Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cải tiến điều kiện của Nakajo K., Takahashi W. trong tài liệu [12], Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. [15] đã đưa ra điều kiện sau:
Cho {Tn} và T là hai họ ánh xạ không giãn từ C vào chính nó, sao cho F(T) =T∞
n=1F(Tn) 6=∅, ở đây F(Tn) là tập các điểm bất động củaTn và F(T)
là tập điểm bất động chung của họ T. Khi đó, họ {Tn} được gọi là thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với họ T, nếu với mỗi dãy bị chặn {zn} ⊂ C, thỏa mãn
lim
n→∞kzn−Tnznk= 0,
Định nghĩa 2.1. Một họ ánh xạ T = {T(s) : 0 ≤ s < ∞} từ tập con khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó được gọi là một nửa nhóm ánh xạ không giãn nếu nó thỏa mãn các điều kiện dưới đây:
i) T(0)x=x với mọi x∈ C;
ii) T(s+t) =T(s)T(t) với mọi s, t ≥0;
iii) kT(s)x−T(s)yk ≤ kx−yk với mọi s≥0 và x, y ∈C;
iv) với mỗi x ∈C, s7→ T(s)x là ánh xạ liên tục theo biến s trên [0,∞). Ta cần bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.1. (xem [12, 11])ChoC là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không
gian Hilbert H. Cho T = {T(s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C với F(T)6= ∅. Cho {tn} là một dãy các số thực với 0< tn <∞ thỏa mãn limn→∞tn =∞. Với mỗi n ∈N, xác định ánh xạ Tn từ C vào chính nó bởi
Tnx= 1
tn
Z tn
0
T(s)xds, với mọi x ∈C.
Khi đó, {Tn} thỏa mãn điều kiện NST(I) ứng với T ={T(s) : 0≤ s <∞}.
Ta có định lý hội tụ mạnh dưới đây cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn nửa nhóm ánh xạ không giãn.
Định lý 2.8. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Cho Ti ={Ti(s) : 0≤ s < ∞}, i = 1,2, ..., N, là các nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C với S = ∩N
i=1F ix(Ti) =6 ∅. Cho F : C −→ H là một toán tử
k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh và V : C −→ H là một ánh xạ L-Lipschitz. Với bất kỳ x0 ∈ C, 0 < µ < 2η/k2 và 0 ≤ γL < τ với τ = 1−p1−µ(2η −µk2), cho {xn} là một dãy trong C xác định bởi
yn0 = xn,
yni = βi,nyin−1+ (1−βi,n)Ti,nyni−1, i= 1,2, ..., N, xn+1 =PC[αnγV xn+ (I −αnµF)yNn ], n≥ 0,
với Ti,nx = 1
tn
Rtn
0 Ti(s)xds, với mọi i = 1,2, ..., N và x ∈ C, trong đó {αn}
là một dãy số trong (0,1), {βi,n}, i = 1,2, ..., N là các dãy số trong [a, b], với
a, b∈(0,1) và {tn} là một dãy số trong (0,∞) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) limn→∞αn = 0, P∞
n=0αn =∞;
ii) P∞
n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→∞αn+1/αn = 1;
iii) P∞
n=0|βi,n+1−βi,n|< ∞ với mọi i = 1,2, ..., N;
iv) limn→∞tn =∞ và P∞
n=0
|tn+1−tn|
tn+1 <∞ hoặc limn→∞ |tn+1−tn|
tn+1αn = 0.
Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ S là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân VIS(C, µF −γV).
Chứng minh. Ta áp dụng chứng minh của Định lý 2.4 để chứng minh định lý này.
Trước hết, với bất kỳ B ∈ B(C), vìTi,n(s) là ánh xạ không giãn với mọis≥ 0
và mọi i = 1,2, ..., N, nên ta có
K = max
i=1,2,...,N{ sup
s≥0,n≥1,x∈B
{kTi,n(s)xk}}< ∞. Do đó, với mỗi i= 1,2, ..., N, ta nhận được
kTi,nx−Ti,n+1xk=k1 tn Z tn 0 ti,n(s)xds− 1 tn+1 Z tn+1 0 ti,n+1(s)xdsk ≤ |tn+1−tn| tntn+1 k Z tn 0 ti,n(s)xdsk+ 1 tn+1 Z tn+1 tn ti,n+1(s)xdsk ≤2K|tn+1−tn| tn+1 .
Vì vậy, nếu dãy số {tn} thỏa mãn điều kiện P∞
n=0 |tn+1−tn| tn+1 < ∞ hoặc điều kiện limn→∞ |tn+1−tn| tn+1αn = 0, thì ta thu được P∞ n=0DB(Tn, Tn+1) < ∞ hoặc
limn→∞DB(Tn, Tn+1)/αn = 0 với mỗi B ∈ B(C), tương ứng.
Bằng lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 2.4, ta có
lim
với mọi i = 1,2, ..., N. Do đó, từ Bổ đề 2.1, ta nhận được
lim
n→∞kxn−Ti(s)xnk= 0, với mọi i = 1,2, ..., N và mọi s ≥0.
Giả sử {xnk} là một dãy con của dãy {xn} sao cho
lim sup
n→∞
h(γV −µF)x∗, xn−x∗i= lim
k→∞h(γV −µF)x∗, xnk −x∗i, (2.27) trong đó x∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân VIS(C, µF −γV). Không mất tổng quát, ta có thể giả sử xnk * z ∈ C. Từ Bổ đề 2.1 và (2.26), ta nhận được z ∈ F ix(Ti(s)) với mọi s ≥0 và i = 1,2, ..., N. Do đó, z ∈S. Vì vậy, từ (2.27), ta có
lim sup
n→∞
h(γV −µF)x∗, xn−x∗i= h(γV −µF)x∗, z−x∗i ≤ 0. (2.28) Phần còn lại của chứng minh được thực hiện như chứng minh của Định lý 2.4.
Chú ý 2.3. Các dãy số αn = 1
n, tn =
√
n và βi,n = 1
2 thỏa mãn các điều kiện
i)-iv) trong Định lý 2.8. Ta có hệ quả dưới đây:
Hệ quả 2.4. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Cho T = {T(s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C với S = F ix(T) =6 ∅. Cho F : C −→ H là một toán tử k-Lipschitz,
η-đơn điệu mạnh và V : C −→H là một ánh xạ L-Lipschitz. Với bất kỳ x0 ∈C,
0 < µ < 2η/k2 và 0 ≤ γL < τ với τ = 1−p 1−µ(2η −µk2), cho {xn} là dãy trong C xác định bởi yn =βnxn+ (1−βn)Tnxn, xn+1 =PC[αnγV xn + (I −αnµF)yn], n≥0, (2.29) với Tnx = 1 tn Rtn
0 T(s)xds, với mọi x ∈ C, trong đó {αn} là một dãy số trong
(0,1), {βn} là một dãy số trong [0, b), với b ∈(0,1) và {tn} là một dãy số trong
i) limn→∞αn = 0, P∞ n=0αn =∞; ii) P∞ n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→∞αn+1/αn = 1; iii) P∞ n=0|βn+1−βn| <∞; iv) limn→∞tn =∞ và P∞ n=0 |tn+1−tn| tn+1 <∞ hoặc limn→∞ |tn+1−tn| tn+1αn = 0.
Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ S là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân VIS(C, µF −γV).