3.3 C¡c cồp ọắng trân Archimedes trong arbelos
C¡c cồp ọắng trân cđ tơnh chật giỉng cồp ọắng trân Archimedes ọực ph¡t hiỪn v cưng bỉ trong nhiởu c¡c b i b¡o khoa hơc gẩn ầy. Cồp ọắng trân thù nhật do chơnh Archimedes tỬm ra, ưng chùng minh ọực chóng
cđ b¡n kơnh bểng nhau khưng phỏ thuịc v o vă trơ cõa iỨm C trờn AB.
3.3.1 Cồp ọắng trân Archimedes thù nhật v thù hai
MỪnh ở 3.5. (ănh lợ Archimedes). Hai ọắng trân tiịp xóc vĩi CD, vĩi nũa ọắng trân O(a+b) v mịt trong hai nũa ọắng trân O1(a), O2(b)
cđ b¡n kơnh t= ab
a+b khưng phỏ thuịc v o vă trơ cõa C trờn AB
Chùng minh. Xỗt ọắng trân tiịp xóc vĩi c¡c nũa ọắng trân O(a +
b), O1(a) v CD. Kợ hiỪutl b¡n kơnh ọắng trân. Bểng c¡ch tơnh khoặng
c¡ch tụ tầm ọắng trâ n y tĩi AB theo 2 c¡ch ta cđ phọìng trỬnh
(a+b−t)2 −(a−b−t)2 = (a+t)2 −(a−t)2.
Tụ đ, t = ab
a+b.
Do tơnh ỉi xùng cõa biỨu thùc ỉi vĩi a, b ta suy ra ọắng trân thù
HỬnh 3.6: Cồp ọắng trân Archimedes thù nhật v thù hai
Hai ọắng trân nđi trờn l cồp ọắng trân Archimedes thù nhật. Phỗp dủng ọắng trân Archimedes ọực thủc hiỪn theo c¡c bọĩc sau.
- Dủng Q1, Q2 l trung iỨm nũa ọắng trân (AB) v CB
- Dủng K = O1Q2 ∩O2Q1, thỬ K ∈ CD v KC = ab
a+b. Chó ợ rểng
KC = ab
a+b = t - b¡n kơnh cõa c¡c ọắng trân Archimedes
- Dủng M1, M2 ∈ AB sao cho CM1 = CM2 = KC
- Dủng W1 = O1(O1M2)∩M1u vĩi M1u⊥AB. đ l tầm Archimedes thù nhật
- Dủng W10 = O2(O21M1)∩M2v vĩi M1v⊥AB. đ l tầm Archimedes thù hai.
Trờn hỬnh 3.6 ta kợ hiỪu (W1),(W10). Sau Archimedes ngọắi ta tỬm ọực
kh¡ nhiởu c¡c cồp ọắng trân cđ b¡n kơnh ab
a+ b v cđ tơnh chật tiịp xóc giỉng nhọ thị. Chóng tưi sỠ lẩn lọựt trỬnh b y mịt sỉ cồp, cđ cặ nhúng cồp ọực ph¡t hiỪn trong nhúng nềm gẩn ầy.
Cồp ọắng trân (W2),(W20) lẩn lọựt l hỬnh chiịu cõa (W1),(W10) lờn
cđ tiịp tuyịn chung i qua B, cân c¡c cồp (W10),(W2) cđ tiịp tuyịn chung
i qua A, hỬnh 3.6. Cồp n y ọực ph¡t hiỪn bđi C.W. Dodge, cưng bỉ
trong tấp chơ Math. Mag.,72(1999).
HỬnh 3.7: ănh lợ Bankoff thù hai
MỪnh ở 3.6. (ănh lợ Bankoff thù hai). Giặ sũ ọắng trân nịi tiịp cõa
arbelos [ABC] tiịp xóc hai nũa ọắng trân (AC) v (CB) tọìng ùng tấi
X,Y. Khi đ ọắng trân i qua C, X, Y công cđ b¡n kơnh bểng t = ab
a+b
Chùng minh. Rê r ng ọắng trân (CXY) l ọắng trân nịi tiịp cõa tam
gi¡c ωO1O2 v ωX = ωY = t, O1X = O1C = a, O2Y = O2C = b Nũa
chu vi cõa tam gi¡c CO1O2 bểng
a+b+t = (a+b) + ab(a+b)
a2 +ab+b2 = (a+ b)
2
a2 +ab+b2.
