Hệ thống GPS sử dụng phép đo ba cạnh tam giác (phép tam giác lượng) là phương pháp xác định vị trí tương đối của vật thể sử dụng các nguyên tắc hình học trong tam giác. Vị trí được xác định dựa trên phép đo đạc tam giác khi biết vị trí của mỗi vệ tinh, biết sự khác nhau về khoảng cách của các vệ tinh, đồng hồ chính xác tại máy thu, và thêm khả năng sửa lỗi.
Các phép đo khoảng cách cần tối thiểu 3 vệ tinh để đưa ra một vị trí chính xác. Máy thu GPS thường sử dụng 4 vệ tinh hoặc nhiều hơn để tăng cường độ chính xác và cung cấp thêm thông tin như độ cao của vật thể.
Ở đây ta đã biết trước vị trí rj của vệ tinh thứ j (phát ra tín hiệu) và muốn xác định vị trí Ri của anten thứ i (thiết bị thu tín hiệu vệ tinh) do đó ta cần phải đo vector cự ly eijIj giữa 2 vị trí nói trên (eij là vector đơn vị).Khi đó tùy thuộc vào cách thức đo vector cự ly, chúng ta có thể có những kỹ thuật định vị vệ tinh khác nhau và xác định được vị trí của anten thứ i theo công thức Ri = rj - eijij.
Hình 2.2: Vị trí các vật thể được xác định qua 4 phép đo.[1]
Do vị trí của vệ tinh thay đổi theo thời gian nên việc dự đoán một cách chính xác vị trí của vệ tinh rj(t) tại một thời điểm nào đó là rất khó khăn. Nhiệm vụ dự
đoán quỹ đạo hay lịch thiên văn (ephemeris) của vệ tinh đòi hỏi phải có kiến thức đặc biệt về động lực học vệ tinh mà người vận hành hệ thống cần phải quan tâm.
Hình 2.3: Định vị điểm bằng vệ tinh. [1]
Giả sử ta bỏ qua sai số đồng hồ máy thu trên vật thể i và đo được cự ly từ vật thể i đến vệ tinh 1 là i1, nghĩa là vật thể i đang nằm trên một mặt cầu (S1) có tâm là vệ tinh 1 (C1) và bán kính là i1. Tiếp theo ta thực hiện phép đo cự ly từ vật thể i đến vệ tinh 2 và nhận được kết quả là i2, điều này cho chúng ta biết rằng vật thể i không chỉ nằm trên mặt cầu (S1) mà còn nằm trên mặt cầu (S2) cách vệ tinh 2 (C2) một khoảng cách là i2. Nói cách khác, vật thể i sẽ nằm trên đường tròn (O) do 2 mặt cầu (S1), (S2) cắt nhau tạo ra. Nếu chúng ta tiếp tục đo được cự ly từ vật thể i đến vệ tinh 3 là i3 thì vị trí chính xác của nó là một trong hai giao điểm P1, P2 của mặt cầu (S3) với đường tròn (O).
Như vậy, bằng các phép đo cự ly từ vật thể i đến 3 vệ tinh, ta có thể xác định được 2 vị trí có thể có của nó trong không gian. Để xác định vị trí nào là vị trí thật ta có thể thực hiện 1 phép đo bổ sung, tuy nhiên 1 trong 2 vị trí tính được từ phép đo này sẽ cho một kết quả không phù hợp (hoặc là ở rất xa trái đất, hoặc là chuyển động với vận tốc vô cùng lớn) và do đó có thể bỏ qua mà không cần phải thực hiện phép đo này.Ba phép đo cự ly ở trên cho ta 3 phương trình độc lập với nhau
cần thiết để xác định 3 ẩn số. 3 ẩn số này là tọa độ (x, y, z) của vật thể i trong không gian 3 chiều. Khi kể đến sai số đồng hồ máy thu, tất cả các phép đo cự ly đồng thời đều bị lệch bởi giá trị sai số này. Do đó, trong bất kỳ một tập hợp các phép đo cự ly đồng thời nào, chúng ta cũng cần phải xác định đầy đủ 4 ẩn số (3 ẩn số vị trí, 1 ẩn số thời gian), nghĩa là cần 4 phương trình hay 4 phép đo cự ly đến vệ tinh để xác định vị trí duy nhất của vật thể.
Cách xác định khoảng cách trong GPS: d=c*t Trong đó:
d: khoảng cách từ vệ tinh đến máy thu. c: vận tốc ánh sáng = 3.108 m/s.
t: trễ lan truyền.
Ta phải giải bài toán phi tuyến với 4 ẩn số:
𝜌1 = √(𝑥𝑠1 − 𝑥𝑢)2 + (𝑦𝑠1 − 𝑦𝑢)2+ (𝑧𝑠1 − 𝑧𝑢)2 + 𝑐. 𝛿𝑡𝑢
Máy thu GPS qua tính toán xác định được khoảng cách tới một vệ tinh và biết được nó đang ở đâu đó trên mặt cầu tâm vệ tinh này. Hai mặt cầu đầu giao nhau tạo thành một vòng tròn. Mặt cầu thứ 3 sẽ cắt vòng tròn này chỉ tại 2 điểm, trong đó 1 điểm là vị trí của máy thu trên mặt đất. Điểm giao cắt thứ hai là một nơi nào đó lơ lửng trong không gian, cách xa trái đất hàng ngàn km nên có thể bỏ qua.
Một vệ tinh thứ tư cần thiết để cải thiện tính chính xác của việc xác định thời gian, vì chỉ cần sai số 1 phần triệu giây giữa đồng hồ vệ tinh và máy thu cũng có thể dẫn đến định vị sai lệch hàng trăm mét.
Như vậy để xác định vị trí của mình trên mặt đất, máy thu GPS phải tính để biết khoảng cách tới 4 vệ tinh và vị trí chính xác của các vệ tinh trên quỹ đạo.
Máy thu GPS tính toán dựa vào khoảng thời gian tính từ khi vệ tinh phát tín hiệu đến lúc nó nhận được. Đó là tín hiệu radio tần số cao, công suất cực thấp. Sóng radio chuyển động với tốc độ đều, tương đương tốc độ của ánh sáng, khoảng 300.000 km/giây trong chân không.
Để đo chính xác, chúng ta phải chắc chắn là đồng hồ trên vệ tinh và trong máy thu phải đồng bộ với nhau, chỉ cần chênh nhau 1 phần triệu giây là đã dẫn đến sai số khoảng 300 m. Với độ chính xác như vậy, chỉ có thể là đồng hồ nguyên tử. Nhưng đồng hồ nguyên tử có giá quá cao, tới hàng chục ngàn đô la Mỹ, nên chỉ có thể trang bị cho các vệ tinh. Với máy thu, người ta buộc phải chọn phương án giá rẻ, dùng đồng hồ quartz thông thường. Các đồng hồ quartz này được hiệu chỉnh liên tục dựa vào tín hiệu nhận được từ các vệ tinh để đồng bộ thời gian chính xác theo đồng hồ nguyên tử trên vệ tinh. Nhờ đó mà bốn mặt cầu giao nhau tại một điểm.
Tính khoảng cách tới vệ tinh. Vào một thời điểm nào đó trong ngày, một vệ tinh bắt đầu truyền một chuỗi dài tín hiệu số, được gọi là mã giả ngẫu nhiên. Cùng lúc, máy thu cũng bắt đầu tạo ra chuỗi mã giống hệt, sau đó một chút mới nhận được chuỗi tín hiệu của vệ tinh. Độ trễ này là khoảng thời gian truyền tín hiệu từ vệ tinh tới máy thu. Nhân thời gian trễ này với vận tốc ánh sáng, máy thu tính ra quãng đường truyền tín hiệu. Đây là khoảng cách giữa máy thu và vệ tinh, với giả thiết tín hiện truyền theo đường thẳng với vận tốc truyền không đổi.
Xác định vị trí vệ tinh. Điều này không quá khó, vì mỗi máy thu đều cập nhật và lưu trữ định kỳ một bảng tra cứu (gọi là almanac data) vị trí gần đúng của từng vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo vào bất kỳ thời điểm nào. Một số yếu tố như lực hút của Mặt Trăng, Mặt Trời làm lệch quỹ đạo của các vệ tinh đôi chút nhưng Bộ quốc phòng Hoa Kỳ liên tục giám sát vị trí chính xác của các vệ tinh và truyền những hiệu chỉnh đến các máy thu GPS thông qua tín hiệu từ vệ tinh.
Dù vậy hệ thống tính toán vẫn còn những sai số. Trước hết là do phương pháp này giả định tín hiệu từ vệ tinh truyền thẳng tới các máy thu qua bầu khí quyển với vận tốc không đổi (bằng vận tốc ánh sáng). Trong thực tế, bầu khí quyển của Trái đất làm chậm tốc độ truyền xuống một chút, đặc biệt là khi tín hiệu xuyên qua tầng điện ly và tầng đối lưu. Độ trễ khác nhau tùy thuộc vào vị trí của máy thu trên mặt đất, có nghĩa là rất khó để loại trừ yếu tố sai số này trong các tính toán khoảng cách. Vấn đề cũng có thể xảy ra khi các tín hiệu radio phản xạ bởi các vật chắn lớn, chẳng hạn như những dãy núi cao hay tòa nhà cao tầng, khiến máy thu nhầm vệ tinh xa hơn thực tế. Đôi khi tín hiệu từ vệ tinh có sai số, báo sai vị trí của nó.
Một số kỹ thuật được áp dụng để sửa sai số tính toán của hệ thống GPS. Hệ thống định vị toàn cầu vi sai DGPS (Differential GPS) là một dạng nâng cao của GPS, trong đó sử dụng thêm một mạng các trạm thu GPS mặt đất cố định. Ý tưởng cơ bản là để tính toán sai số tại trạm thu GPS cố định so với số liệu đo đạc chính xác đã biết từ trước. Sau đó trạm phát tín hiệu radio cung cấp thông tin hiệu chỉnh tín hiệu cho khu vực, giúp những máy thu DGPS trong khu vực đó định vị chính xác hơn. DGPS được các nước như Mỹ, Úc và Canada dùng cho các hệ thống hỗ trợ tàu bè ven biển.
Trong khi đó công nghệ hỗ trợ định vị Assisted-GPS (A-GPS) thường được dùng cho các thiết bị cầm tay. Ngoài việc định vị GPS, smartphone sử dụng A- GPS còn kết nối với máy chủ thông qua mạng 3G, GPRS hay Wi-Fi để nhận tín hiệu phát ra từ các trạm phát sóng của nhà mạng. Nhờ thế mà thiết bị khắc phục được sai số từ tín hiệu vệ tinh khi truyền xuống vùng đô thị có nhiều tán cây, cao ốc.