Bằng cách chứng minh tương tự Bài toán 2.2.8, ta được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A0B0C0 nằm trên đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. Do đó từ kết quả này và tính chất ba đường đối trung đồng quy tại điểm Lemoine, ta thu được bài toán sau:
Bài toán 2.3.1 ([1]). Cho tam giác A1A2A3 có trọng tâm G. Gọi P1, P2, P3
lần lượt là trung điểm của GA1, GA2, GA3. Gọi A0i, Bi0, Ci0 lần lượt là điểm đối xứng của Pi qua các đường thẳng Ai+1Ai+2. Gọi Oi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácA0iBi0Ci0. Chứng minh rằng các đường thẳngA1O1, A2O2 vàA3O3
Chứng minh. Ta cóP1 nằm trên trung tuyến kẻ tử đỉnh A1. A01, B10, C10 là điểm đối xứng của P1 qua các cạnh A2A3, A3A1, A1A2. Theo kết quả của Bài toán 2.2.8, tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác A01B10C10 nằm trên đường đối trung xuất phát từ đỉnh A1. Hay AO1 là đường đối trung của tam giác A1A2A3. Tương tự, tâm O2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác A02B20C20 nằm trên đường đối trung xuất phát từ đỉnh A2, tâm O3 của đường tròn ngoại tiếp tam giác A03B30C30 nằm trên đường đối trung xuất phát từ đỉnh A3. Nên A2O2, A3O3 cũng là đường đối trung của A1A2A3. Suy ra A1O1, A2O2 vàA3O3 đồng quy.
Bài toán 2.3.2 ([1]). Cho tam giác A1A2A3 có trọng tâm G. Gọi P1, P2, P3
lần lượt là là các điểm đối xứng của A1, A2, A3 quaG. GọiA0i, Bi0, Ci0 lần lượt là điểm đối xứng củaPi qua các đường thẳng Ai+1Ai+2.Gọi Oi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácA0iBi0Ci0. Chứng minh rằng các đường thẳngA1O1, A2O2 và A3O3 đồng quy.
Chứng minh. Hoàn toàn tương tự Bài toán 2.3.1, ta có các điểmP1, P2, P3 nằm trên các đường trung tuyến của tam giác A1A2A3. Tâm Oi của các đường tròn ngoại tiếp tam giácA0iBi0Ci0 nằm trên các đường đối trung của tam giácA1A2A3
kẻ từ đỉnh Ai. Do đó, các đường thẳng A1O1, A2O2 và A3O3 đồng quy.
Bài toán 2.3.3 ([1]). Cho tam giác ABC (AB 6= AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại đường thẳng AC tạiE và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại đường thẳng AB tại F. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE, DF.Chứng minh rằngOI ⊥ ADkhi và chỉ khi AD, BN, CM đồng quy tại một điểm.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.4. Cho tam giác ABC (AB 6= AC) nội tiếp trong đường tròn tâm
O và ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D. Khi đó OI vuông góc với AD khi và chỉ khi AD là đường đối trung của tam giác
Hình 2.15: AD, BN, CM đồng quy
Bổ đề 2.3.5. BN và CM là các đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh. GọiK là trung điểm của AC suy raBK là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC. Do tứ giác AF DC nội tiếp nên tam giác BDF đồng dạng tam giác BAC, suy ra ta có
DB DF = AB AC ⇔ DB 2DN = AB 2AK ⇔ DB DN = AB AK.
Suy ra tam giácBDN đồng dạng với tam giácBAK. Do đó,∠DBN =∠ABK, hay ∠CBN =∠ABK. Vậy BN là đường đối trung của tam giác ABC.Tương tự ta cũng có CM là đường đối trung của tam giác ABC.
Trở lại bài toán, theo bổ đề thứ hai trên BN, CM là hai đường đối trung của tam giác nênAD, BN, CM đồng quy khi và chỉ khiADlà đường đối trung của tam giác ABC hay OI vuông góc với AD (theo bổ đề đầu tiên). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.