B¡n kơnh ọắng trân nịi tiịp tam gi¡c ọực tơnh theo cưng thùc r = S
p r = r abt a+b+t = s ab.ab(a+b) (a+b)3 = ab a+b
đ chơnh l b¡n kơnh t cõa ọắng trân Archimedes.
ọắng trân CXY đ cđ tờn gơi l ọắng trân Bankoff, hỬnh 3.7. Kịt
quặ n y chƯ ra mỉi quan hỪ giúa ọắng trân nịi tiịp arbelos v ọắng trân Bankoff (công l ọắng trân Archimedes). ìng thắi ọắng trân Bankoff lấi l ọắng trân nịi tieps cõa tam gi¡c ωO1O2.
3.3.2 Cồp ọắng trân Archimedes thù ba v thù tọ
HỬnh 3.8: Cồp ọắng trân Archimedes thù ba v thù tọ
Kợ hiỪu thờm I0 l trung iỨm cung AB. ọắng vuưng gđc vĩi AB, i
qua O, C lẩn lọựt cễt Q1Q2 đ I, J. Khi đ ta cđ CJ = 2t v vỬ O v C ỉi
xùng nhau qua trung iỨm cõa O1O2 nờn theo tơnh chật ọắng trung bỬnh
trong hỬnh thang ta cđ: OI = (a+ b)−2t. Kỗo theo II0 = 2t lọu ợ rểng
OQ1 = OQ2 v vỬ I v J lấi ỉi xùng nhau qua trung iỨm cõa Q1Q2
nờn cđ J J0 = II0 = 2t. Tụ đ suy ra: hai ọắng trân tầm (W3),(W30)
mĩi ọắng trân i qua I, J v tiịp xóc vĩi nũa ọắng trân lĩn nhật cõa
arbelos ởu cđ b¡n kơnh bểng t. đ l cồp ọắng trân Archimedes thù ba
cõa arbelos [ABC], xem hỬnh 3.8a. Cồp n y ọực ph¡t hiỪn bđi Thomas
Schoch, Germany. Nềm 1970 T.Schoch ằ lọu ợ rểng cđ rật nhiởu ọắng trân Archimedes trong hỬnh Arbelos.
Giặ sũ t = ab
a+b nhọ trờn. Nịu U V l tiịp tuyịn chung ngo i cõa hai
nũa ọắng trân nhô trong hỬnh arbelos v tiịp xóc vĩi dầy cung HK cõa
nũa ọắng trân lĩn. Gơi W4 = O1W ∩ O2U. VỬ O1U = a, O2V = b v
O1C
CO2 =
a
b nờn W4 = ab
a+b = t. iởu đ nghớa l ọắng trân W4(t) i
qua C v tiịp xóc vĩi HK đ iỨm N. Gơi M l trung iỨm cõa HK.
VỬ O v C ỉi xùng nhau qua trung iỨm cõa O1O2 nờn OM + CN =
O1U +O2V = a+ b. Tụ đ suy ra (a +b)−OM = CN = 2t. Nghớa l
ọắng trân tiịp xóc vĩi dầy HK v cung HK cđ b¡n kơnh t. ọắng trân
tầm W40 n y tiịp xóc vĩi nũa ọắng trân (AB) đ iỨm Q. Cồp ọắng trân tầm W4(t),(W40(t) gơi l cồp ọắng trân Archimedes thù tọ, hỬnh 3.8b) .
3.3.3 C¡c cồp ọắng trân Archimedes thù nềm v thù s¡u
HỬnh 3.9: Cồp ọắng trân Archimedes thù nềm v thù s¡u
Nềm 2005, Frank Power ằ ph¡t hiỪn ra 2 cồp ọắng trân Archimedes
(W5),(W50) v (W6),(W60), xem [3].
MỪnh ở 3.7. ọắng trân tiịp xóc trong vĩi nũa ọắng trân (AB) v tiịp
xóc vĩi OQ1 đ Q1 (Hoồc tiịp xóc vĩi OQ2 đ Q2 ) cđ b¡n kơnh t= ab
a+ b. Chùng minh. Cđ hai ọắng trân tiịp xóc vĩi OQ1 đ Q1, trờn hỬnh 3.9 ta kợ hiỪu tầm l W5 v W50. Xỗt ọắng trân tầm W5, b¡n kơnh r. Ta cđ c¡c
tam gi¡c vuưng OQQ1 v OW5Q1 nờn:
OQ21 = O1Q21 + OO12 = a2 +b2, thay v o ống thùc sau
OW52 = Q1W52 +OQ21 ⇐⇒ (a−b−r)2 = (a2 + b2) +r2
Tụ đ, r = ab
a+b. Tơnh to¡n nhọ thị thu ọực (W50) công cđ b¡n kơnh t. Ho n to n tọìng tủ, ta cđ thờm cồp (W6),(W60).
Cồp ọắng trân (W5),(W50) v (W6),(W60) cân ọực gơi l cồp ọắng trân kiỨu Pewer. Ta sỠ giĩi thiỪu thờm 2 cồp nhọ vếy.
3.3.4 C¡c cồp ọắng trân Archimedes thù bặy v thù t¡m
Gơi M l trung iỨm cõa CD, kợ hiỪu 2 iỨm xuyờn tầm ỉi cõa
ọắng kơnh ọắng trân CD, vuưng gđc vĩi OM v U1, U2. Chó ợ rểng
OC2 = (a−b)2 v vỬ CD = 2√
ab nờn
OD2 = a2 −ab+b2 v OU12 = a2 +b2.
HỬnh 3.10: Cồp ọắng trân thù bặy, thù t¡m
Bầy giắ xỗt cồp ọắng trân bểng nhau, mĩi ọắng trân tiịp xócO(a+b)
v tiịp xóc vĩi nhau tấi U1 v U2. B¡n kơnhr cõa c¡c ọắng trân n y thôa mằn (a+b−r)2 = OU12 +r2. Thay c¡c ống thù trờn v o phọìng trỬnh
thu ọực: r = ab
a+b. Vếy ta cđ cồp ọắng trân Archimedes thù bặy kiỨu
Power (W7),(W70). Bểng c¡ch lậy ỉi xóng qua OM ta cđ cồp ọắng trân Archimedes thù t¡m kiỨu Power (W8),(W80), hỬnh 3.10. Hai cồp n y ọực ph¡t hiỪn bđi Floor van Lamoen (St. Wilibrordcollege, Fruitlaan 3, 4462 EP Goes, The Netherlands).
Nềm 2014, Dao Thanh Oai v Tran Quang Hung công giĩi thiỪu 4 cồp ọắng trân Archimedes trong Forum Geometricorum: cồp (W9),(W90) v cồp (W10),(W100 ) trờn hỬnh 3.11 cõa Dao Thanh Oai; cồp (W11),(W110 ) v cồp (W12),(W120 ) trờn hỬnh 3.12 cõa Tran Quang Hung.
B i to¡n 3.4. Chùng minh rểng diỪn tơch ∆IO1O2 bểng ab(a+ b)2
a2 +ab+b2 v I c¡ch AB mịt khoặng bểng 2ρ.
B i to¡n 3.5. Chùng minh rểng c¡c tiịp iỨm cõa I(ρ) vĩi c¡c nũa ọắng trân cđ thỨ x¡c ănh ểng c¡ch: X,Z l giao cõa Q1(Q1A) vĩi hai nũa
O1(a), O(a+b), cân X, Z l giao cõa Q2(Q2B) vĩi hai nũa O2(b), O(a+b).
HỬnh 3.11: Cồp ọắng trân thù chơn v cồp thù mọắi
B i to¡n 3.6. (T. O. Dao) Trờn hỬnh 3.11, giặ sũ A'. B' l c¡c hỬnh chiịu vuưng gđc cõa D trờn tiịp tuyịn tấi K v H cõa ọắng trân ọắng kơnh AB, tọìng ùng. C¡c ọắng trân ọắng kơnh DA' v DB' l c¡c ọắng trân Archimedes.
B i to¡n 3.7. (T. O. Dao) Trờn hỬnh 3.11, giặ sũ A1A2 v B1B2 l
tiịp tuyịn cõa hai ọắng trân (AC), (CB) vĩi A1, B1 ∈ AB v A1A2 =
a, B1B2 = b. Gơi W10 = CQ1 ∩ A1B2, W100 = CQ2 ∩ B1A2. Khi đ c¡c ọắng trân tầm W10, W100 i qua C l c¡c ọắng trân Archimedes.
B i to¡n 3.8. (Q. H. Tran) Trờn hỬnh 3.12, c¡c ọắng thống vuưng gđc
vĩi AB tấi O1, O2 cễt (AB) tọìng ùng tấi E, F. Kợ hiỪu W11 = AF ∩
(AC), W110 = BE ∩ (CB) thỬ c¡c ọắng trân tầm W11, W110 tiịp xóc vìi CD l c¡c ọắng trân Archimedes.
B i to¡n 3.9. (Q. H. Tran) Trờn hỬnh 3.12, giặ sũ W12 l giao cõa AD
vĩi nũa ọắng trân (AO2) v W120 l giao cõa BD vĩi nũa ọắng trân
(BO1). C¡c ọắng trân tầm W12 v W120 tiịp xóc vĩi CD l c¡c ọắng trân Archimedes.
HỬnh 3.12: Cồp thù mọắi mịt v cồp thù mọắi hai
B i to¡n 3.10. (ọắng trân cõa Schoch) ọắng trân C nịi tiịp trong tam gi¡c cong bă giĩi hấn bđi nũa ọắng trân O(a+b) v c¡c ọắng trân A(2a), B(2b). Chùng minh rểng C l ọắng trân Archimedes.
Kịt luến cõa luến vền Luến vền ằ trỬnh b y ọực c¡c kịt quặ sau
1. TrỬnh b y hai b i to¡n nắi tiịng vĩi họĩng chùng minh mĩi: B i to¡n Thebault v b i to¡n Feuerbach xuật ph¡t tụ b i to¡n cì bặn v tắng qu¡t hđa.
2. TrỬnh b y lắi giặi b i to¡n Malfatti vở dủng 3 ọắng trân v trỬnh b y tọắng minh vở nghiỪm cõa b i to¡n Malfatti gỉc còng ba b i to¡n kiỨu Malfatti (cho tam gi¡c ởu, hỬnh vuưng v ọắng trân).
3. Ph¡t biỨu v trỬnh b y lắi giặi mịt sỉ b i to¡n vở ọắng trân tiịp xóc trong hỬnh hơc Arbelos. ọa ra c¡c kịt quặ vở c¡ch dủng ọắng trân
nịi tiịp Arbelos ABC v giĩi thiỪu 12 cồp ọắng trân Archimedes
cõa Arbelos. C¡c kịt quặ n y mĩi ọực cưng bỉ trong c¡c b i b¡o gẩn ầy: [2], [4], [5], [7].
Chóng tưi nhến thậy c¡c họĩng nghiờn cùu tiịp theo:
- TỬm thờm vở c¡c b i to¡n ùng dỏng kịt quặ cõa c¡c ănh lợ trong luến vền. TỬm hiỨu sầu thờm vở hỬnh hơc Arbelos.
- Sũ dỏng c¡c phỗp biịn hỬnh thơch hựp hoồc phọìng ph¡p tơa ị Ứ nghiờn cùu sầu vở c¡c b i to¡n ang xỗt.
Mồc dò ằ rật cỉ gễng nhọng luến vền khưng tr¡nh khôi nhúng hấn chị, khiịm khuyịt. T¡c giặ rật mong sủ gđp ợ, bắ sung cõa c¡c thẩy cư gi¡o v cõa c¡c ìng nghiỪp nhểm l m cho kịt quặ nghiờn cùu ho n chƯnh v cđ ơch hìn. Xin chần th nh cặm ìn.
T i liỪu tham khặo Tiịng ViỪt
[1] NguyỰn B¡ ang, (2016), Nhúng ănh lợ trong hỬnh hơc phống v c¡c b i to¡n ¡p dỏng, NXB Gi¡o dỏc ViỪt nam.
Tiịng Anh
[2] Kostandinov E., (2013) Malfatti's Problems, Meeting in Mathematics 2nd edition, Bulgarian Academy of Sciences.
[3] Power F. (2005), Some More Arechimedean Circles in the arbelos, Vol- ume 5, 133-134, Forum Geometricorum.
[4] Schellbach, (1998), Malfatti's Problem,1998. Volume 45, Crelle's Jour- nal.
[5] Woo P. Y., (2001), Simple Constructions of the Incircle of an arbelos, Volume 1,133-136, Forum Geometricorum.
[6] Zalgaller V.A, Los G.A, (1994), The solution of Malfatti's Problem, Journal of Mathematical Sciences Vol. 72, N0 4 (p3163-3177).
Tiịng Nga
[7] ỳđĩòăựĩđ Đ. (1995), ÍăựăợùỉơựỮ ĩắđóửĩựòỉ: Ĩò Òơâĩ ôĩ Ôơĩ- ơđâắă, Íđăắò, Íĩìơđ 11-1975.