Bài toán 2:Cho 3 đường tròn (Oi, ri), i= 1,2,3 ở về một phía của đường thẳng` và cùng tiếp xúc với đường thẳng `. Dựng đường tròn tiếp xúc ngoài với 3 đường tròn (Oi, ri), i = 1,2,3.
Lời giải. Với mỗi i = 1,2,3 giả sử (Oi, ri) tiếp xúc với ` tại Si và tiếp xúc (O, r) tại Ti. Nếu đường thẳng S1T1 cắt lại đường tròn (O, r) tại T thì tiếp tuyến với (O, r) tại T là đường thẳng `0 k `. Do đó, 3 điểm T, T2, S2
thẳng hàng nên T, T3, S3 cũng thẳng hàng. Vì đường thẳng T2T3 là đường đối song với `0 theo các đường thẳng T T2 và T T3 nên nó cũng đối song với
` theo các đường thẳng T S2 và T S3 và các điểm T2, T3, S3, S2 đồng viên. Từ T T2.T S2 = T T3.T S3 ta khẳng định được điểm T nằm trên trục đẳng phương của các đường tròn (O2, r2) và (O3, r3) mà là đường vuông góc hạ từ trung điểm củaS2S3 xuống đường nối tâm O2O3. Cùng lý do đó, nó cũng nằm trên trục đẳng phương của các đường tròn(O3, r3) và(O1, r1) mà là đường vuông góc hạ từ trung điểm của S1S3 xuống đường nối tâm
và đường tròn (T1T2T3) là ảnh của đường thẳng` qua phép nghịch đảo cực
T, phương tích T T1.T S1. Từ đó, đường tròn (O, r) được dựng như sau: - Dựng đường vuông góc d1 từ trung điểm E1 của S1S2 xuống O1O2. - Dựng đường vuông góc d2 từ trung điểm E2 của S1S3 xuống O1O3. - Dựng T = d1 ∩d2. Với i = 1,2,3 gọi Ti là giao của T Si với (Oi, ri). - Dựng đường tròn (T1T2T3) là đường tròn cần dựng, hình 3.3.
3.1.2 Tam giác tạo bởi các cực tuyến
Xét tam giác tạo bởi các đường thẳng là cực tuyến của các đỉnhA, B, C
đối với các đường tròn bàng tiếp (Ia),(Ib),(Ic) tương ứng. Cực tuyến của
A đối với (Ia, ra) được ký hiệu là BaCa, tương tự có cực tuyến CbAb của
B và cực tuyến AcBc của C.
Bổ đề 3.1.2. Các cực tuyến của các đỉnh A, B, C đối với các đường tròn bàng tiếp tương ứng tạo thành tam giác với các đỉnh.
U = (−a(b+c) : σC :σB), V = (σC :−b(c+a) : σA), W = (σB :σA : −c(a+b)).
Chứng minh. Đường thẳng (BaCa) có phương trình
x y z −(p−b) 0 p −(p−c) p 0 = 0 hay (BaCa) : px+ (p−c)y + (p−b)z = 0. Tương tự, (CbAb) : (p−c)x+py+ (p−a)z = 0; (AcBc) : (p−b)x+ (p−a)y +pz = 0.
Giao điểm U = AbCb ∩AcCc (hình 3.4) có tọa độ:
U = (−a(2p−a) : ab−2p(p−c) : ca−2p(p−b) = (−a(b+c) : a2 +b2 −c2 : c2 +a2 −b2)
= (−a(b+c) : σC : σB).
Tọa độ của V = BaCa ∩AcCc và W = CaBa ∩AbCb nhận được từ U bởi hoán vị vòng quanh a, b, c hoặc tính tương tự.
Mệnh đề 3.1. Hai tam giác U V W và ABC phối cảnh với tâm phối cảnh là trực tâm H của tam giác ABC.