đường tròn
Bài toán 2.5.1 (Đường tròn Lemoine thứ nhất [8]). Cho K là điểm đối trung của tam giác ABC và x, y, z lần lượt là các đường đối song vẽ qua K với các cạnh BC, CA và AB. Chứng minh rằng sáu điểm xác định bởi x, y, z trên các cạnh của tam giác ABC đều nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn Lemoine thứ nhất của tam giác ABC.
Hình 2.18: Đường tròn Lemoine thứ nhất
Chứng minh. Gọi Xb, Xc tương ứng là giao điểm của x với CA, AB. Tương tự gọiYc, Ya tương ứng là giao điểm củay vớiAB, BC vàZa, Zb tương ứng là giao điểm của z với BC, CA. Theo Hệ quả 1.2.7, ta biết rằng KXb = KXc, KYc = KYa, KZa = KZb. Ngoài ra, vì y, z là đường đối song, ta có ∠KZaYa = ∠KYaZa = ∠A, do đó KYaZa là tam giác cân, tức KYa = KZa. Cho nên KYa = KZa = KYc = KZb. Tương tự, ta có các tam giác KXbZb, KYcXc là tam giác cân, nên ta cũng có KXb = KZb và KYc =KXc. Do đó, ta có
KZa =KYa =KXb =KZb =KYc = KXc.
Suy ra sáu điểm Xb, Xc, Yc, Ya, Za, Zb nằm trên đường tròn tâm K. Điều phải chứng minh.
Bài toán 2.5.2 (Đường tròn Lemoine thứ hai [8]). Cho K là điểm đối trung của tam giác ABC và x, y, z lần lượt là các đường vẽ qua K song song với các cạnh BC, CA và AB. Chứng minh rằng sáu điểm xác định bởi x, y, z trên các cạnh của tam giác ABC đều nằm trên một đường tròn.
Hình 2.19: Đường tròn Lemoine thứ hai
Chứng minh. Gọi x giao với CA, AB lần lượt Xb, Xc, y giao với BC, BA lần lượt tạiYc, Ya, và z giao với CA, CB lần lượt tại Za, Zb. Ta có AYcKZb là hình bình hành và AK chia đôiYcZb. Do AK là đường đối trung của tam giácABC nên theo Hệ quả 1.2.7 đường thẳng đi quả YcZb phải là đường đối song của BC. Do đó ∠AZbYc = ∠B = ∠YcXcXb. Suy ra, ta có Yc, Xc, Xb, Zb cùng nằm trên một đường tròn, gọi là đường tròn Γ1. Tương tự, các điểm Yc, Xc, Za, Ya nằm trên đường tròn Γ2, và các điểm Za, Ya, Xb, Xb nằm trên đường tròn Γ3. Tuy nhiên, ba đường tròn này trùng nhau, vì nếu ngược lại, các trục của từng cặp đường tròn sẽ không đồng quy, điều này là không thể. Do đóΓ1 = Γ2 = Γ3
và suy ra sáu điểm Xb, Xc, Yc, Ya, Za, Zb cùng thuộc một đường tròn.
Bài toán 2.5.3. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA và AB tại D, E, F theo thứ tự đó. Các đường thẳng AD và EF cắt nhau tại M. Lấy N ∈ DF và P ∈ DE sao cho M N k DE và M P k DF. Chứng minh rằng tứ giác EF N P nội tiếp được trong một đường tròn.
Chứng minh. DoAE, AF tiếp xúc với(I)nênDM là đường đối trung của tam giác DEF. Do đó, ta có
M E M F =
DE2
Hình 2.20: Tứ giácEF N P nội tiếpDo M N DP là hình bình hành, nên ta có Do M N DP là hình bình hành, nên ta có DN DF = M P DF = M E EF ⇒DN ·DF = M E EF ·DF2. (2.24) Tương tự, ta có DP ·DE = M F EF ·DE2. (2.25)
Từ (2.23), (2.24) và (2.25) suy ra DN ·DF = DP ·DE hay là tứ giác EF N P nội tiếp.
Bài toán 2.5.4 ([2]). Chứng minh rằng, nếu qua điểm Lemoine I của một tam giác ABC, ta lần lượt kẻ những đường thẳng M Q đối song với AC, N P đối song với AB, DE đối song với BC thì sáu điểmM, N, E, Q, P, D cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh. Điểm Lemoine là giao điểm các đường đối trung. Theo Bài toán 2.1.10, các đường đối song kẻ qua điểm Lemoine thì bằng nhau. Theo Bài toán 2.1.8, các đường đối song kẻ quả điểm Lemoine thì bị điểm Lemoine chia đôi. Do đó sáu điểm M, N, E, Q, P, D cách đều điểm Lemoine nên cùng nằm trên một đường tròn có tâm là điểm Lemoine.