Luận văn đưa ra một ứng dụng của Định lý 2.4 cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn. Ta có định lý sau:
Định lý 2.6. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Cho F : C −→ H là một toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh và V : C −→ H là một ánh xạ L-Lipschitz. Cho Ti, i = 1,2, ..., N, là các ánh xạ không giãn từ C vào chính nó sao cho S = ∩N
i=1F ix(Ti) 6= ∅. Giả sử
0< µ < 2η/k2 và 0 ≤ γL < τ, trong đó τ = 1−p1−µ(2η−µk2). Với bất kỳ
x0 ∈C, cho {xn} là dãy trong C xác định bởi
yn0 =xn,
yni =βi,nyin−1+ (1−βi,n)Tiyin−1, i= 1,2, ..., N, xn+1 =PC[αnγV xn+ (I −αnµF)yNn ], n≥ 0,
(2.22)
trong đó {αn} là một dãy số trong (0,1) và {βi,n}, i = 1,2, ..., N, là các dãy số trong [a, b], với a, b∈(0,1) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) limn→∞αn = 0, P∞
ii) P∞
n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→∞αn+1/αn = 1;
iii) P∞
n=0|βi,n+1−βi,n|< ∞ với mọi i = 1,2, ..., N.
Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ S là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân VIS(C, µF −γV).
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.4 cho Ti,n = Ti với mọi i = 1,2, ..., N và mọi n ∈N, ta nhận được điều phải chứng minh.
Nếu trong Định lý 2.6, N = 1 và β1,n = 0với mọi n ≥1, thì ta nhận được hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.3. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Cho F : C −→ H là một toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh và V : C −→ H là một ánh xạ L-Lipschitz. Cho T là một ánh xạ không giãn từ
C vào chính nó sao cho S =F ix(T)6= ∅. Giả sử 0< µ <2η/k2 và 0≤γL < τ, trong đó τ = 1−p1−µ(2η −µk2). Với bất kỳ x0 ∈ C, cho {xn} là dãy trong
C xác định bởi
xn+1 =PC[αnγV xn + (I −αnµF)T xn], n≥ 0, (2.23)
trong đó {αn} là dãy số trong (0,1) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) limn→∞αn = 0, P∞
n=0αn =∞;
ii) P∞
n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→∞αn+1/αn = 1.
Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ S là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân VIS(C, µF −γV).
Tiếp theo, ta có định lý hội tụ mạnh dưới đây cho bài toán tìm một điểm bất động chung của một dãy ánh xạ không giãn.
Định lý 2.7. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Cho F : C −→ H là một toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh và V : C −→H là một ánh xạ L-Lipschitz. Cho {Tn} là một dãy ánh xạ không
giãn từ C vào chính nó sao cho S = ∩∞n=0F ix(Tn) 6= ∅. Cho T là một ánh xạ từ C vào chính nó được xác định bởi T x = limn→∞Tnx với mọi x ∈ C và
F ix(T) =∩∞
n=0F ix(Tn). Cho {xn} là một dãy trong C xác định bởi x0 ∈ C và
xn+1 = PC[αnγV xn + (I −αnµF)Tnxn],∀n ≥0, (2.24)
trong đó 0< µ < 2η/k2, 0≤ γL < τ với τ = 1−p1−µ(2η −µk2) và {αn} là một dãy số trong (0,1) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) limn→∞αn = 0, P∞
n=0αn =∞;
ii) P∞
n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→∞αn+1/αn = 1;
iii) P∞
n=0DB(Tn, Tn+1) <∞ hoặc limn→∞DB(Tn, Tn+1)/αn+1 = 0với mỗi B ∈ B(C).
Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ S là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân VIS(C, µF −γV).
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 2.1 với N = 1 và βn = 0 với mọi n ≥ 1, ta nhận được điều phải chứng minh.