Paul Yiu tụ nềm 2001 v ưng công l tắng biờn tếp cõa tấp chơ n y cho ịn nay.
Trọĩc hịt, cđ thỨ giĩi thiỪu c¡c b i to¡n ìn giặn sau
B i to¡n 3.1. Cho arbelos ABC nhọ trờn hỬnh 3.1 b). Chùng minh diỪn tơch cõa hỬnh arbelos bểng diỪn tơch cõa hỬnh trân ọắng kơnh CD v bểng
2πab.
Chùng minh. Thết vếy, ta ồt S, S1, S2 l diỪn tơch cõa nũa hỬnh trân lẩn lọựt cđ ọắng kơnh AB = 2r, AP = 2a, P B = 2b. Khi đ, diỪn tơch hỬnh "con dao cõa thự ỉng giẩy" bểng
S −(S1 +S2) = 1 2[πr 2 −(πa2 +πb2)] = 1 2(r 2 −a2 −b2). Nhọng AB2 = (AP + P B)2 nờn 4r2 = 4(a + b)2 = 4(a2 + 2ab+ b2) ⇒ r2 = a2 + 2ab+ b2. Vếy S −(S1 + S2) = π.ab = π.1 4QP.P B = 1 4πQP 2
(do QP2 = AP.P B). Tụ tơnh chật oấn thống trung bỬnh nhần ta suy ra
diỪn tơch cõa hỬnh arbelos bểng 2πab.
B i to¡n 3.2. Trong arbelos ABC gơiU = AD∩(AC)v V = AD∩(BC)
Chùng minh. Xem hỬnh 3.1b). Ta cđ c¡c gđc vuưng \AU C = ADB\ =
\
CV B = 1v nờn ba gđc U ,b D,b Vb cõa tù gi¡c CU DV ởu bểng 1v. Suy ra
tù gi¡c CU DV l hỬnh chú nhết.
B i to¡n 3.3. Giặ thiịt nhọ b i to¡n trờn, khi đ ọắng thống U V l tiịp tuyịn cõa hai nũa ọắng trân (AC) v (CB).
Chùng minh. Gơi O l trung iỨm CD. Ta cđ" \
AU C = 900,\U AC = 900 −\U CA.
Lấi cđ U CD\ = 1v − \U CA nờn \AU C = U CD\, vếy ∆U O1C ∼ ∆U CD
v suy ra U O\1C = U OD\. VỬ C, O, D thống h ng nờn CU O\ + U OD\ =
1800 hay U O\1C + \U OC = 1800 m O\1CO = 900 nờn O\1U C = 900 hay
O1U⊥U O. Nhọ thị U V tiịp xóc vĩi nũa ọắng trân (AC) tấi U. Ho n to n tọìng tủ, U V tiịp xóc vĩi nũa ọắng trân (CB) tấi V.
3.2 ọắng trân nịi tiịp trong arbelos
Ta xỗt ănh nghớa ọắng trân nịi tiịp, ph¡t biỨu v chùng minh mịt sỉ tơnh chật Ứ tụ đ cđ c¡c c¡ch dủng ọắng trân nịi tiịp trong mịt Arbelos. 3.2.1 Tơnh chật cõa ọắng trân nịi tiịp trong Arbelos
ănh nghớa 3.1. Cho Arbelos ABC. ọắng trân tiịp xóc ngo i vĩi (BC), (CA) tấi X, Y v tiịp xóc trong vĩi (AB) tấi Z ọực gơi l ọắng trân nịi tiịp cõa arbelos ABC. Ba iỨm X, Y, Z l c¡c tiịp iỨm
MỪnh ở 3.1. ọắng trân nịi tiịp arbelos ABC cđ b¡n kơnh
ρ = ab(a+b)
a2 +ab+b2.
Chùng minh. Gơi ω l tầm v ρ l b¡n kơnh ọắng trân nịi tiịp , ồt
\
ωOO2 = θ. Theo ănh lợ cưsin ¡p dỏng v o ∆O1ωO,∆O2ωO:
O1ω2 = Oω2 + OO12 + 2Oω.OO1cosθ O2ω2 = Oω2 + OO22 + 2Oω.OO2cosθ