Bầy giắ xỗt cồp ọắng trân bểng nhau, mĩi ọắng trân tiịp xócO(a+b)
v tiịp xóc vĩi nhau tấi U1 v U2. B¡n kơnhr cõa c¡c ọắng trân n y thôa mằn (a+b−r)2 = OU12 +r2. Thay c¡c ống thù trờn v o phọìng trỬnh
thu ọực: r = ab
a+b. Vếy ta cđ cồp ọắng trân Archimedes thù bặy kiỨu
Power (W7),(W70). Bểng c¡ch lậy ỉi xóng qua OM ta cđ cồp ọắng trân Archimedes thù t¡m kiỨu Power (W8),(W80), hỬnh 3.10. Hai cồp n y ọực ph¡t hiỪn bđi Floor van Lamoen (St. Wilibrordcollege, Fruitlaan 3, 4462 EP Goes, The Netherlands).
Nềm 2014, Dao Thanh Oai v Tran Quang Hung công giĩi thiỪu 4 cồp ọắng trân Archimedes trong Forum Geometricorum: cồp (W9),(W90) v cồp (W10),(W100 ) trờn hỬnh 3.11 cõa Dao Thanh Oai; cồp (W11),(W110 ) v cồp (W12),(W120 ) trờn hỬnh 3.12 cõa Tran Quang Hung.
B i to¡n 3.4. Chùng minh rểng diỪn tơch ∆IO1O2 bểng ab(a+ b)2
a2 +ab+b2 v I c¡ch AB mịt khoặng bểng 2ρ.
B i to¡n 3.5. Chùng minh rểng c¡c tiịp iỨm cõa I(ρ) vĩi c¡c nũa ọắng trân cđ thỨ x¡c ănh ểng c¡ch: X,Z l giao cõa Q1(Q1A) vĩi hai nũa
O1(a), O(a+b), cân X, Z l giao cõa Q2(Q2B) vĩi hai nũa O2(b), O(a+b).
HỬnh 3.11: Cồp ọắng trân thù chơn v cồp thù mọắi
B i to¡n 3.6. (T. O. Dao) Trờn hỬnh 3.11, giặ sũ A'. B' l c¡c hỬnh chiịu vuưng gđc cõa D trờn tiịp tuyịn tấi K v H cõa ọắng trân ọắng kơnh AB, tọìng ùng. C¡c ọắng trân ọắng kơnh DA' v DB' l c¡c ọắng trân Archimedes.
B i to¡n 3.7. (T. O. Dao) Trờn hỬnh 3.11, giặ sũ A1A2 v B1B2 l
tiịp tuyịn cõa hai ọắng trân (AC), (CB) vĩi A1, B1 ∈ AB v A1A2 =
a, B1B2 = b. Gơi W10 = CQ1 ∩ A1B2, W100 = CQ2 ∩ B1A2. Khi đ c¡c ọắng trân tầm W10, W100 i qua C l c¡c ọắng trân Archimedes.
B i to¡n 3.8. (Q. H. Tran) Trờn hỬnh 3.12, c¡c ọắng thống vuưng gđc
vĩi AB tấi O1, O2 cễt (AB) tọìng ùng tấi E, F. Kợ hiỪu W11 = AF ∩
(AC), W110 = BE ∩ (CB) thỬ c¡c ọắng trân tầm W11, W110 tiịp xóc vìi CD l c¡c ọắng trân Archimedes.
B i to¡n 3.9. (Q. H. Tran) Trờn hỬnh 3.12, giặ sũ W12 l giao cõa AD
vĩi nũa ọắng trân (AO2) v W120 l giao cõa BD vĩi nũa ọắng trân
(BO1). C¡c ọắng trân tầm W12 v W120 tiịp xóc vĩi CD l c¡c ọắng trân Archimedes.
HỬnh 3.12: Cồp thù mọắi mịt v cồp thù mọắi hai
B i to¡n 3.10. (ọắng trân cõa Schoch) ọắng trân C nịi tiịp trong tam gi¡c cong bă giĩi hấn bđi nũa ọắng trân O(a+b) v c¡c ọắng trân A(2a), B(2b). Chùng minh rểng C l ọắng trân Archimedes.
Kịt luến cõa luến vền Luến vền ằ trỬnh b y ọực c¡c kịt quặ sau
1. TrỬnh b y hai b i to¡n nắi tiịng vĩi họĩng chùng minh mĩi: B i to¡n Thebault v b i to¡n Feuerbach xuật ph¡t tụ b i to¡n cì bặn v tắng qu¡t hđa.
2. TrỬnh b y lắi giặi b i to¡n Malfatti vở dủng 3 ọắng trân v trỬnh b y tọắng minh vở nghiỪm cõa b i to¡n Malfatti gỉc còng ba b i to¡n kiỨu Malfatti (cho tam gi¡c ởu, hỬnh vuưng v ọắng trân).
3. Ph¡t biỨu v trỬnh b y lắi giặi mịt sỉ b i to¡n vở ọắng trân tiịp xóc trong hỬnh hơc Arbelos. ọa ra c¡c kịt quặ vở c¡ch dủng ọắng trân
nịi tiịp Arbelos ABC v giĩi thiỪu 12 cồp ọắng trân Archimedes
cõa Arbelos. C¡c kịt quặ n y mĩi ọực cưng bỉ trong c¡c b i b¡o gẩn ầy: [2], [4], [5], [7].
Chóng tưi nhến thậy c¡c họĩng nghiờn cùu tiịp theo:
- TỬm thờm vở c¡c b i to¡n ùng dỏng kịt quặ cõa c¡c ănh lợ trong luến vền. TỬm hiỨu sầu thờm vở hỬnh hơc Arbelos.
- Sũ dỏng c¡c phỗp biịn hỬnh thơch hựp hoồc phọìng ph¡p tơa ị Ứ nghiờn cùu sầu vở c¡c b i to¡n ang xỗt.
Mồc dò ằ rật cỉ gễng nhọng luến vền khưng tr¡nh khôi nhúng hấn chị, khiịm khuyịt. T¡c giặ rật mong sủ gđp ợ, bắ sung cõa c¡c thẩy cư gi¡o v cõa c¡c ìng nghiỪp nhểm l m cho kịt quặ nghiờn cùu ho n chƯnh v cđ ơch hìn. Xin chần th nh cặm ìn.
T i liỪu tham khặo Tiịng ViỪt
[1] NguyỰn B¡ ang, (2016), Nhúng ănh lợ trong hỬnh hơc phống v c¡c b i to¡n ¡p dỏng, NXB Gi¡o dỏc ViỪt nam.
Tiịng Anh
[2] Kostandinov E., (2013) Malfatti's Problems, Meeting in Mathematics 2nd edition, Bulgarian Academy of Sciences.
[3] Power F. (2005), Some More Arechimedean Circles in the arbelos, Vol- ume 5, 133-134, Forum Geometricorum.
[4] Schellbach, (1998), Malfatti's Problem,1998. Volume 45, Crelle's Jour- nal.
[5] Woo P. Y., (2001), Simple Constructions of the Incircle of an arbelos, Volume 1,133-136, Forum Geometricorum.
[6] Zalgaller V.A, Los G.A, (1994), The solution of Malfatti's Problem, Journal of Mathematical Sciences Vol. 72, N0 4 (p3163-3177).
Tiịng Nga
[7] ỳđĩòăựĩđ Đ. (1995), ÍăựăợùỉơựỮ ĩắđóửĩựòỉ: Ĩò Òơâĩ ôĩ Ôơĩ- ơđâắă, Íđăắò, Íĩìơđ 11-1975.