hình học khác
Mục này dành để trình bày một số cách chứng minh định lý Pythagoras nhờ các định lý hình học khác (chẳng hạn, định lý Heron, Pappus, Kurrah, Stewart, Protemy,. . . )
Trước hết ta phát biểu định lý Heron như sau:
Định lý 3.4.1 (Định lý Heron). Giả sử một tam giác thường có ba cạnh lần lượt là
a,bvàc. Gọis= a+b+c
2 là nửa chu vi. Khi đó diện tíchAsẽ được tính theo công
thức
A=ps(s−a)(s−b)(s−c).
Chứng minh 64(xem [8]). Xét tam giác có độ dài các cạnh lần lượt làa,b,c. Gọi
p= a+b+c
2 là nửa chu vi tam giác, diện tíchA. Khi đó có
A2=s(s−a)(s−b)(s−c).
Xét tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài bằng a,bcạnh huyền bằngc. Khi đó tam giác vuông có diện tíchA= ab
2 . Ta lại có s−a= a+b+c 2 −a= −a+b+c s . Tương tự s−b= a−b+c s , s−c= a+b−c 2 . Ta có 16A2 =16s(s−a)(s−b)(s−c) =2s.2(s−a)2.(S−b)2.(s−c) = (a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c) =2a2b2+2a2c2+2b2c2−(a4+b4+c4). Mặt khác16A2=16 ab 2 2 =4a2b2nên 4a2b2=2a2b2+2a2c2+2b2c2−(a4+b4+c4) ⇒(a4+2a2b2+b4)−2a2c2−2b2c2+c4=0 ⇒(a2+b2)2−2c2(a2+b2) +c4 =0 ⇒ (a2+b2)−c22=0 ⇒a2+b2=c2.
Ta có điều phải chứng minh.
Đây là cách chứng minh áp dụng định lý Heron rất phổ biến để tính diện tích tam giác bởi nó có thể áp dụng với bất cứ tam giác nào có độ dài các cạnh mà không cần sự đặc biệt về góc. Ở đây, tác giả của cách chứng minh này đã đem nó áp dụng trong tam giác vuông, đồng thời làm đơn giản hóa biểu thức đại số bằng cách làm mất căn
của công thức tính diện tích và trong cách này là bình phương diện tích đồng thời nhân lên16 lần ở mỗi vế.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh định lý Pythagoras bằng định lý Pappus. Ta phát biểu định lý Pappus như sau:
Định lý 3.4.2(Định lý Pappus). Từ∆ABC, dựng hai hình bình hành ABDE,ACFG
dựa trên hai cạnh tương ứng làABvàAC (xem Hình 3.11). Kéo dàiDE vàFGcắt nhau tạiH. VẽBM=CN =HAvà song song vớiHA, ta được hình bình hành
SBMNC=SADDE+SACFG.
Hình 3.11. Định lý Pappus
Kéo dài HA cắtBC tại K vàMN tại L. Khi đó LK chia hình bình hành BCNM
thành hai hình bình hànhBKLM vàCKLM. Ta sẽ chứng minh
SBKLM =SABDE.
Kéo dàiMBcắtDE tạiP. Ta cóSABDE=SABPH (do hai hình có cùng đáyAB, độ dài đường cao bằng nhau doDH kAB).
Ta có:SABPH=2SABH. Mặt khác:SABH=SBKM (doHA=BM, độ dài hai đường cao bằng nhau doBM kHA). Suy ra
SABDE =2SABH =2SBKM =SBKLM. (3.3) Chứng minh tương tự ta có
Từ (3.3) và (3.4) suy ra
SABDE+SACFG=SBKLM+SCKLN =SBCNM.
Bây giờ ta sẽ dùng định lý Pappus để chứng minh định lý Pythagoras.
Chứng minh 65(xem [5], trang 58-59). Định lý Pythagoras là trường hợp đặc biệt của định lý Pappus khi góc A vuông và hai hình bình hành ban đầu trở thành hai hình vuông. Lúc đó ta có
AB2+AC2=BC2. Định lý được chứng minh.
