Trước hết, ta nhắc lại khái niệm toán tử đa trị đơn điệu trong không gian Hilbert.
Định nghĩa 2.2. Một ánh xạ đa trị A : H −→2H được gọi là một toán tử đơn
điệu nếu
hu−v, x−yi ≥0 (2.30)
với mọi x, y ∈H và mọi u∈A(x), v ∈ A(y).
Toán tử đơn điệu A được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) ={(x, u) ∈H ×H : u∈A(x)}
không chứa thực sự trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác trên H.
Định nghĩa 2.3. Cho A : H −→ 2H là một toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó,
ánh xạ JrA = (I +rA)−1, r >0 được gọi là giải của A. Ta có bổ đề dưới đây:
Bổ đề 2.2 (xem [14]). Cho A : D(A) −→ 2H là một toán tử đơn điệu. Với mỗi
λ, µ >0 và x∈R(I +λA)∩R(I +µA), ta có đánh giá sau
kJλAx−JµAxk ≤ |λ−µ|
λ kx−JλAxk.
Ta biết rằng bài toán tối ưu lồi không ràng buộc là trường hợp đặc biệt của bài toán dưới đây:
Một trong những phương pháp nổi tiếng giải phương trình0∈ A(x), vớiA là một toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert H là phương pháp điểm gần kề, với x0 =x∈ H, người ta xác định dãy {xn} bởi
xn+1 =JrAn(xn), với mọi n∈ N, (2.31)
trong đó {rn} là một dãy các số thực dương vàJrAn = (I+rnA)−1 là toán tử giải của A.
Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. ChoF : C −→ H là một toán tửk-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh và V : C −→ H là một ánh xạ L-Lipschitz. Cho Ai : D(Ai) ⊂ C −→ 2H, i = 1,2, ..., N là các toán tử đơn điệu sao cho S = ∩N
i=1A−i1(0) 6= ∅ và D(Ai) ⊂C ⊂ ∩r>0R(I +rAi)
với mọi i = 1,2, ..., N.
Bây giờ, để tìm một phần tử x∗ ∈ S, tác giả T.M. Tuyen [16] đã đưa ra phương pháp lặp dưới đây:
yn0 =xn,
yni =βi,nyni−1+ (1−βi,n)Ji,nyni−1, Ji,n = (I +ri,nAi)−1, i= 1,2, ..., N, xn+1 =PC[αnγV xn+ (I −αnµF)ynN], n ≥0,
(2.32)
trong đó {αn} là một dãy số trong (0,1) và {βi,n}, i = 1,2, ..., N là các dãy số trong [a, b], với a, b ∈ (0,1) và {ri,n} là các dãy số thực dương với mọi i = 1,2, ..., N. Sự hội tụ mạnh của dãy {xn} được cho bởi định lý dưới đây:
Định lý 2.9. Nếu các dãy số {ri,n}, {βi,n}, i = 1,2, ..., N và {αn} thỏa mãn các
điều kiện: i) limn→∞αn = 0, P∞ n=0αn =∞; ii) P∞ n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→∞αn+1/αn = 1; iii) P∞
n=1|βi,n+1−βi,n|< ∞ với mọi i = 1,2, ..., N;
iv) mini=1,2,...,N{infn{ri,n}} ≥ r > 0, P∞
n=1|ri,n+1 − ri,n| < ∞ với mọi i = 1,2, ..., N,
thì dãy {xn} xác định bởi (2.32) hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ S là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân VIS(C, µF −γV).
Chứng minh. Đặt Ti,n =Ji,n với mọi i = 1,2, ..., N và n ∈N. Khi đó, Ti ={Ti,n}
là dãy các ánh xạ không giãn với mọi i = 1,2, ..., N và S =∩N
i=1F ix(Ti) 6=∅. Trước hết, ta chỉ ra P∞
n=0DB(Ti,n+1, Ti,n) <∞ với mọi i= 1,2, ..., N và mọi B ∈ B(C). Với B ∈ B(C), đặt K = maxi=1,2,...,N{supn{kz − Ji,n+1zk : z ∈
B}} <∞. Từ Bổ đề 2.2, với mỗi i ∈ {1,2, ..., N}, ta có
DB(Ti,n+1, Ti,n) = sup{kJi,n+1z−Ji,nzk : z ∈B}
≤sup{|ri,n+1−ri,n|
ri,n+1 kz−Ji,n+1zk: z ∈ B} ≤K|ri,n+1−ri,n|
r .
Do đó, P∞
n=0DB(Ti,n+1, Ti,n) <∞ với mọi i = 1,2, ..., N. Vì P∞
n=1|ri,n+1 − ri,n| < ∞, nên {ri,n} là các dãy Cauchy với mọi i = 1,2, ..., N. Giả sử limn→∞ri,n = ri ≥ r với mọi i = 1,2, ..., N. Đặt Ti = JAi ri
với mọi i = 1,2, ..., N. Ta có
kTi,nx−Tixk=kJi,nx−JAi
ri xk ≤ |ri,n−ri|
ri kx−Tixk, ∀x ∈C,
suy ra Tix = limn→∞Ti,nx với mọi x ∈ C. Vậy, từ Định lý 2.4, dãy {xn} hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ S là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân VIS(C, µF −γV).
Cuối cùng, ta có hệ quả dưới đây:
Hệ quả 2.5. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Cho F : C −→ H là một toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh và V : C −→ H là một ánh xạ L-Lipschitz. Cho A: D(A) ⊂ C −→ 2H là một toán tử đơn điệu sao cho S = A−1(0) 6= ∅ và D(A) ⊂ C ⊂ ∩r>0R(I +rA). Nếu các dãy số {rn} và {αn} thỏa mãn các điều kiện:
i) limn→∞αn = 0, P∞
ii) P∞ n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→∞αn+1/αn = 1; iii) infn{rn} ≥ r > 0, P∞ n=1|rn+1−rn| <∞, thì dãy {xn} xác định bởi x0 ∈C và xn+1 = PC[αnγV xn + (I −αnµF)JrAnxn] (2.33)
hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ S là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân VIS(C, µF −γV).