Chứng minh. Kiểm tra được tọa độ của X(650) thỏa mãn phương trình Li = 0 với i = 2,3,4,5. Chẳng hạn với
Thay tọa độ X(650) vào vế trái ta có
(p−a)(p−b)(p−c) [a(b−c) +b(c−a) +c(a−b)] = 0
do biểu thức trong dấu [..] bằng 0.
Từ mệnh đề này suy ra điểm X(650) là tâm đẳng phương của 5 đường tròn trên. Từ đó ta nhận được một đường tròn trực giao với 5 đường tròn. Mệnh đề 2.3 ([6], Định lý 8). Đường tròn H
a2yz +b2zx+c2xy + (x+y +z)F = 0, (2.3)
trong đó
F = bc(b2 +c2 −a2)2(c−a)(a−b)x+ca(c2 +a2 −b2)2(a−b)(b−c)y +ab(a2 +b2 −c2)2(b−c)(c−a)z,
trực giao với 5 đường tròn.
H có tâm là điểm X(650), bán kính bằng s abc.G 4(a−b)2(b−c)2(c−a)2, với G= abc(a2 +b2 +c2)−a4(b+ c−a)−b4(c+a−b)−c4(a+b−c) = 16r2p(r2 + 5Rr+ 4R2 −p2).
Đây là một kết quả hay: trong 5 đường tròn đó chỉ có 3 đường tròn đồng trục, đó là đường tròn Apollonius, đường tròn đẳng phương và đường tròn chín điểm.
Chương 2 nói về đường tròn Apollonius kiểu 2 với công cụ chủ yếu là tọa độ barycentric. Ngoài các tính chất đặc trưng và các ứng dụng bước đầu, luận văn còn giới thiệu mối quan hệ giữa đường tròn Apollonius kiểu 2 với các tâm tam giác, [4]. Đó là các điểm: Sp ≡ X(10); O0 ≡ X(181); M ≡
X(9);X(43) : X(386); X(573);X(650); X(1682);X(1695);X(2051); .... Nội dung của Chương 2 trình bày đường tròn Apollonius kiểu 2, liên quan đến các khái niệm: tâm Apollonius, điểm Apollonius,... Bằng cách xét bài toán trong tọa độ barycentric ta tìm được mối quan hệ giữa đường tròn Apollonius kiểu 2 và các đường tròn quen thuộc khác.
Chương 3
Một số vấn đề liên quan
Có rất nhiều vấn đề liên quan đến hai đường tròn Apollonius kiểu 1 và kiểu 2. Ở đây ta hạn chế xét hai vấn đề chính liên quan với đường tròn Apollonius kiểu 2: Bài toán dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước và bằng cách tương tự giới thiệu các đường tròn Apollonius khác.
3.1 Đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn
Trong mục này chúng tôi giới thiệu 2 trường hợp đặc biệt của bài toán Apollonius cổ điển liên quan đến đường tròn Apollonius kiểu 2, sau đó áp dụng kết quả vào tìm các cặp tam giác phối cảnh hoặc vị tự. Cuối cùng là giới thiệu thêm một số tâm tam giác mới. Tài liệu tham khảo ở đây là [6] với các tính toán chi tiết và những bổ sung cần thiết.
3.1.1 Hai bài toán dựng
Bài toán 1: Dựng đường tròn tiếp xúc 2 đường tròn và một tiếp tuyến.
Cho 2 đường tròn (O, r),(O0, r0) và một tiếp tuyến chung ngoài `. Cần dựng một đường tròn(O1, r1) tiếp xúc hai đường tròn tại A, A0 và tiếp xúc đường thẳng tại X, với X ở giữa A và A0. Một phép tính toán đơn giản chứng tỏ rằng:AX = 2√ r1r vàXA0 = 2√ r1r0 nên AX : XA0 = √ r : √ r0. Bán kính của đường tròn (O1) là r1 = 1 4 AA0 √ r + √ r0 !2 . Từ đó ta có cách dựng như sau:
P A = r, AQ = r0.
- Dựng đường tròn đường kính P Q, nó cắt (OA) ở F sao cho O và F ở về 2 phía đối với `, Hình 3.1.