- Dựng trục Brocard ` = (OL), - Dựng đường thẳng d = (O9Sp),
- Gọi O0 = `∩d, đây là tâm đường tròn Apollonius kiểu 2, - Gọi D0 là trung điểm của BC. Nối O9D0 và dựng đường thẳng
m k O9D0, đi qua O0,
- m cắt D0Sp ở A00-điểm trên đường tròn Apollonius. Từ đó dựng đường tròn tâm O0, bán kính O0A00, Hình 2.3.
2.2 Tâm Apollonius, điểm Apollonius
Ta sử dụng tọa độ barycentric thuần nhất, tuyệt đối. Nếu đường tròn Apollonius tiếp xúc với 3 đường tròn bàng tiếp tương ứng tại A0, B0, C0 thì các đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng quy (kết quả trong [3])
Ap ≡ X(181) = a2(b+c)2 p−a : b2(c+a)2 p−b : c2(a+b)2 p−c .
Ta nhắc lại rằng đường tròn đẳng phương của ba đường tròn bàng tiếp là đường tròn đẳng phương Spieker, điểm Spieker Sp là ảnh vị tự của tâm nội tiếp I qua phép vị tự h(G,−1
2) với G là trọng tâm tam giác.
Việc tìm đường tròn Apollonius kiểu 2 sẽ thuận lợi hơn khi xét ảnh vị tự của nó qua phép vị tự h(G,−2). Phép vị tự này biến đường tròn chín điểm và đường tròn đẳng phương Spieker lần lượt thành đường tròn ngoại tiếp (O, R) và đường tròn
I,pr2 +p2.
Điểm Mittenpunkt. Xét tam giác ABC với D0, E0, F0 là trung điểm củaBC, CA, ABtương ứng. Ta sẽ chứng tỏ ba đường thẳngIaD0, IbE0, IcF0
đồng qui tại một điểm.
Thật vậy, các tâm bàng tiếp Ia = (−a : b : c); Ib = (a : −b : c);
Ic = (a : b : −c); các trung điểm D0 = 0 : 21 : 12, E0 = 12 : 0 : 12,
F0 = 12 : 12 : 0. Từ đó có các phương trình
IaD0 : (b−c)x+ay −az = 0 IbE0 : −bx+ (c−a)y +bz = 0 IcF0 : cx−cy + (a−b)z = 0.
đồng quy. Điểm đồng quy đó được gọi là điểm MittenpunktM, mang nhãn
X(9) trong [4].
Điểm Mittenpunkt M có một số tính chất sau (i) Điểm M ∈ (IL), (L là điểm đối trung), (ii) Điểm M ∈ (GGe) và GeG : GM = 2 : 1, (iii) Tọa độ của M = (cosA2 : cosB2 : cos C2).
Từ tính chất (ii) ta suy ra điểm M dựng được theo các điểm G và Ge. Trong Ví dụ 2.3.6 ta sẽ dùng đến điểm M để dựng tâm Apollonius O0.
2.3 Một số ứng dụng
2.3.1 Dựng các điểm Ap, O0 bằng thước và com paVí dụ 2.3.1. Một số cách dựng điểm Apollonius Ap, xem [2]. Ví dụ 2.3.1. Một số cách dựng điểm Apollonius Ap, xem [2].
(1) Ap = IO0∩OL, trong đó:O0 là tâm Apollonius, L là điểm đối trung. (2) Ap là liên hợp đẳng giác của điểm đẳng cự với Fe0, điểm Fe0 là điểm
Feuerbach thứ hai.
- Dựng điểm điểm Feuerbachs thứ hai Fe0. Đó là điểm liên hợp với Fe
đối với hai điểm I và G.
- Gọi P là điểm liên hợp đẳng cự của Fe.
- Dựng điểm liên hợp đẳng giác của P, đó chính là điểm Ap. (3) Ap là liên hợp Yiu của điểm đối trung và điểm Feuerbach thứ hai
- Dựng điểm Feuerbach thứ hai Fe0. - Dựng điểm đối trung L.
- Dựng điểm Ap là liên hợp Yiu của Fe0 và L.
Từ các kết quả khảo sát đường tròn Apollonius kiểu 2 ta rút ra một số cách dựng đường tròn này (bỏ qua bước dựng các đường tròn bàng tiếp và các điểm Feuerbach).
Ví dụ 2.3.2. Dựng tâm và bán kính.
Dựng bán kính đường tròn Apollonius theo công thức: x = r +p 2
4r . Sau
Ví dụ 2.3.3. Dựng tâm và một điểm trên đường tròn.
Dựng tâm như trên, sau đó có thể dựng một đường tròn bàng tiếp, chẳng hạn đường tròn A−bàng tiếp. Giao của đường thẳng đi qua tâm Apollonius và đường tròn A−bàng tiếp, nằm trên đường tròn Apollonius. Ví dụ 2.3.4. Dựng ba điểm của đường tròn.
Ba tiếp điểm của đường tròn Apollonius và các đường tròn bàng tiếp là ba đỉnh của tam giác Apollonius.
Nếu biết tam giác Apollonius phối cảnh với hai tam giác khác và nếu ta dựng được hai tam giác này và tâm phối cảnh tương ứng thì ta có thể dựng được tam giác Apollonius.
Tam giác Apollonius phối cảnh với
• ∆ABC, tâm phối cảnh là điểm Apollonius Ap.
• ∆FaFbFc (tam giác Feuerbach), tâm phối cảnh là điểm Spieker Sp. • ∆IaIbIc, tâm phối cảnh là tâm Apollonius O0.
• Tam giác đối trung, tâm phối cảnh là điểm đẳng cự của trực tâm trong tam giác tiếp xúc.
Ví dụ 2.3.5. Dựng tam giác Apollonius bằng cách sử dụng cặp tam giác phối cảnh liệt kê ở trên.
Sáu tam giác cho 6 cách dựng tam giác Apollonius:
Nếu ta lấy 2 tam giác đầu, tức là ∆ABC và ∆FaFbFc thì ta có thể dựng được tam giác Apollonius ∆A0B0C0 như sau:
- Dựng điểm Apollonius Ap và tâm Spieker Sp. - Dựng A0 = AAp∩SpFa, B0, C0 dựng tương tự.
Ví dụ 2.3.6. Dùng tâm vị tự của đường tròn Apollonius và một đường tròn khác.
Ta có thể lấy một đường tròn C nào đó và thực hiện thứ tự các bước dựng như sau:
- Lấy C là đường tròn (ABC) (chẳng hạn). - Dựng trục Brocard OL.
- Dựng đường thẳng HM với H là trực tâm ∆ABC, M là điểm sao cho
GeG : GM = 2 : 1 (M là điểm Mittenpunkt).
- Dựng đường thẳng Nagel GI.
- Dựng tâm vị tự ngoài E2 của C và (O0, r0) là E2 = OL∩GI, Hình 2.4. - Dựng tâm đường tròn Apollonius O0 là điểm sao cho (E1E2OO0) là một hàng điều hòa. Từ đó dựng đường tròn Apollonius.
Có thể dùng các đường tròn khác thay đường tròn (ABC).