Mục này, luận văn đưa ra một số ví dụ số được lập trình và tính toán trên MATLAB nhằm minh họa thêm cho tính đúng đắn của các phương pháp lặp được giới thiệu trong các Định lý 2.5 và Định lý 2.8.
Ví dụ 2.1. Xét bài toán: Tìm một phần tử x∗ ∈S, sao cho
ϕ(x∗) = min
x∈S ϕ(x), (2.34)
trong đó
ϕ(x) = (x1−1)2+ (x2+ 1)2+x23 với mọi x= (x1, x2, x3)∈ R3, S =∩100i=1Ci 6=∅,
Ci = {(x1, x2, x3) : (x1−1/i)2+ (x2+ 1/i)2+x23 ≤ 4}, i = 1,2, ...,100.
Dễ thấy ϕlà một hàm lồi,F = 5ϕ là toán tử2-Lipschitz và2-đơn điệu mạnh và x∗ = (1,−1,0) là điểm cực tiểu của hàm ϕ trên S.
Đặt Ti= PCi, i = 1,2, ...,100 trong đó PCi là các phép chiếu mêtric từR3 lên Ci. Giả sử PCi được cho bởi dãy toán tử nhiễu PCn
i được xác định bởi PCn ix= PCix, nếu x∈ Ci, PCix+ai,ne, nếu x /∈Ci, (2.35)
trong đó {ai,n} là dãy số thực không âm thỏa mãn limn→∞ai,n = 0,
P∞
Đặt Ti,n = PCn
i với mọi i = 1,2, ..., N. Khi đó, Ti ={Ti,n} là dãy ánh xạ gần không giãn tương ứng với dãy số {ai,n}.
Thật vậy, với mọi x, y ∈R3, ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu x, y∈ Ci hoặc x, y ∈ R3\Ci, ta có
kTi,nx−Ti,nyk= kPCix−PCiyk ≤ kx−yk. (2.36) Trường hợp 2: Nếu x∈Ci và y ∈R3\Ci, ta có
kTi,nx−Ti,nyk= kPCix−PCiy−ai,nek ≤ kx−yk+ai,n. (2.37) Từ (2.36) và (2.37), ta thu được {Ti} là dãy ánh xạ gần không giãn tương ứng với dãy số {ai,n}, với mọi i = 1,2, ...,100.
Dễ thấy rằng
S =∩100i=1F(Ti) =∩100i=1Ci 6= ∅.
Bây giờ, với mỗi x∈R3, ta có
kTi,nx−Tixk ≤ai,n → 0, suy ra limn→∞Ti,nx=Tix, với mọi i = 1,2, ...,100.
Với bất kỳ B ∈ BR3, x∈ B và với mỗi i = 1,2, ..., N, ta có
kTi,nx−Ti,n+1xk ≤ |ai,n −ai,n+1|.
Do đó, P∞
n=0DB(Ti,n, Ti,n+1) <∞ với mọi B ∈ B(C) và mọi i = 1,2, ..., N. Ta biết rằng Bài toán (2.34) tương đương với bất đẳng thức biến phân sau: Tìm phần tử x∗ ∈S sao cho
hF x∗, x∗−yi ≤0, ∀y ∈S. (2.38) Giả sửai,n = 1
n vàe= (1,0,0)với mọii = 1,2, ...,100. Áp dụng phương pháp lặp (2.19) vớiµ= 9/10,βi,n = 1/2vàαn = 1/nvới mọin ≥1và mọii = 1,2, ...,100, x0 = (1,2,3), ta thu được bảng kết quả số dưới đây:
TOL kxn−x∗k n xn 10−4 9.941×10−5 55 (1.0000432, −1.0000432, −7.8405415×10−5) 10−5 9.997×10−6 196 (1.0000043, −1.0000043, −7.8850839×10−6) 10−6 9.981×10−7 704 (1.0000004, −1.0000004, −7.8719440×10−7) 10−7 9.995×10−8 2527 (1.0000000, −1.0000000, −7.8832023×10−8) Bảng 2.1: Bảng kết quả số cho Ví dụ 2.1
Dáng điệu của hàm số kxn − x∗k trong trường hợp TOL= 10−5 được biểu diễn bởi Hình 2.1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 TOL Number of iterations ||xn−x*||
Hình 2.1: Dáng điệu của hàm số kxn−x∗kcho Ví dụ 2.1.
Ví dụ 2.2. Cho Ti = {Ti(s) : 0 ≤ s < ∞}, i = 1,2, ...,100, là các nửa nhóm
ánh xạ không giãn từ R3 và R3 được xác định bởi
Ti(s)x = cosis −sinis 0 sinis cosis 0 0 0 1 x1 x2 x3 ,
với mọix= (x1, x2, x3) ∈R3và mọis ≥0. Dễ thấyS =∩100
i=1F ix(Ti) ={(0,0, a) :
Xét bài toán tìm một phần tử x∗ ∈ S, sao cho
ϕ(x∗) = min
x∈S ϕ(x), (2.39)
trong đó ϕ(x) = (x1+ 1)2+ (x2−1)2+ (x3−2)2 với mọi x= (x1, x2, x3)∈ R3. Dễ thấy ϕlà một hàm lồi,F = 5ϕ là toán tử2-Lipschitz và2-đơn điệu mạnh và x∗ = (0,0,2) là điểm cực tiểu của ϕ trên S.
Áp dụng phương pháp lặp (2.25) với V x= 0 với mọix, µ = 9/10, βi,n = 1/2, αn = 1/n và tn = √
n với mọi n ≥ 1 và mọi i = 1,2, ...,100, và chọn x0 = (−1,−2,−3), ta nhận được bảng kết quả sau:
TOL kxn−x∗k n xn
10−2 9.982×10−3 225 (−7.05882×10−3, 7.05882×10−3, 3.00004)
10−3 9.998×10−4 2546 (−7.06991×10−4, 7.06991×10−4, 3.00000)
10−4 9.999×10−5 25456 (−7.07102×10−5, 7.07102×10−5, 3.00000)
Bảng 2.2: Bảng kết quả số cho Ví dụ 2.2
Dáng điệu của hàm số kxn − x∗k trong trường hợp TOL= 10−2 được biểu diễn bởi hình dưới đây:
0 50 100 150 200 250 300 10−2 10−1 100 101 Number of iterations TOL ||xn−x*||
Chú ý 2.4. Trong mục này, ta sử dụng ký hiệu TOL để chỉ sai số giữa nghiệm xấp xỉ xn và nghiệm chính xác x∗, tức là, TOL=kxn−x∗k.
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các vấn đề sau:
• Một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert, ánh xạ không giãn và bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert;
• Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (trên không gian hữu hạn chiều) và bài toán bất đẳng thức biến phân trên không gian Hilbert;
• Các kết quả của Tuyen T.M. trong tài liệu [16] cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn;
• Xây dựng các ví dụ số đơn giản dựa trên phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp.
Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Bauschke H.H., Combettes P.L. (2010), Convex Analysis and Monotone Op- erator Theory in Hilbert spaces, Springer.
[3] Ceng L. C., Ansari Q. H., Yao J. C. (2011), “Some iterative methods for find- ing fixed points and for solving constrained convex minimization problems”,
Nonlinear Anal., 74(16), pp. 5286–5302.
[4] Combettes P. L. (2001), “On the numerical robustness of the parallel projec- tion method in signal synthesis”, IEEE Signal Process. Lett., 8, pp. 45–47.
[5] Halpern B.(1967), “Fixed points of nonexpanding maps”, Bull. Math. Soc., 73, pp. 957–961.
[6] Hartman P., Stampacchia G. (1966), “On some nonlinear elliptic differential functional equations” Acta Math., 115, pp. 271–310.
[7] Kim T. H., Xu H. K. (2007), “Robustness of Mann’s algorithm for nonex- pansive mappings”, J. Math. Anal. Appl., 327, pp. 1105–1115.
[8] Kinderlehrer D., Stampacchia G. (1980), An introduction to variational in- equalities and their applications, Academic Press, New York.
[9] Mann W. R. (1953), “Mean value methods in iteration”, Proc. Amer. Math. Soc., 4, pp. 506-510.
[10] Moudafi A. (2000), “Vicosity approximation methods for fixed point prob- lems”, J. Math. Anal. Appl., 241, pp. 45-55.
[11] Nakajo K., Shimoji K., Takahashi W. (2007), “Strong convergence to com- mon fixed points of families of nonexpansive mappings in Banach spaces”,
J. Nonlinear Convex Anal., 8, pp. 11-34.
[12] Nakajo K., Takahashi W. (2003), “Strong convergence theorems for nonex- pansive mappings and nonexpansive semigroups”,J. Math. Anal. Appl., 279, pp. 372-379.
[13] Sahu D. R., Kang S.M., Sagar V. (2012), “Approximation of common fixed points of a sequence of nearly nonexpansive mappings and solutions of vari- ational inequality problems”, J. Appl. Math., 2012 , Article ID 902437, 12 pages.
[14] Takahashi W. (2000), Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory and Its Applications, Yokohama Publishers, Yokohama, Japan.
[15] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. (2008), “Strong convergence theo- rems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J. Math. Anal. Appl., 341, pp. 276-286.
[16] Tuyen T.M. (2018), “A cyclic iterative method for solving a class of varia- tional inequalities in Hilbert spaces”, Optimization, 67(10), pp. 1769-1796.
[17] Yamada I. (2001), “The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings”, Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp. 473-504.
[18] Wong N. C., Sahu D. R., Yao J. C. (2011), “Generalized hybrid steepest- descent method for variational inequalities in Banach spaces”, Fixed Point Theory and Appl., 2011, Article ID 754702, 28 pages.