Ta sử dụng tọa độ barycentric thuần nhất, tuyệt đối. Nếu đường tròn Apollonius tiếp xúc với 3 đường tròn bàng tiếp tương ứng tại A0, B0, C0 thì các đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng quy (kết quả trong [3])
Ap ≡ X(181) = a2(b+c)2 p−a : b2(c+a)2 p−b : c2(a+b)2 p−c .
Ta nhắc lại rằng đường tròn đẳng phương của ba đường tròn bàng tiếp là đường tròn đẳng phương Spieker, điểm Spieker Sp là ảnh vị tự của tâm nội tiếp I qua phép vị tự h(G,−1
2) với G là trọng tâm tam giác.
Việc tìm đường tròn Apollonius kiểu 2 sẽ thuận lợi hơn khi xét ảnh vị tự của nó qua phép vị tự h(G,−2). Phép vị tự này biến đường tròn chín điểm và đường tròn đẳng phương Spieker lần lượt thành đường tròn ngoại tiếp (O, R) và đường tròn
I,pr2 +p2.
Điểm Mittenpunkt. Xét tam giác ABC với D0, E0, F0 là trung điểm củaBC, CA, ABtương ứng. Ta sẽ chứng tỏ ba đường thẳngIaD0, IbE0, IcF0
đồng qui tại một điểm.
Thật vậy, các tâm bàng tiếp Ia = (−a : b : c); Ib = (a : −b : c);
Ic = (a : b : −c); các trung điểm D0 = 0 : 21 : 12, E0 = 12 : 0 : 12,
F0 = 12 : 12 : 0. Từ đó có các phương trình
IaD0 : (b−c)x+ay −az = 0 IbE0 : −bx+ (c−a)y +bz = 0 IcF0 : cx−cy + (a−b)z = 0.
đồng quy. Điểm đồng quy đó được gọi là điểm MittenpunktM, mang nhãn
X(9) trong [4].
Điểm Mittenpunkt M có một số tính chất sau (i) Điểm M ∈ (IL), (L là điểm đối trung), (ii) Điểm M ∈ (GGe) và GeG : GM = 2 : 1, (iii) Tọa độ của M = (cosA2 : cosB2 : cos C2).
Từ tính chất (ii) ta suy ra điểm M dựng được theo các điểm G và Ge. Trong Ví dụ 2.3.6 ta sẽ dùng đến điểm M để dựng tâm Apollonius O0.