Phương pháp phần tử hữu hạn [32] (Finite Element Method - FEM) là một phương pháp gần đúng để giải một số lớp bài toán biên. Theo phương pháp phần tử hữu hạn, trong cơ học, vật thể được chia thành những phần tử nhỏ có kích thước hữu hạn, liên kết với nhau tại một số hữu hạn các điểm trên biên (gọi là các điểm nút). Các đại lượng cần tìm ở nút sẽ là ẩn số của
26
bài toán (gọi là các ẩn số nút). Tải trọng trên các phần tử cũng được đưa về các nút.
Để giải một bài toán biên trong miền W, bằng phép tam giác phân, ta chia thành một số hữu hạn các miền con Wj (j = 1,..., n) sao cho hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung nhau đỉnh hoặc các cạnh. Mỗi miền con Wj được gọi là một phần tử hữu hạn.
Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gian hữu hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền W và hạn chế của chúng trên từng phần tử hữu hạn Wj là các đa thức. Có thể chọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x),..., ψn(x) có giá trị trong một số hữu hạn phần tử hữu hạn Wj ở gần nhau. Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu được tìm dưới dạng. c1ψ1(x) + ... + cnψn(x) trong đó các ck là các số cần tìm. Thông thường người ta đưa việc tìm các ck về việc giải một phương trình đại số với ma trận thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một số đường song song sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ giải. Có thể lấy cạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc đường cong để xấp xỉ các miền có dạng hình học phức tạp. Phương pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình.