- Cho là giá cổ phiếu tạithời điểm t= 0 Chu kỳ [0,T] được chia thành n khoảng thời gian
c. Mô hình nhị phân n giai đoạn
2.4.2. Phòng hộ Gamma
Bây giờ phòng hộ Delta – Gamma cần
Bài tập
Thị giá tại thời điểm t: S = 28$t
Giá thực hiện: X = 27$ Lãi suất phi rủi ro: r=8%/năm Kỳ hạn: T== năm
c > S - = 28 - = 1,71$t
Bài 2
Thị giá tại thời điểm t: S = 12$t
Giá thực hiện: X = 15$ Lãi suất phi rủi ro: r=6%/năm Kỳ hạn: T= năm
p > - S = - 12= 2,925$t
Bài 3
Thị giá tại thời điểm t: S = 19$t
Giá thực hiện: X = 21$ Lãi suất phi rủi ro: r=8%/năm Kỳ hạn: T= năm
Cận dưới của giá Put - S = – 19 = 1,584t
Có cơ lợi
Vay 20$ để mua Put (1$) và cổ phiếu C (19$) Sau 3 tháng, trả khoản tiền vay là:
Nếu gái CP thấp hơn 21, thực hiện Put bán cổ phiếu với giá 21 để chi khoản vay. Ta được khoản lãi
St -
= 21 – 20
Nếu giá CP cao hơn hoặc bằng 21, không thực hiện Put, bán CP với giá S để chi t
khoản vay, ta được lãi: St - = 0,596 Bài 4 Bài 5 St =31 C = 4 T-t = 0,25 X = 30 r = 8%/năm
Ta có hệ thức Put-Call đối với quyền chọn kiểu Mỹ không trả cổ tức St – X < C-P < S =1<4 – P<1,594t
Cận dưới của giá put kiểu Mỹ là 2,406 Cận trên của giá put kiểu Mỹ là 3
Bài 6
Lãi suất phi rủi ro: r=0,1/năm Kỳ hạn: T= năm
d = 0,9
Thời giá cổ phiếu A: S = 500
u = 1.1
* Đối với QC Put = 0
= 0
Xác suất dung hòa rủi ro: =0,5418
Giá Put kiểu Âu f = = 0
* Đối với QC Call = 0
= 0
Giá Call kiểu Âu f = = 11,3232
Bài 7
+ r = 5%/năm + kỳ hạn ; + u = 1,1; d=0,9
+ +
Giá tăng tại thời điểm đáo hạn:
Xác suất dung hòa rủi ro giá Put kiểu Âu: =0,6266 Bài 8 r = 10%/năm S0 = 40$ Kỳ hạn Tcall = , T = put Xcall = 12$ , X = 42$put u=1,1 d=0,9
Giá tăng tại thời điểm đáo hạn S = u S = 1,1.40 = 441 0
= 0,9.40 = 36$ Giá call kiểu Âu = 2
= 0
Xác suất dung hòa rủi ro =0,7041
Giá hiện thời cổ phiếu Giá tăng giảm tương ứng Lãi suất phi rủi ro r=4%/năm
Thời gian đáo hạn T=3 tháng = ¼ năm Tỷ lệ tăng tương ứng
Tỷ lệ giảm tương ứng Xác suất dung hòa rủi ro là
Bài 10 + S = 100$0 + r=10%/năm + X = 120$ + T= + 150 = u100 => u=1,5 + 75 = d100 =>d=0,75 = 30 = 0
Xác suất dung hòa rủi ro:
Giá chọn kiểu Âu: f = = 10,741$
Sơ đồ cây nhị phân 2 giai đoạn với giá Bài 12 Bài 13 + T= + S = 50$0 + X = 50$ + u=1,3; d=0,7 + r=10%/năm
Giá tăng tại thời điểm đáo hạn:
Giá giảm tại thời điểm đáo hạn:
= 0 = 15
Xác suất dung hòa rủi ro
Quyền chọn bán kiểu Âu f = = 6,6975$
Bài 14 Bài 15
+ Lãi suất phi rủi ro: r = 5%/ năm + Thời điểm đáo hạn: T = 1 năm + Thời điểm hiện tại: t=0
+ Giá tại thời điểm hiện tại: S = 100$ + Giá thực hiện: X = 105,1271$ + Độ dao động: = 30% + Ta có: d = 1
= = 0,15
d2 = d - = 0,15 - 0,3 -0,151 s »
Áp dụng công thức Black - Scholes đối với giá Call kiểu Âu: C = S. f(d1) - Xe-r(T-t). (df 2)
= 100. (0,15) - 105,1271ef -0,05 f(-0,15)
= 100.0,55962 - 105,1271e-0,05.0,44038 = 11,924 Áp dụng công thức Black - Scholes đối với giá Put kiểu Âu:
P = Xe-r(T-t).f(-d2) - S.f(-d1) = 105,1271e-0,05.f(0,15) - 100.f(-0,15) = 105,1271e-0,05. 0,55962 - 100.0,44038 = 11,924 Bài 16 Bài 17 Ta có: + Kỳ hạn: T = = năm