Cách chứng minh này các biểu thức liên quan lẫn nhau về mặt diện tích, song có sự khác biệt hơn bởi lẽ nó là trường hợp đặc biệt khi áp dụng định lý Pappus. Định lý Pappus là một định lý đẹp khi mang đến cho người đọc một biểu thức về sự liên quan giữa diện tích của các hình bình hành mà hiếm có định lý nào nhắc đến. Và đặc biệt hơn, để chứng minh định lý Pappus ta lại tiếp tục sử dụng liên tiếp các phép toán diện tích. Có thể gọi cách chứng minh này là thuần túy diện tích.
Định lý 3.4.3 (Định lý Ptolemy). Tứ giác lồi ABCDnội tiếp một đường tròn khi và chỉ khi tổng của tích các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo, nghĩa là
AB.CD+AD.BC=AC.BD.
Chứng minh định lý Ptolemy. Xét hình vẽ dưới đây
Hình 3.12. Định lý Ptolemy
Xét∆ABDvà∆MBCcóABDd =MCB[,ABDd =MBC[ nên ∆ABD∼∆MBC(g.g). Do đó ta có AD BD = MC BC ⇒AD.BC=BD.MC (3.5) Ta lại có BA BD = BM
BC và ABM[ =DBCd nên ∆ABM∼∆DBC. Suy ra AB AM = BD CD ⇒AB.CD=AM.BD. (3.6) Từ (3.5) và (3.6) suy ra AD.BC+AB.CD=BD.MC+AM.BD=AC.BD. Vậy AD.BC+AB.CD=AC.BD. Như vậy định lý Ptolemy đã được chứng minh.
Trường hợp đặc biệt - Định lý Pythagoras.
Chứng minh 66(xem [3]). Xét hình chữ nhậtABCD, rõ ràng đây là một tứ giác nội tiếp. Vì thế ta có
AB.CD+AD.BC=AC.BD.
Do AB=CD, AD =BC, AC = BD nên AB2+BC2 =AC2. Ta hoàn thành chứng minh của định lý Pythagoras.
Định lý Ptolemy thường xuyên được sử dụng trong các bài toán chứng minh liên quan đến hình tròn. Trong [3] đã nêu nhiều cách chứng minh và nhiều ứng dụng của định lý này. Ở đây chỉ nêu một cách chứng minh sử dụng kiến thức hình học đơn giản. Cách chứng minh này giúp các em học sinh từ trung học cơ sở có thể hiểu và mở rộng áp dụng. Định lý Pythagoras chính là trường hợp đặc biệt của định lý Ptoleme khi tứ giác bất kì trở thành hình chữ nhật.
Kurrah đã nghiên cứu một tam giác không vuông và đã mở rộng định lý Pythago- ras như sau.
Định lý 3.4.4(Định lý Kurrah). Cho tam giác thườngAED có ba cạnh lần lượt là
AD,AEvàED. Giả sử gócAED[ như trong hình vẽ. Dựng hai đoạn thẳngEBvàEC
sao choABEd =DCE[=α. Khi đó ta cóAE2+ED2 =AD(AB+CD). Chứng minh định lý Kurrah. Xét hình vẽ sau đây.
Hình 3.13. Định lý Kurrah
Ta có∆ABE∼∆AED(doBAEd chung vàABEd =AED[=α) nên
AE AB =
AD
AE ⇒AE2=AB.AD. (3.7)
Tiếp theo,∆ECD∼∆AED(doEDC[ chung,ECD[ =AED[=α) nên
ED CD = AD ED ⇒ED2 =AD.CD. (3.8) Từ (3.7) và (3.8) suy raAE2+ED2=AB.AD+AD.CD. Vậy AE2+ED2 =AD(AB+CD).
Như vậy ta đã hoàn thành phép chứng minh định lý Kurrah.
Trường hợp đặc biệt - Định lý Pythagoras.
Chứng minh 67(xem [8]). Khiα =90◦ thìEBvàECtrùng nhau nên
BC=0 và AB+CD=AD. Do đóAE2+ED2=AD2.
