Chứng minh. Theo định nghĩa của phương tích, ta có
DA2 = DB·DC. (2.35)
Mặt khác, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có OA = OB = OC. Do OAB, OBC, OCA là tam giác cân tại O nên ta có ∠OAB = ∠OBA,∠OBC = ∠OCB,∠OCA= ∠OAC. Do AD là tiếp tuyến của (O) nên AD⊥ OA. Vì vậy, ta có
∠DAB = 90◦ −∠OAB = 90◦ −∠OBA. Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được
2∠DAB = 180◦−∠OAB −∠OBA
= ∠CAB +∠ABC +∠BCA−∠OAB−∠OBA = (∠CAB−∠OAB) + (∠ABC −∠OBA) +∠BCA
= ∠OAC+∠OBC +∠BCA = ∠OCA+∠OCB +∠BCA = 2∠BCA.
Từ đó ∠BCA =∠DAB. Do đó, ta có 4DBA đồng dạng với 4DAC. Suy ra, ta có DB DA = BA AC ⇒ DB 2 DA2 = c 2 b2. (2.36)
Nhân vế với vế (2.35) và (2.36), ta được
DB2 =DB ·DC · c 2 b2 hay DB = c 2 2.
Nhận xét 2.6.15.
1. Đường đối trung AE chia trong cạnh BC theo tỉ số EB EC =
c2
b2. AD chia ngoài cạnhBC cũng theo tỉ số đó, nên ta gọiAD là một đường đối trung ngoài của tam giác ABC.
2. Chiều dài đường đối trung ngoài AD: Ta có DC b2 = DB c2 = BC b2−c2 = a b2 −c2. (2.37) Từ (2.35) và (2.37) ta có DA2 = ab 2 b2 −c2 · ac 2 b2 −c2. Vậy DA= abc b2−c2 (b > c).
Bài toán 2.6.16 ([1]). Cho tam giác ABC, các điểm M và N lần lượt di chuyển trên các đường thẳng AB và AC sao cho M N k BC. Gọi P là giao điểm của BN và CM. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác BM P và CN P cắt nhau tại hai điểm phân biệt P vàQ. Gọi I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của Q lên các đường thẳng AB, AC. Chứng minh rằng đường thẳng IJ vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Chứng minh. Vì QI ⊥ IA và QJ ⊥ AJ nên ta có ∠AIQ+∠AJ Q = 180◦, do đó tứ giác AIQJ nội tiếp. Do đó ∠AQI = ∠AJ I vì cùng chắn cung AI. Mặt khác, do AQ là đường đối trung nên ∠QAI =∠LAJ. Do đó, ta có
∠LAJ +∠AJ I = ∠AQI +∠QAI = π 2. Suy ra IJ ⊥AL.
Kết luận
Luận văn đã giải quyết được những vấn đề sau:
1. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị như hai đường thẳng đẳng giác trong tam giác, đường đối song của một cạnh tam giác, một số định lý cơ bản trong hình học như định lý Ceva, định lý Thales, định lý Menelaus. 2. Trình bày định nghĩa, cách dựng và cùng một số tính chất thú vị của
đường đối trung và một số bài tập về đường đối trung. Khái niệm điểm Lemoine, đường tròn Lemoine thứ nhất và đường tròn Lemoine thứ hai. 3. Luận văn đã cố gắng đưa ra các lời bình, đưa ra lời giải tường minh hơn
so với những lời giải bài toán trong tài liệu tham khảo. Ngoài ra, luận văn đã tiến hành phân dạng một số dạng toán liên quan tới đường đối trung.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Hạ Vũ Anh (2010), Đường đối trung, Chuyên đề báo cáo tại Hội thảo Toán sơ cấp năm 2010, Ba Vì, Hà Nội,
https://boxmath.files.wordpress.com/2014/08/duong-doi-trung.pdf
[2] Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng (1997), Hình học của tam giác, NXB Giáo dục.
[3] Trần Nam Dũng (chủ biên) (2011), Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB ĐHQG-HCM.
[4] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyên Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình (2011), Tài liệu giáo khoa chuyên Toán 10 (hình học), NXB Giáo dục.
[5] Đỗ Thanh Sơn (2010), Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, NXB Giáo dục.
[6] Tập san Toán học 2009, Hệ thống các trường chuyên Đồng bằng duyên hải sông Hồng, Nam Định.
Tiếng Anh
[7] M. Bataille (2017), “Characterizing a Symmedian”, Crux Mathematicorum, Vol. 43 (4), pp. 145–150.
[8] S. Luo and C. Pohoata (2013), “Let’s Talk About Symmedians”, Mathe- matical Reflections, Vol. 4, pp. 1–11.
[9] Y. Zhao (2007), “Lemmas in Euclidean Geometry”, IMO Training 2007,