Giải. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (ABC)và tiếp tuyến tại D của đường tròn (ADC) theo thứ tự cắt đường thẳng AC tại E, E0. Khi đó, theo tính chất của đường đối trung và đường đối trung ngoài từ cùng một đỉnh, ta có (ACOE) = −1 và (ACOE0) = −1. Suy ra E0 = E, do đó tứ giác ABCD nội tiếp và hơn nữa ABCD là tứ giác điều hòa. Vậy nếu tiếp tuyến tại A của ABCD cắt BD tại F thì (BDOF) = −1. Suy ra OA là đường đối trung của
tam giác BAD.
Bài toán 2.6.7. Cho tam giác ABC cân tại C. Lấy điểm D ở trong tam giác sao cho ∠DAB = ∠DBC. Gọi E là trung điểm AB. Chứng minh rằng ∠ADE +∠BDC =π.
Chứng minh. Gọi ω là đường tròn tâm O, tiếp xúc với AC tại A và tiếp xúc với BC tại B (do tam giác ABC cân tại C nên tồn tại duy nhất đường tròn này). Khi đó
= π 2 +
C
2 (do CE là đường cao và đường phân giác tam giác ABC) = 1
2∠AOB.
Suy ra D nằm trên đường tròn (O). Từ đó, do CA, CB tiếp xúc với (O) tại A, B nên CD là đường đối trung của tam giác DAB. Gọi G là giao điểm của CD với AB.Khi đó, do CD là đường đối trung và DE là trung tuyến của tam giác DAB nên ∠ADE = ∠GDB hay ∠ADE +∠DBC = π.
Bài toán 2.6.8. Cho X, Y, Z là ba điểm trên các cạnh BC, CA và AB theo thứ tự này. Chứng minh rằng đại lượng
XY2+Y Z2+ZX2
đặt cực tiểu khi XY Z là tam giác hình chiếu của điểm Lemoine.
Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra tồn tại duy nhất tập các điểm X0, Y0, Z0 trên các cạnh của tam giác sao cho
X0Y02+Y0Z02+Z0X02
đạt cực tiểu. Đặt x= BX, y = CY, z = AZ.
Bây giờ xét hàm P(x, y, z) có giá trị bằng đại lượng XY2 +Y Z2 +ZX2.
Theo định lý cosin ta có
+x2 + (c−z)2 −2x(c−z) cos∠ABC +y2 + (a−x)2 −2y(a−x) cos∠ACB
= 2(x2 +y2 +z2) + (a2+b2+c2)−2by−2cz−2ax
−2bzcos∠BAC −2cxcos∠ABC −2aycos∠ACB
+ 2yzcos∠BAC + 2yxcos∠ABC + 2xzcos∠ACB = 2(x2 +y2 +z2) + (a2+b2+c2)
+ 2(xycos∠ABC +yzcos∠BAC +zxcos∠ACB)
−2b(y+zcos∠BAC)−2c(z+xcos∠ABC)−2a(x+ycos∠ACB).
Do P(x, y, z) biểu diễn một hình cầu hoặc một ellipsoid nên tồn tại duy nhất nghiệm x0, y0, z0 sao cho P(x, y, z)đạt cực tiểu. Từ đó suy ra tồn tại duy nhất các điểm X0, Y0, Z0 trên các cạnh của tam giác ABC.
Bây giờ gọi X0Y0Z0 là tam giác mà cực tiểu hóa X0Y02+Y0Z02 +Z0X02.
Ký hiệu G0 là trọng tâm của X0Y0Z0 vàX0X00 là trung tuyến từ X0. Theo tính chất của trung tuyến ta có
X0Z02+X0Y02 = 2X0X002+ Z0Y
2 0
Do đó
X0Y02+Y0Z02+Z0X02 = 2X0X002 + 3 2Z0Y
2 0.
Giá trị trên đạt cực tiểu khi X0X00 vuông góc với Y0Z0. Tương tự, ta cần hai đường trung tuyến khác của X0Y0Z0 vuông góc với hai cạnh còn lại của tam giác. Do đó trọng tâm G0 củaX0Y0Z0 nhậnX0Y0Z0 là tam giác hình chiếu của nó. Suy ra G0 là điểm Lemoine của tam giác ABC.
Bài toán 2.6.9 ([8]). Cho tam giácABC với các cạnh a, b, c. Đường đối trung AS cắt cạnh BC tại S. Kẻ những đường BB0 vuông góc với AB tạiB, và CC0 vuông góc vớiAC tạiC. Đường thẳng vuông góc với BC tại S cắt BB0 tạiB0, cắt CC0 tại C0. Chứng minh
CC0 BB0 =
b3 c3.