Định lý Kurrah không quá quen thuộc nhưng chứng minh định lý Kurrah lại đơn giản và dễ hiểu khi chỉ dựa trên việc sử dụng các tam giác đồng dạng. Ở cách chứng minh này, bằng cách làm đặc biệt hóa tam giác được nhắc đến trong định lý Kurrah mà định lý Pythagoras được chứng minh nhanh chóng. Đồng thời thông qua chứng minh định lý Kurrah đưa đến cho người đọc một ý tưởng về áp dụng sáng tạo lấy thêm điểm tạo góc bằng nhau.
Chứng minh 68(Stuart Anderson, 2010, xem [4], Proof 88). Trong hình tròn tâm
O, vẽ ∆ABC và ∆DEF lần lượt vuông ở C và F. Hai tam giác này bằng nhau và
DE ⊥BC. Khi đóDE cắt đôiBCvàABcắt đôiEF.
Hình 3.14. Chứng minh của Stuart Anderson với dựng hình ngôi sao David (ngôi sao sáu cánh của đạo Do Thái)
DoE là điểm chính giữa của cung lớnBCnên theo định lý dây cung gãy,EF cắt
ABthành các đoạn AB+AC 2 và AB−AC 2 .Đồng thời ta có AB+AC 2 . AB−AC 2 = EF 2 . EF 2 = BC 2 . BC 2 . hayAB2−AC2=BC2. Điều này dẫn đếnAB2 =AC2+BC2.
Cách chứng minh trên xuất phát từ ý tưởng ngôi sao sáu cánh của đạo Do Thái nhưng đã có sự biến đổi mà cụ thể ở đây là sự lồng ghép ngược chiều nhau của hai tam giác vuông nội tiếp đường tròn∆ABCvà∆DEF. Sự khéo léo lồng ghép này đã đưa đến gợi ý điểm chính giữa cung và làm cách chứng minh trở nên đơn giản.
Kết luận
1 Những kết quả đã đạt được
Luận văn “Một số chứng minh định lý Pythagoras” đã phân loại và trình bày hơn 60 cách (trong tổng số khoảng 400) cách chứng minh định lý Pythagoras.
Vì nhiều lí do, luận văn còn chưa trình bày được hết số lượng lớn các cách chứng minh định lý Pythagoras. Tuy nhiên, theo chúng tôi, luận văn cũng đã cho một bức tranh tương đối toàn cảnh về các phương pháp chúng minh định lý Pythagoras. Một số chứng minh cổ điển (trước Công nguyên) và một số chứng minh khá mới (trong những năm gần đây, cho tới năm 2016), một số chứng minh của người Việt Nam (tác giả Bui Quang Tuan, tác giả Tran Quang Hung) cũng đã được nước ngoài biết đến và đã được trình bày trong luận văn.
Hi vọng luận văn được các giáo viên, học sinh và các bạn yêu thích toán học quan tâm và sử dụng.
2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo
Sau những kết quả đã đạt được trong luận văn, chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu các cách chứng minh khác cho định lý cổ điển và thú vị này. Chúng tôi hi vọng các vấn đề tiếp sau của luận văn sẽ được nghiên cứu trong thời gian tới.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Phước (2011), “Chứng minh định lý Pythagoras bằng cách ghép hình”,
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻsố 408.
[2] Văn Thị Thu Hà, Nguyễn Hoàng Vũ (2017), “Một số chứng minh định lý Pythagoras”. Gửi in trong Kỷ yếu Hội thảo Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi(chủ biên : GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu).
[3] Lê Quốc Hán (2012),Ẩn sau định lý Ptoleme, Nhà xuất bản Giáo dục.
Tiếng Anh
[4] A. Bogomolny, Pythagore Theorem with its many proofs, from In- teractive Mathematics Miscellany and Puzzles, http://www.cut-the- knot.org/pythagoras/index.shtml.
[5] E. Maor (2007),The Pythagore Theorem: A 4000 year History, Princeton Uni-
versity Press.
[6] J. C. Sparks (2008), The Pythagore Theorem: Crown Jewel of Mathematics,
Published by Authohouse, USA.
[7] E. S. Loomis (1972), The Pythagore Proposition, Second Edition, National
Council of Teachers of Mathematics, USA.