆NOQ=S∆MPQ. Ta lại có
S∆JLN =S∆KNM vìJK kLM, LN=NM,
S∆OLN =S∆PNM vìOPkLM, LN=NM. Suy raS∆JLO=S∆KPM, và
C2
2 =S∆KOM =S∆KOQ+S∆MPQ+S∆KPM
=S∆KOQ+S∆NOQ+S∆JLO
=S∆KNO+A 2 2 = B2 2 + A2 2 . Suy raC2=A2+B2.
Chứng minh 63 (xem [4], Proof 103). Cách chứng minh thứ ba của Tony Foster cũng là một biến thể của hai cách trên và được minh họa trong Hình 3.9.
Ba cách chứng minh liên tiếp của Tony Foster từ đơn giản đến phức tạp nhưng cùng bắt nguồn từ định lý những chiếc thảm. Đây là một định lý nghe lạ nhưng có phần khá hiển nhiên. Tony đã mở ra một lối tư duy sáng tạo trong việc cắt, di chuyển và ghép hình vẽ để đưa đến đích chứng minh. Với cách Chứng minh 63 là cách có sự tiếp nối của hai cách chứng minh trên, tôi chỉ nêu hình vẽ bởi các phần diện tích bằng nhau đã được tô cùng màu. Dễ dàng nhận thấy: diện tích hình vuông cạnhC bằng tổng diện tích của bốn hình tam giác nhỏ ngoài hình bình hành hay là
Hình 3.9. Cách chứng minh thứ ba của Tony Foster