+ Giá tại thời điểm hiện tại: S = 115,83$ + f(d1) = 0,33 Từ f(d1) = 0,33 = 1 -f(-d1) Û f(-d1) = 0,67 Ta có d = -0,441 u = = fˊ(d1)S = S = .115,83 =17,1244
Nếu độ dao động thay đổi 3% tức là thay đổi 0,03 thì giá quyền chọn mua thay đổi xấp xỉ 17,1244.0,03 = 0,514$
Bài 18
Ta có:
+ Lãi suất phi rủi ro: r = 3,48%/ năm + Kỳ hạn: T = năm
+ Giá tại thời điểm hiện tại: S = 126,3$ + Giá thực hiện: X = 120$
+ Độ giao động: = 78%/ năms Ta có: d = 1
= 0,353»
d2 = d - = 0,353 - 0,78 0,12751 s »
Áp dụng công thức Black - Scholes đối với giá Put kiểu Âu: P = Xe-r(T-t).f(-d2) - S.f(-d1)
= 120 (-0,1275) - 126,3.f f(-0,353) = 120.0,44927 - 126,3. 0,36204 = 8,031
Vậy giá quyền chọn bán kiểu Âu là 8,031$
Bài 19
Ta có:
+ Lãi suất phi rủi ro: r = 12%/ năm + Kỳ hạn: T = = 0,25 (năm) + Giá tại thời điểm hiện tại: S = 52$ + Giá thực hiện: X = 50$
+ Độ giao động: =30%/ năms Ta có: d = 1
= 0,5365»
d2 = d - = 0,5363 -0,3 0,38651 s »
Áp dụng công thức Black - Scholes đối với giá Call kiểu Âu: C = S. f(d1) - Xe-r(T-t). (df 2)
= 52. (0,5365) - 50ef -0,12.0,25 f(0,3865) = 52.0,70419 - 50e-0,12.0,25.0,65044 = 5,0571 Vậy giá Call kiểu Âu của cổ phiếu là 5,0571$
Bài 20
Ta có:
+ Lãi suất phi rủi ro: r = 5%/ năm + Kỳ hạn: T = = (năm)
+ Giá thực hiện: X = 29 + Độ dao động: = 25%/ năms Ta có: d = 1
= 0,4226»
d2 = d - = 0,4226 - 0,25 0,27831 s »
Áp dụng công thức Black - Scholes đối với giá Call kiểu Âu: C = S. f(d1) - Xe-r(T-t). (df 2)
= 30. (0,4226) - 29. 0,60961 = 2,5248f
Áp dụng công thức Black - Scholes đối với giá Put kiểu Âu: P = Xe-r(T-t).f(-d2) - S.f(-d1)
= 29. (-0,2783) - 30.f f(-0,4226) = 29. 0,39039 - 30. 0,33629 = 1,0455 Hệ thức put-call:
C + X
Vậy kết quả đúng với hệ thức put-call
Bài 21
Ta có:
+ Tỷ giá VND/USD: S = 22.500 đồng/$
+ Lãi suất phi rủi ro của nước ngoài: r = 3,5%/ nămf
+ Tỷ giá thực hiện: X = 22.500 đồng/$ + Độ giao động của tý giá: = 4%/ năms + Kỳ hạn: T = = 0,25 năm
Ta có: d = 1
= = 1,0725
d = d - = 1,0725 - 0,04 = 1,05252 1 s Công thức Black - Scholes đối với giá Call :
C = S. f(d1) - Xe-r(T-t). (df 2) = 22.550e-0,035.0,025.f(1,0725) - 22.500e-0,12.0,25.f(1,0525) = 22.550e-0,035.0,025 . 0,85825 - 22.500e-0,12.0,25. 0,85371 = 544,154 Bài 22 Ta có: + Tỷ giá VND/USD: S = 0,52$
+ Lãi suất phi rủi ro của nước ngoài: r = 8%/ nămf
+ Lãi suất phi rủi ro trong nước: r = 4%/ năm + Tỷ giá thực hiện: X = 0,5$
+ Độ giao động của tý giá: =12%/ năms + Kỳ hạn: T = = năm
Ta có: d = 1
d = d - = 0,17712 - 0,12 = 0,079142 1 s Công thức Black - Scholes đối với giá Put:
P = Xe-r(T-t).f(-d2) - S.f(-d1) = 0,5 (-0.07914) - 0,52f f(-0,17712) = 0,5.0,46846 - 0,52. 0,42971 = 0,0162 Bài 23 Ta có:
+ Giá hiện tại của hợp đồng tương lai: F = 85,97$/ thùng + Giá thực hiện: X = 90$/ thùng
+ Lãi suất phi rủi ro: r = 9%/ năm
+ Độ dao động của giá hợp đồng tương lai: = 30%/ năms Ta có: d = 1
= = -0,4857
d2 = d - = -0,4857 - 0,3 = -0,57231 s Công thức Black - Scholes đối với giá Call:
C = [F.f(d1) - X.f(d )]2
= .[85,97. (-0,4857) - 90. (-0,5723)] = 1,4282f f Vậy giá Call của Future là 1,4282$